UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

Transcrição

1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão 1 (10 pontos). Avalie: a) 0 b) + c) d) 3 3 lim x 0 + x 2 x Resposta: c) O numerador tem limite igual a 3 enquanto o denominador tem limite 0 por valores negativos, logo o resultado é. Questão 2 (10 pontos). Considere g : R R e h : R R deriváveis, supondo que f(x) = g(x cos(h(x))) encontre f (x). a) g ( xsen(h (x)) b) g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) c) g (xsen(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) d) g (xsen(h(x))) (xh (x) cos(h(x)))) Resposta: b) Utilizando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos f (x) = g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))).

2 Questão 3 (10 pontos). Considere a curva y 3 + 2xy + x 2 = 1, encontre o coeficiente angular da reta tangente para x não nulo, quando y = 1. a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 Resposta: c) Caculando a derivada implícita obtemos, Fazendo y = 1 na curva temos y 2x + 2y = 3y 2 + 2x. x 2 + 2x = 0 resolvendo para x e substituindo a raiz não nula, x = 2, temos: y = 2. Questão 4 (10 pontos). Para x [0, π], determine o ponto de mínimo da função f(x) = sen(x) + cos(x). a) π 4 b) 0 c) π 6 d) π Resposta: d) A derivada é dada por f (x) = cos(x) sen(x) e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π, logo este valor de x é ponto crítico de f. Avaliando, a função no ponto crítico e 4 nas extremidades do intervalo temos ( π ) f(0) = 1, f = 2, f(π) = 1. 4 Logo, o ponto de mínimo é x = π. Questão 5 (10 pontos). Qual o valor de a) π 2 b) 2 c) 2 d) π π 0 2x 3 cos(x 2 )dx. Resposta: b) 2

3 Resolvendo a integral indefinida obtemos, 2x 3 cos(x 2 )dx = cos(x 2 ) + x 2 sen(x 2 ) + C, logo, π 0 2x 3 cos(x 2 )dx = 2 Questão 6 (10 pontos). Estude a concavidade da função f(x) = 4x x Resposta: Calculando a derivada segunda temos f (x) = 8x(x2 3) (x 2 + 1) 3 O denominador acima é sempre positivo. O numerador troca de sinal nos pontos 3, 0 e 3, logo estes pontos são os pontos de inflexão. Avaliando o sinal temos concavidade para baixo em (, 3) (0, 3) e concavidade para cima em ( 3, 0) ( 3, + ) Questão 7 (10 pontos). onde Avalie f(x) = f(x) f(0) lim x 0 x { xsen ( 1 x), se x 0 0, se x = 0. Resposta: Escrevendo a expressão temos o qual não existe. ( ) 1 lim sen x 0 x Questão 8 (10 pontos). Sejam x 1 e x 2 as raízes da função f(x) = ax 2 x e sejam r 1 e r 2 as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos x = x 1 e x = x 2, respectivamente. Para quais valores de a R as retas r 1 e r 2 são normais? 3

4 Resposta: Calculando as raízes temos, x 1 = 0, x 2 = 1 a Avaliando a derivada de f, nestes pontos, temos ( ) 1 f (0) = 1, f = 1 a Logo, a equação de r 1 é da forma y = x e a equação de r 2 é da forma y = x 1/a, logo para todo valor real de a 0, estas retas são normais. No caso a = 0 não temos duas retas tangentes. Questão 9 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região x 2 y x com x [0, 2]. Resposta: Note que as funções x 2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume é dado pelas integrais V = π 1 0 (x 2 x 4 )dx + π 2 1 (x 4 x 2 )dx = 4π. Questão 10 (10 pontos). Encontre uma primitiva da função f(x) = sen(3x) cos(2x). Resposta: Temos que Calcular 2sen(3x) cos(2x)dx usando, senos da diferença e soma temos 2sen(3x) cos(2x)dx = (sen(5x) + sen(x)) dx = 1 cos(5x) cos(x) + C 5 4

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMAÇÃO PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 01 Prova sem consulta. 02 Duração: 2 HORAS 1ªquestão Considere o trecho de pseudocódigo abaixo onde os valores calculados de duas expressões aritméticas são comparados: INTEIRO A, B, C, D LEIA A, B, C, D SE B + C * D > A* D + C ENTÃO ESCREVE B + C * D, >,A* D + C SENÃO SE A * D + C = C * D - B ENTÃO ESCREVE A * D + C, =, C * D - B SENÃO SE A * C + B < D + B * A ENTÃO ESCREVE A * C + B, <, D + B * A Supondo que na leitura armazenaram-se os inteiros: 3, 7, 5 e 6, respectivamente em A, B, C, e D. Escolha nas saídas abaixo impressas conforme indica o programa, qual corresponde a essa leitura: ( a ) 72 > 23 ( b ) 23 = 23 ( c ) 33 = 33 ( d ) 22 < 39 2ªquestão Seja um programa que calcula o máximo divisor comum de dois números inteiros (mdc). Considerando que a leitura dos números inteiros X e Y já foi realizada, e observando que todos os cálculos são realizados com números inteiros, escolha dentre os trechos de pseudocódigo a seguir, qual calcula corretamente o mdc de X e Y. (a) A X B Y Resto A/B*B ENQUANTO Resto 0 A B B Resto Resto A/B*B MDC A (c) A X B Y Resto A (A/B)*B ENQUANTO Resto 0 A B B Resto Resto A (A/B)*B MDC B (b) A X B Y Resto A (A/B)*B ENQUANTO Resto 0 A B B Resto Resto A (A/B)*B MDC A (d) A X B Y Resto A/B*B ENQUANTO Resto 0 A B B Resto Resto A/B MDC B Obs.: símbolo corresponde a atribuição, isto é, variável à esquerda recebe o valor apontado para ela.

6 3ªquestão Escolha entre os fragmentos de pseudocódigo a seguir, qual escreve uma palavra armazenada em um arranjo unidimensional de caracteres (vetor V) e após um espaço à frente escreve uma cópia invertida não anotando as vogais. Por exemplo: Palavra armazenada em V: Palavras impressas futebolista futebolista tslbtf Obs.: o vetor V tem 80 posições, após a palavra armazenada o símbolo # sinaliza seu final. (a) INTEIRO i ESCREVA V[i] ESCREVA i i - 1 ENQUANTO i 1 SE V[i] = a OU V[i] = e OU V[i] = i ENTÃO i i - 1 SE V[i] = o OU V[i] = u ENTÃO i i 1 SENÃO ESCREVA V[i] i i 1 (c) INTEIRO i ESCREVA V[i] ESCREVA i i - 1 ENQUANTO i 1 SE V[i] a OU V[i] e OU V[i] i ENTÃO i i - 1 SE V[i] o OU V[i] u ENTÃO i i 1 SENÃO ESCREVA V[i] i i 1 (b) INTEIRO i ESCREVA V[i] ESCREVA i i - 1 ENQUANTO i 1 SE V[i] = a OU V[i] = e OU V[i] = i ENTÃO i i - 1 SENÃO SE V[i] = o OU V[i] = u ENTÃO i i 1 SENÃO ESCREVA V[i] i i 1 (d) INTEIRO i ESCREVA V[i] ESCREVA i i - 1 ENQUANTO i 1 SE V[i] a OU V[i] e OU V[i] i ENTÃO i i - 1 SENÃO SE V[i] o OU V[i] u ENTÃO i i 1 SENÃO ESCREVA V[i] i i 1 4ªquestão Uma loja de calçados tem jornada quinzenal de trabalhos prevista para 72 horas (segunda a sábado, 6 horas-dia) e realiza o pagamento de seus vendedores no final de cada jornada. Quando ultrapassa as 72 horas, o vendedor recebe um adicional de 30% sobre o valor das horas extras. Sabendo que para o cálculo são fornecidos o total de horas trabalhadas e o valor pago por cada hora de trabalho, escolha uma das alternativas, escrita em pseudocódigo, que mostra como o cálculo desse pagamento é efetuado: (a) SE Total_horas > 72 ENTÃO Pagamento (72 + (Total_horas 72)*1,3)*Valor_hora SENÃO Pagamento Total_horas*Valor_hora (b) SE Total_horas 72 ENTÃO Pagamento Total_horas*Valor_hora SENÃO Pagamento 72*Valor_hora + (Total_horas 72)*Valor_hora (c) SE Total_horas > 72 ENTÃO Pagamento 72*Valor_hora + (Total_horas 72)*0,3*Valor_hora SENÃO Pagamento Total_horas*Valor_hora (d) SE Total_horas 72 ENTÃO Pagamento Total_horas*Valor_hora SENÃO Pagamento Total_horas*(Valor_hora + (Total_horas 72)*0,3*Valor_hora)

7 5ªquestão Escolha entre as alternativas no corpo do programa, qual é a sequência correta de comandos de leitura dos dados de uma matriz que armazena em cada elemento M(i,j) um número real positivo. A matriz tem dimensões N linhas e M colunas indicadas antes da leitura. Obs.: 2 < N, M < 11. Programa-Matriz INTEIRO i, j, N, M REAL M[11, 11] ESCREVA digite o número de linhas e colunas LEIA N, M ENQUANTO N 3 OU N 11 OU M 3 OU M > 11 ENQUANTO i N j 1 ENQUANTO j M (a) ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) (b) ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) ENQUANTO M(i,j) 0 (c) LEIA M(i, j) (d) ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) ENQUANTO i < M E j < N j j + 1 FIM Programa-Matriz 6ªquestão Escreva um programa de controle de estoques para a loja de calçados da 4 a questão que deverá ler a quantidade atual em estoque e a quantidade máxima prevista para um determinado produto. Em seguida verifica se a quantidade atual representa 25% ou menos da quantidade máxima, nesse caso escreve a mensagem efetuar compra, caso contrário escreve estoque normal. PROGRAMA-6 REAL qtdatual, qtdmax LEIA qtdatual, qtdmax SE qtdatual qtdmax * 0,25 ENTÃO ESCREVE efetuar compra SENÃO ESCREVE estoque normal FIM-PROGRAMA-6 7ª questão Seja um programa que lê e armazena pequenas mensagens de texto em um arranjo unidimensional de 1024 posições (vetor V). Considerando que após a leitura o programa modifica a sequencia de caracteres substituindo as vogais a, e o por números inteiros 1 e 3, e vice-versa, para proteger a armazenagem desses dados, trocando: a por 3 e o por 1. Escreva um fragmento de código com os comandos necessários para que o programa possa realizar as mudanças além de contar a quantidade de trocas efetuadas. Obs.: logo após a leitura da mensagem é gravado o caractere # para sinalizar seu final e, considere ainda que apenas letras minúsculas e sem acentos são utilizadas nas mensagens. Por exemplo, para a frase troco 3 letras na questao 7!, teríamos após a leitura, as seguintes substituições e contagem: Mensagem armazenada: tr1c1 a letr3s n3 quest31 7!#

8 Total de trocas: 7 contagem 0 SE V[i] a OU V[i] o OU V[i] 1 OU V[i] 3 ENTÃO SENÃO SE V[i] = a ENTÃO V[i] 3 SENÃO SE V[i] = o ENTÃO V[i] 1 SENÃO SE V[i] = 3 ENTÃO V[i] a SENÃO SE V[i] = 1 ENTÃO V[i] o contagem contagem + 1 8ªquestão Escreva um programa que recebe um número inteiro positivo n e, determina todos os inteiros entre 1 e n que são comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos inteiros. Por exemplo, para n = 15 verificamos quatro triângulos: hipotenusa = 5 e catetos = 3 e 4; hipotenusa = 10 e catetos = 6 e 8; hipotenusa = 13 e catetos = 5 e 12 e; hipotenusa = 15 e catetos = 9 e 12. PROGRAMA-8 INTEIRO n, hip, cat1, cat2, achou ESCREVA digite um inteiro positivo LEIA n ENQUANTO n < 1 hip 1 ENQUANTO hip n achou 0 cat1 1 ENQUANTO cat1 < hip E achou = 0 cat2 cat1 ENQUANTO cat1*cat1 + caat2 * cat2 < hip * hip cat2 cat2 + 1 SE cat1*cat1 + cat2 * cat2 = hip * hip ENTÃO ESCREVA hipotenusa =, hip, catetos =, cat1, e, cat2 achou 1 cat1 cat1 + 1 hip hip + 1 FIM-PROGRAMA-8

9 9ªquestão Escreva um programa para calcular a partir de um número natural n, o número harmônico H n definido pela série: H n n 1 n Por exemplo, para os naturais 2, 3, 10, 58 e 1024 obtemos os números harmônicos: H 2 = 1,5 H 3 = 1, H 10 = 2, H 58 = 4, H 1024 = 7, PROGRAMA-9 INTEIRO n, i REAL H, termo ESCREVA digite um inteiro positivo LEIA n ENQUANTO n < 1 H 0 termo 1 ENQUANTO i n H H + 1/(termo) termo termo+1 ESCREVA H_, n, =, H FIM-PROGRAMA-9 10ªquestão Acrescente um fragmento de código com comandos necessários para modificar o Programa- Matriz apresentado na 5 a questão, logo após a leitura de todos os elementos. Os comandos a acrescentar devem verificar se a soma dos valores armazenados na segunda linha (elementos R[2,j], 1 j M) é igual a soma dos valores armazenados na primeira ou na última coluna (respectivamente elementos R[i,1] ou R[i,M], 1 i N). Deverão ser impressos os valores das somas realizadas, na segunda linha e nas colunas 1 e M, e o resultado da pesquisa, por exemplo, se SomaLin2 = 63 e, SomaCol1= 63 escreve o resultado Somas na linha 2 e coluna 1 são iguais más, se não observar nenhuma igualdade entre as somas pesquisadas escreva Somas diferentes. INTEIRO somalin2, somacol1, somacolm somalin2 0 somacol1 0 somacolm 0 j 1 ENQUANTO j M somalin2 somalin2 + M(2,j) j j + 1 ESCREVA Soma elementos linha 2 =, somalin2 ENQUANTO i N somacol1 somacol1 + M(i, 1) ESCREVA Soma elementos coluna 1 =, somacol1 ENQUANTO i N somacolm somacolm + M(i, M) ESCREVA Soma elementos última coluna =, somacolm SE somalin2 = somacol1 ENTÃO ESCREVA Somas na linha 2 e coluna 1 são iguais SENÃO SE somalin2 = somacolm ENTÃO ESCREVA Somas linha 2 e última coluna são iguais SENÃO ESCREVA Somas diferentes