Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009

Transcrição

1 Caderno de Provas ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Edital Nº. 04/009-DIGPE 0 de maio de 009 INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Use apenas caneta esferográfica azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado nesta capa. A prova terá duração máima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as questões do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas (três) horas do início da aplicação da prova. Confira, com máima atenção, o Caderno de Provas, observando o número de questões contidas e se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura. A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir: Tipo de questão Total de Pontuação por Total de questões questão pontuação Discursiva 0 questões 5 pontos 0 pontos Múltipla escolha 0 questões,5 pontos 70 pontos INSTRUÇÕES REFERENTES ÀS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA Confira, com máima atenção, se os dados (nome do candidato, inscrição, número do documento de identidade, matéria/disciplina e opção de campus) estão corretos. Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. Assine, no espaço apropriado, a Folha de Respostas. A Folha de Respostas não poderá ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese alguma, será substituída. Para cada questão, há apenas uma resposta certa. Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando não mais pretender fazer modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos. OBSERVAÇÃO: As instruções referentes às questões discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas Discursivas. NOME COMPLETO: DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO:

2 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN QUESTÕES DISCURSIVAS ESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CÁLCULO, QUANDO FOR O CASO.. (5 pontos) Considere F uma função real definida no intervalo [ a, b ] por F( )= f ( t ) dt,para alguma função real contínua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F é uma função limitada em [ a, b ]. a. (5 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre R e seja T: V V um operador linear definido por T(, y, z) = ( y, y, z). Demonstre que T é um isomorfismo e determine T -. PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC

3 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN FOLHA PARA RASCUNHO PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC

4 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA.. (,5 pontos) Seja R o corpo dos números reais e considere o espaço vetorial V =R ={ (, y, z ) /, y,z R } sobre R. Sejam W = [ (,, ), ( 0,, ), (,, )], o subespaço de V gerado pelos vetores (,, ), ( 0,, ), (,, ), e S = { ( + y, y, ) /, y R } também subespaço de V. O subespaço intersecção de W e S é dado por a) [(, -, )]. b) [(,, )]. c) [(,, ), ( 0,, )]. d) [( 0,, ), (,,, )].. (,5 pontos) Seja f uma função real definida por f() = que. Sobre lim f ( ), é correto afirmar a) o limite eiste e é igual a. b) o limite eiste e é igual a. c) o limite não eiste, face a função não ser definida no ponto =. d) o limite não eiste em virtude dos limites laterais para a função f embora eistindo não serem iguais.. (,5 pontos) Sendo f : R R uma função diferenciável, é correto afirmar que a) f é uma função contínua e limitada. b) f possui ponto de máimo ou mínimo absoluto. c) f é uma função contínua. d) Necessariamente f possui pontos críticos. 4. (,5 pontos) Considerando o espaço vetorial V = R sobre R, α = { (, ), (, -) } e δ = { (, 0), (, ) } bases de V, a matriz de transição de α para δ corresponde a a) b) c) d) PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC

5 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN FOLHA PARA RASCUNHO PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 4

6 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN 5. (,5 pontos) Seja f: R R uma função real diferenciável tal que d df () + sen() =. Assinale a alternativa correta para f() sabendo que f(0) =. a) f() = + cos() + + k, k R b) f() = + cos() + c) f() = + sen() + + k, k R d) f() = + sen() + 6. (,5 pontos) Considere V = { f : R R / f é função contínua } o espaço vetorial das funções contínuas sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funções f e g definidas por f() = sen() e g() = cos(). Assinale a alternativa correta. a) S é um conjunto de vetores linearmente dependentes. b) S gera o espaço vetorial V. c) V é um espaço de dimensão finita. d) S é um conjunto de vetores linearmente independentes. 7. (,5 pontos) Considerando f e g funções reais de uma variável tal que o lim a ( f ( ). g( )) eiste, é correto afirmar que a) as funções f e g são limitadas. b) pode não eistir um dos limites: lim a f ( ) ou lim a g ( ) c) os limites das funções f e g eistem no ponto = a. d) necessariamente as funções são continuas no ponto = a.. 8. (,5 pontos) Considere f : R R uma função definida por f( ) = para que f seja contínua no ponto = corresponde a 5 p se se. O valor de p a) -. b). c). d). 9. (,5 pontos) Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T: V W uma transformação linear. Se dim(v) > dim(w), é correto afirmar que a) T transforma base em base. b) Se α e δ são bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T, é uma matriz quadrada. c) N(T) { 0 }, ( N (T) = núcleo de T ). d) T necessariamente é sobrejetiva. 0. (,5 pontos) Sendo f: R R uma função real definida por f() = 4 + +, é correto afirmar que a) = e = 4 são pontos críticos de f. b) = é um ponto de máimo relativo de f. c) = 6 é um ponto de máimo relativo de f. d) (6, ) é um ponto de infleão do gráfico de f. PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 5

7 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN FOLHA PARA RASCUNHO PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 6

8 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN. (,5 pontos) Seja V = M (F) o espaço das matrizes de ordem sobre o corpo F. Considere o subespaço vetorial W = { A V; A t = A } de V, formado pelas matrizes anti-simétricas. Em relação à dimensão de W é correto afirmar que o seu valor é a). b). c). d) 4.. (,5 pontos) Considere o sistema de equações lineares: y z 0 y z 0 y z 0 Seja S o espaço solução deste sistema. É correto afirmar que a) A dimensão de S é. b) S = { (0,0,0) }. c) S = [ ( -,, )]. d) S = [ (, -, -), (, 6, )].. (,5 pontos) A área da região compreendida entre as curvas y = e y = corresponde a a) 4 u.a. b) 6 u.a. c) 5 u.a. 4 d) 7 u.a (,5 pontos) Seja R + = { R; > 0} e considere f: R + R uma função definida por f() = df A função derivada, (), de f corresponde a d dt. t a) b) c) d) PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 7

9 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN FOLHA PARA RASCUNHO PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 8

10 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN 5. (,5 pontos) Considere a função real, y = f(), dada implicitamente por + y =, cujo gráfico passa pelo ponto (, ). A derivada da função f no ponto = corresponde a a) b) c) d) 5 6. (,5 pontos) Seja V = R e W = R espaços vetorias sobre o corpo R e T : V W uma transformação linear tal que T(, ) = (,, 0 ) e T ( -, 0 ) = (, -, ). É correto afirmar que a) T(, ) = ( 5, 4, ). b) T = 0, com α = { (, ), ( -, 0 ) } e δ = { (, 0, 0 ), ( 0,, 0 ), ( 0, 0, ) }. c) N(T ) { 0 }. d) Im(T ) = [ (,, 0 ), (,, ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T. 7. (,5 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V. Sabendo-se que a matriz de transição da base E para a base F é P e que a matriz de transição da base E para a base G é Q, é correto afirmar que a matriz de transição da base F para a base G é a) Q.P - b) P.Q c) P -.Q - d) Q.P 8. (,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a função real definida por f() =, obtido por uma rotação do gráfico de f em torno do eio, e raios de base inferior e superior, respectivamente, cm e cm corresponde a a) 7 cm. b) 7 cm. c) cm. d) 7 cm. 9. (,5 pontos) A reta tangente à curva y = no ponto (, 0 ) é também tangente à essa mesma curva em outro ponto P. É correto afirmar que P corresponde a a) ( 0, 0 ) b) (, 6 ) c) (, ) d) (, 0 ) PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 9

11 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN FOLHA PARA RASCUNHO PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 0

12 EDITAL Nº. 04/009-DIGPE/IFRN 0. (,5 pontos) Seja T : V V um operador linear definido num espaço vetorial V sobre o corpo R de dimensão finita. Supondo que eista um autovalor c = 0 de T, é correto afirmar que a) T é um isomorfismo. b) T é injetivo. c) T é sobrejetivo. d) T é não-injetivo. PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC