UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

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1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 29/11/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;. Duração: 2 HORAS. Questão 1 (10 pontos). Avalie: (3 x 3 ) 16 lim x 1 x 3 1 a) 0 b) 16 c) 32 d) e) Resposta: c) Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, apliquemos a Regra de L Hospital. (3 x 3 ) 3 ( 3x 2 ) lim = 32. x 1 3x 2 Questão 2 (10 pontos). Dada a função f(x) = e 3 x 1 x+1, o valor de f (1) é a) 1 b) 0 c) e d) e 3 2/3 e) e 3 2/3 Resposta: b) então, f (1) = 0. f (x) = e 3 x 1 x+1. 1 ( ) 2 x 1 3 (x + 1) (x 1)., 3 x + 1 (x + 1) 2 Questão 3 (10 pontos). Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y 3 + y x = 0, no ponto (0, 0).

2 a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 0 Resposta: b) Caculando a derivada implícita obtemos, y = 1 3y Avaliando em (0, 0), temos: y = = 1. Questão (10 pontos). Dada função f(x) = x 3/5 ( x) no intervalo (1, 2), encontre o ponto crítico e classifique-o em ponto de máximo ou minímo local. a) {2; máx} b) { 2; min} c) { 3/2; min} d) {3/2; máx} e) {; máx} Resposta: d) Encontrando os pontos críticos da função, isto é, f (x) = 0, a derivada sempre existe em (1, 2), pois f 12 8x (x) = x 2/5 Assim, obtemos x = 3/2 como ponto crítico. Como o denominador de f (x) é sempre positivo o sinal de f (x) é o mesmo da função 12 8x, portanto, f (x) > 0 para 1 < x < 3/2, pois multiplicando por 8 esta desigualdade, obtemos 8 < 8x < 12, então 12 8x > 0 e f (x) < 0 para 3/2 < x < 2, pois multiplicando também por 8 esta desigualdade obtemos 12 < 8x < 16, então 12 8x < 0. Portanto, x = 3/2 é ponto de máximo local. Questão 5 (10 pontos). Qual o valor de a) 2 b) 2 c) 0 d) 16/3 e) 8/3 3 0 x x + 1 dx. Resposta: e) Usando a substituição t = x + 1, temos 3 0 x t 1 dx = dt = x t 1 t 1 t dt = ( ) 2 3 t3/2 2t 1/2 1 =

3 Questão 6 (10 pontos). em x = 2. Encontre o valor de M para que a função abaixo seja contínua x 3 8 x 2, se x < 2 f(x) = M, se x = 2 x 2 x + 16, se x > 2 Resposta: Basta calcular os limites laterais pela direita e esquerda de 2. Veja que Assim, x 3 8 = x = (x 2)(x 2 + 2x + ) e x 3 8 lim x 2 x 2 = lim x + 16) = 12. x 2 (x2 lim x + 16) = 12. x 2 +(x2 Portanto, como os limites laterais são iguais a 12, temos que f é contínua em x = 2 se, e somente se, M = 12. Questão 7 (10 pontos). Considere a função contínua em x = 1 2x 2 + 6x +, x < 1 f(x) = x + 1 x 2 + 1, x 1 A função f é derivável em x = 1? Resposta: Como f é contínua em x = 1, basta verificar as derivadas laterais quando x tende a 1. f(x) f( 1) lim x 1 + x ( 1) x 2 1 = lim x 1 + x + 1 = lim x 1 +(x 1) = 2, f(x) f( 1) lim x 1 x ( 1) = lim x 1 2x 2 +6x+2 x+1 2 x + 1 Como as derivadas laterais são diferentes, f ( 1) não existe. = lim x 1 2x 2 + x + 2 (x + 1) 2 = lim x 1 2x2 + 2x + 1 (x + 1) 2 = 2. Questão 8 (10 pontos). Seja f(x) = e x

4 Estude f com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão. Resposta: A concavidade é dada pelo sinal de f (x). Temos que f (x) = (x 2 1)e x 2 2 Como e x 2 2 > 0 para todo x, o sinal de f (x) é o mesmo que de x 2 1. Logo, f (x) > 0 para todo x < 1 e todo x > 1, portanto temos concavidade para cima e f (x) < 0 para 1 < x < 1, portanto temos concavidade para baixo neste intervalo. Além disso como as concavidades mudam em x = 1 e x = 1, estes, são portanto os pontos de inflexão de f. Questão 9 (10 pontos). Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito no semi-círculo x 2 + y 2 = r 2, y 0, r > 0. Resposta: O retângulo tem dois vértices no semi-círculo e dois no eixo x. Seja (x, y) o vértice no 1 o quadrante. Temos que a área do retângulo é Como y = r 2 x 2, logo, Derivando com respeito a x, obtemos A = 2xy A = 2x r 2 x 2, 0 x r. A = 2(r2 2x 2 ) r2 x 2, que se anula em x = r/ 2, pois x 0. Como A(0) = A(r) = 0 (alternativamente A > 0 para 0 < x < r/ 2 e A < 0 para x > r/ 2), temos que x = r/ 2 é ponto de máximo. Portanto, a área do maior retângulo é dada por esse valor de x, assim, A(r/ 2) = 2 r 2 r 2 r2 2 = r2. Questão 10 (10 pontos). Determine a área delimitada pelas curvas f(x) = x 3 x e g(x) = sen(πx), para x [0, 1].

5 Resposta: No intervalo [0, 1], temos g(x) = sen(πx) 0 e f(x) = x(x 2 1) 0. Logo, a área é dada por 1 0 [sen(πx)] dx 1 0 [ x 3 x ] dx = [ cos(πx) ( )] x π x2 1 = π

6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMAÇÃO PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 29/11/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 01 Prova sem consulta. 02 Duração: 2 HORAS 1 a Questão (10 pontos): Assinale a alternativa que mostra o que será impresso pelo trecho de programa abaixo escrito em pseudocódigo (obs.: o símbolo corresponde ao comando de atribuição, isto é, a variável à esquerda recebe o valor que é apontado para ela): INTEIRO A, B, C A 13 B 7 C A * B ESCREVE A,,, C,,, B ( a ) 13, 7, 91 ( b ) 7, 13, 91 ( c ) 13, 91, 7 ( d ) 7, 91, 13 2 a Questão (10 pontos): O programa abaixo, escrito em pseudo-código, verifica e escreve se um ano é, ou não, bissexto: Programa-2 INTEIRO Ano, resto1, Resto2, Resto3 ESCREVA digite um ano (número inteiro e positivo) LEIA Ano Resto1 Ano *(Ano/) Resto2 Ano 100*(Ano/100) Resto3 Ano 00*(Ano/00) SE (Resto1 = 0 E Resto2 0) OU (Resto1 = 0 E Resto2 = 0 E Resto3 = 0) ENTÃO ESCREVE Bissexto SENÃO ESCREVE Não é Bissexto FIM Programa-2 Supondo que um usuário verificou os anos de 1500, 182 e 2016, assinale a alternativa que corresponde aos respectivos resultados: (a) Não é Bissexto, Bissexto, Não é Bissexto (b) Não é Bissexto, Bissexto, Bissexto (c) Bissexto, Não é Bissexto, Bissexto (d) Bissexto, Não é Bissexto, Não é Bissexto 3 a Questão (10 pontos): Um programa lê, imprime e armazena mensagens de texto, empregando um arranjo unidimensional de 102 posições (vetor Vet[ ]). Quando a mensagem não ocupa todas as posições disponíveis é gravado o caractere # para sinalizar o final da mensagem. Por questões de segurança, antes de armazenar, modifica os dados lidos substituindo vogais por números através das seguintes trocas: lê a e armazena 7, lê e e armazena 6, lê i e armazena 5, lê o e armazena e finalmente, lê u e armazena 9. Em mensagens contento números, é armazenado o caracter \ antes e depois do número para sinalizar que não é uma vogal codificada. Quando é utilizado para imprimir os dados armazenados decodifica as palavras trocando os números pelas respectivas vogais. Supondo que ao rodar esse programa para recuperar uma mensagem armazenada obtemos modelo-2 frase codificada, assinale a alternativa que corresponde aos dados que estão no vetor: (a) md6l-\2\ fr7s6 cd5f5c7d7# (b) m5d6l \2\ cd5f5c7d7# (c) md6l\\ 2 fr6s6 cd5f5c7d7# (d) md7l-\2\ cd7f5c5d7#

7 a Questão (10 pontos): A Zeta-Montagens tem jornada semanal de trabalhos prevista para 0 horas e realiza o pagamento de seus funcionários no final de cada jornada. Quando ultrapassa as 0 horas, o funcionário recebe um adicional de 0% sobre o valor das horas extras. Sabendo que para o cálculo são fornecidos o total de horas trabalhadas e o valor pago por cada hora de trabalho, escolha uma das alternativas, escrita em pseudo-código, que mostra como o cálculo desse pagamento é efetuado: (a) SE Total_horas > 0 ENTÃO Pagamento = (0 + (Total_horas 0)*1,)*Valor_hora SENÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora (b) SE Total_horas 0 ENTÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora SENÃO Pagamento = 0*Valor_hora + (Total_horas 0)*Valor_hora (c) SE Total_horas > 0 ENTÃO Pagamento = 0*Valor_hora + (Total_horas 0)*0,*Valor_hora SENÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora (d) SE Total_horas 0 ENTÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora SENÃO Pagamento = Total_horas*(Valor_hora + (Total_horas 0)*0,*Valor_hora) 5 a Questão (10 pontos): Escolha entre as alternativas no corpo do programa, qual é a sequência correta de comandos de leitura dos dados de uma matriz que armazena em cada elemento M(i,j) um número inteiro diferente de zero. A matriz tem dimensões N linhas e M colunas indicadas antes da leitura. Obs: 2 < N, M < 9. Programa-5 INTEIRO i, j, M[8, 8] FAÇA ESCREVA digite o número de linhas e colunas LEIA N, M ENQUANTO N 3 OU N 8 OU M 3 OU M 8 i 1 ENQUANTO i N FAÇA j 1 ENQUANTO j M FAÇA (a) ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) (b) FAÇA ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) ENQUANTO M(i,j) = 0 (c) LEIA M(i, j) (d) j j + 1 FIM-ENQUANTO i i + 1 FIM-ENQUANTO FIM Programa-5 FAÇA ESCREVA digite M(, i,,, j, ): LEIA M(i,j) ENQUANTO i < M E j < N 6 a Questão (10 pontos): Escreva um programa que armazena, via leitura, quatro números inteiros (A, B, C, D), calcula e 3 A B mostra o resultado da seguinte expressão: M C D 2 Programa-6 INTEIRO A, B, C, D REAL M ESCREVA digite quatro números inteiros LEIA A, B, C, D M ((A+B)*(A+B) *(A+B))/((C - D)*(C - D)) ESCREVA M = (, A, +, B, )^3 / (, C, -, D, )^2 =, M FIM Programa-6

8 7 a Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê o número de matrícula e as notas bimestrais de um aluno, N1 e N2, calcula a média aritmética e escreve a média e o resultado do semestre, conforme indica a tabela abaixo: Programa-7 INTEIRO matr Média Aritmética Resultado 0 Média < 3,0 Reprovado 3,0 Média < 6,0 Prova de Recuperação 6,0 Média 10,0 Aprovado REAL Med, N1, N2 ESCREVA Escreva número de matrícula e as notas N1 e N2 LEIA matr, N1, N2 Med (N1 + N2)/2 SE Med < 3,0 ENTÃO ESCREVA Matricula:, matr, Média =, Med, Reprovado SENÃO SE Med < 6,0 ENTÃO ESCREVA Matricula:, matr, Média =, Med, Recuperação FIM Programa-7 SENÃO ESCREVA Matricula:, matr, Média =, Med, Aprovado 8 a Questão (10 pontos): Uma aproximação para o número é dada pela série:... Escreva um programa que calcula o valor de empregando 21 termos dessa série e, mostra o resultado. Programa-8 INTEIRO k, Den, Sinal REAL Pi k 1 Den -1 Sinal -1 Pi 0 ENQUANTO k 21 FAÇA Den Den + 2 Sinal -1 * Sinal Pi Pi + Sinal */Den k k + 1 FIM-ENQUANTO ESCREVA PI =, Pi FIM Programa

9 9 a Questão (10 pontos): Seja um programa que lê e armazena pequenas mensagens de texto em um arranjo unidimensional de 1000 posições (vetor Vet[ ]). Escreva um fragmento de código com os comandos necessários para que o programa possa contar as ocorrências da vogal a e das consoantes n e s digitadas, escrevendo logo em seguida a estatística realizada e o total de caracteres da mensagem (espaços em branco não são contabilizados). Logo após a digitação da mensagem é gravado o caractere # para sinalizar seu final e, também considere que apenas letras minúsculas são utilizadas nas mensagens. Por exemplo, para a frase lida: mensagens de festas Teríamos após a digitação dos dados a seguinte saída do programa: Vogal a: 2 ocorrência(s) Consoante n: 2 ocorrência(s) Consoante s: ocorrência(s) Tamanho da mensagem: 17 caractere(s) k 1 A 0 N 0 S 0 ENQUANTO Vet(k) # E k 1000 FAÇA SE Vet(k) = a ENTÃO A A + 1 SENÃO SE Vet(k) = n ENTÃO N N + 1 SENÃO SE Vet(k) = s ENTÃO S S + 1 FIM-ENQUANTO ESCREVA Vogal a:, A, ocorrência(s) ESCREVA Consoante n:, N, ocorrência(s) ESCREVA Consoante s:, S, ocorrência(s) ESCREVA Tamanho da mensagem:, k, caractere(s) ESCREVA Consoante s:, S, ocorrência(s) ESCREVA Tamanho da mensagem:, k, caractere(s)

10 10 a Questão (10 pontos): Considere um reino independente em um arquipélago nos mares do Pacífico, onde a moeda oficial é o Bit (influência da Informática). Existem notas de B$50, B$10, B$5 e B$1 e você foi contratado(a) para ajudar na programação dos caixas automáticos de um grande banco do reino. Escreva um programa que ajuda a emitir o mínimo de notas quando é realizado um saque no caixa. Por exemplo, para um pedido de B$72 são entregues 1 nota de B$50, 2 de B$10 e 2 de B$1, enquanto uma solicitação de B$15 vai gerar uma entrega de 1 nota de B$10 e 1 nota de B$5. Seu programa deve ler o valor do saque no caixa, calcular a quantidade de notas para cada valor das cédulas e escrever qual quantidade de cada uma (mesmo que sejam 0 notas como no saque de B$15 onde B$50 e B$1 não são utilizadas). Programa - 10 INTEIRO B50, B10, B5, B1, Valor ESCREVA Valor do saque? LEIA Valor B50 0 B10 0 B5 0 B1 0 ENQUANTO Valor > 0 FAÇA SE Valor > 50 ENTÃO B50 B Valor Valor 50 SENÃO SE Valor > 10 ENTÃO B10 B Valor Valor 10 SENÃO SE Valor > 5 FIM-ENQUANTO ESCREVA notas B$50 =, B50 ESCREVA notas B$10 =, B10 ESCREVA notas B$5 =, B5 ESCREVA notas B$1 =, B1 FIM-Programa10 ENTÃO B5 B5 + 1 Valor Valor 5 SENÃO SE Valor > 1 ENTÃO B1 B1 + 1 Valor Valor 1