CURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 006 e 1 o semestre letivo de 007 CURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito Verifique se este caderno contém: INSTRUÇÕES AO CANDIDATO PROVA DE REDAÇÃO enunciadas duas propostas; PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - enunciadas questões discursivas totalizando dez pontos Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior notifique imediatamente ao fiscal No espaço reservado à identificação do candidato além de assinar preencha o campo respectivo com seu nome Não é permitido fazer uso de instrumentos auxiliares para o cálculo e o desenho portar material que sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito a caneta com tinta azul ou preta nos espaços apropriados O tempo disponível para realizar estas provas é de quatro horas Ao terminar entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado Tanto a falta de assinatura quanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova Certifique-se de ter assinado a lista de presença Colabore com o fiscal caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital Você deverá permanecer no local de realização das provas por no mínimo noventa minutos AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO RESERVADO AOS AVALIADORES REDAÇÃO rubrica: C ESPECÍFICOS rubrica:

2 Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (0 pontos) Faça em cada item o que se pede: a) calcule f (1) onde f(x) = cos(log (x)); b) calcule x senx dx a) Pela regra da cadeia segue que f (x) = sen(log (x)) (log (x)) = sen(log (x)) 1 xlog 1 Assim f (1) = sen(log (1)) log = sen(0) 1 log = 0 b) Fazendo u = x e dv = sen x dx obtemos du = dx e v = cos x Aplicando o método de integração por partes a integral procurada é x sen x dx = -x cos x - (- cos x) dx = -x cos x + sen x + c onde c é uma constante qualquer

3 a QUESTÃO: (0 pontos) Faça um esboço detalhado da região R limitada pelo gráfico das funções f(x) = x e g(x) = x 1 Determine a área da região R (Indicação: Para esboçar corretamente a região R deve-se determinar os pontos de interseção dos gráficos de f e g) Os gráficos das funções se intersectam nos pontos tais que x = x 1 isto é x x 1 = 0 Resolvendo essa equação obtemos as raízes a = 1 5 b 1 + < = 5 Como a reta y = x está acima da parábola y = x 1 para x [a b] temos: b (x (x 1))dx a Área (R) = b ( x x 1)dx a = + + x x = + + x x + x + 6x = 6 ] b a b a + + = h(b) h(a)ondeh(x) = 6 x x 6x Fig 1: Gráficos de f g e esboço da região R Para calcularmos o valor da área observamos que para x {ab} temos (1) x = x 1 que é equivalente a x = x + 1; () x = x x = x(x + 1) = x + x = (x + 1) + x = x + 1; () h(x) = = = x x 6x (x 1) (x 1) 6x 5x 1 Portanto Área (R) = ( ) = = =

4 a QUESTÃO: (0 pontos) Considere a função f(x) = x 5 x 4 Determine: a) o domínio de f; b) os pontos onde f não é contínua caso existam; c) as assíntotas horizontais e verticais caso existam; d) os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente; e) os pontos de máximo e mínimo relativos caso existam; f) os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e os pontos onde f tem a concavidade voltada para baixo; g) os pontos de inflexão do gráfico de f caso existam; h) o esboço do gráfico de f a) Dom(f) = {x R ; x } b) Como f é um quociente de duas funções contínuas em R - {} segue que f é contínua em todo ponto de seu domínio c) A candidata a assíntota vertical é a reta x = Como x5 x5 lim =+ e lim = x + x4 x x4 vertical ao gráfico de f segue que de fato a reta x = é uma assíntota Como 5 x5 x x5 lim = lim = = lim segue que a reta x4 4 x4 x x + x + x horizontal ao gráfico de f y = é uma assíntota d) Calculando-se a derivada de f obtemos f (x)= (x 4) em R {} Assim f (x) < 0 para todo x R {} o que implica que f é decrescente e) Como f é decrescente em seu domínio de definição segue que f não possui nem máximo nem mínimo relativo f) Calculando-se a derivada segunda de f obtemos

5 8 f (x) = (x 4) portanto Assim o sinal de f é determinado pelo sinal do denominador e pelo sinal de x 4 Dado que x 4 < 0 se x ( - ) e x 4 > 0 se x ( + ) segue que o gráfico de f tem concavidade para baixo em (- ) e concavidade para cima em ( + ) g) Visto que a mudança de sinal da derivada segunda de f ocorre no ponto x = que não pertence ao domínio de f segue que seu gráfico não possui pontos de inflexão Item (h) Gráfico de f e suas assíntotas h) Ver gráfico ao lado

6 4 a QUESTÃO: (0 pontos) Considere os paralelogramos A B C e D dados nas figuras abaixo onde A é um quadrado C é obtido de B por uma rotação de 45 o no sentido anti-horário e D é obtido de C por uma translação D A B C a) Determine as matrizes que representam as transformações lineares S T: R R em relação à base canônica onde S transforma o quadrado A no paralelogramo B e T transforma o quadrado A no paralelogramo C b) Sejam c a base canônica de R e β uma base de R = β onde T é a transformação do item (a) c é a 0 1 base do domínio de T e β é a base do contradomínio de T Determine a base β tal que [ ] c T 1 0 c) Seja L: R R a transformação afim L(x y) = (ax + by cx + dy) + (e f) Determine a b c d e f de modo que L transforme o quadrado A no paralelogramo D a) Primeiramente seja R: R R a rotação de 45 o no sentido anti-horário Sabemos que R é uma transformação linear R(10) = e R(01) = Como toda transformação linear está perfeitamente determinada se é dada numa base do seu domínio a imagem de uma combinação linear de dois vetores é a combinação linear das suas imagens a composição de transformações lineares é linear o conjunto {(10) (01)} é base do R temos: 1 S transforma o quadrado A no paralelogramo B S (10) = (10) e S(01) = 1 ; T transforma o quadrado A no paralelogramo C se e somente se T = R o S se e somente se

7 T(10) = R(S(10)) = R(10) = e T(01) = R(S(01)) = R 1 1 = R R(01) = 1 R(10) + R(01) = 1 + = 4 4 Portanto matriz de S = e matriz de T = 4 4 Como a matriz de R na base canônica do pode ser obtida por R é então a matriz de T também matriz de T = matriz de (R o S) = (matriz de R) (matriz de S) = b) Seja β = {vw} Como c = {(10) (01)} então [ T] c β = ( T(10)] β T(01)] β) T(10) = 1v + 0w = v e T(01) = 0v + 1w = w Logo v = T(10) = e w = T(01) = = 0 1 se e somente se

8 c) O paralelogramo D é a translação do paralelogramo C logo a transformação afim L que transforma A em D é a composição U o T onde U: R R é a translação definida por 11 U(xy) = (xy) + e T é a transformação linear do item a Da matriz de T na base canônica obtemos T(xy) = x- y x+ y Logo L(xy) = U(T(xy)) = T(xy) + = x- y x+ y Portanto a = c = b = d = e = f = 1 4 4

9 5 a QUESTÃO: (10 ponto) Determine uma transformação linear T: R R cujo núcleo é gerado pelos vetores u = (10) e v = (101) e a imagem é gerada pelo vetor (111) Dado que os vetores u e v são linearmente independentes se tomarmos w = (001) segue que β = {uvw} é uma base de defini-la convenientemente nos vetores da base Tome assim R Para obter uma tal transformação linear basta T(u) = (000) T(v) = (000) e T(w) = (111) Agora escrevendo um vetor qualquer (xyz) de vetores u v e w obtemos R como combinação linear dos (xyz) = y (10) x y (101) z x y + (001) + + A transformação T procurada sendo linear é dada por ou seja T(xyz) = y T(10) x y T(101) z x y + T(001) + + T(xyz) = y y y z x + z x + z x +