UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

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1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 e 2 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 29/11/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. Questão 1 (10 pontos). Considere as funções f(x) = x 2 + 1, g(x) = x 2 1 e suas composições f g(x) e g f(x). Se os domínios das composições são D f g e D g f, então é correto afirmar que: a) D f g = {x R} b) D g f = {x R} c) D g f = {x ( 1, 1)} d) D g f = Resposta: b) Basta notar que D f = {x R} e D g = {x R : x / ( 1, 1)}, assim as alternativas a), c) e d) não são verdadeiras. Questão 2 (10 pontos). Considere a função { x 2, se x < 3 f(x) = ax + b, se x 3 Quais os valores de a e b fazem de f uma função contínua e derivável em R? a) (a, b) = (3, 3) b) (a, b) = (6, 9) c) (a, b) = (2, 0) d) (a, b) Resposta: c) f é definida por duas sentenças deriváveis fora do ponto x = 3, logo são contínuas nestes pontos. No ponto x = 3 é necessário que a derivada no ponto esteja definida. Isto ocorre somente quando a = 6 e b = 9. Questão 3 (10 pontos). Considere a função f(x) = 5 x 2

2 encontre os pontos da reta onde o gráfico dessa função tem concavidade para baixo. a) x (2, + ) b) x (, 2] c) x R d) x (, 2) Resposta: d) A concavidade é para baixo no pontos onde a derivada segunda é negativa. Calculando a derivada segunda obtemos f 10 (x) = (x 2) 3 que é menor que zero em (, 2). Questão 4 (10 pontos). Sabendo que n=1 1 n 2 = π2 6 Considere a sequência a n = 6 n 2 + 4n + 3. é correto afirmar que: a) n=1 a n converge b) n=1 a n diverge c) n=1 a n = π 2 d) n=1 a n > π 2 Resposta: a) Basta fazer o teste de comparação com a série cuja soma é dada. Questão 5 (10 pontos). Calcule π π onde, m e n são números naturais. sen 2m+1 (x)cos n (x)dx a) ( 1)2m+n 3 b) 1 2 c) 0 d) π 4 Resposta: c) Basta notar que para todo valor de m temos uma função ímpar integrada num intervalo simétrico. Questão 6 (10 pontos). Avalie dx ( x 2 x + 1 ) x Resposta: 2

3 Chamando de I(x) a integral indefinida e fazendo a mudança x = y obtemos, 2dy y 2 2y + 1 = 2 1 y + C onde C é uma constante arbitrária. Logo, I(x) = 2 1 x + C. Questão 7 (10 pontos). Considere a função F(x, y) = ax 2 + by 2 com a e b números reais. Encontre as condições sobre a e b para que F seja solução da equação de Laplace F xx + F yy = 0 Resposta: Aplicando a equação de Laplace obtemos, donde a condição é a = b. F xx + F yy = 2(a + b), Questão 8 (10 pontos). Encontre três números positivos cuja soma é 12 de forma que a soma de seus quadrados seja mínima. Resposta: Temos que maximizar a função f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 com a restrição z = 12 x y. Assim, temos f(x, y) = x 2 + y 2 + (12 x y) 2. O gradiente tem componentes: f x = 2x 2(12 x y), f y = 2y 2(12 x y) O único ponto crítico é (x, y) = (4, 4). Neste ponto a matriz Hessiana é [ ] 4 2 H = 2 4 Cujo determinante é positivo e f xx > 0, logo (4, 4) é ponto de mínimo de f. Assim, os três números são x = 4, y = 4 e z = 4. Questão 9 (10 pontos). Calcule a derivada da função f(x) = (1 + a x ) x onde a é um número real positivo. 3

4 Resposta: ( ) f (x) = (1 + a x ) x ln(1 + a x ) + xax ln(a) 1+a x Questão 10 (10 pontos). Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas y = x e y = x 2, com x [0, 1]. Resposta: Escolhendo o método da cascas cilíndricas, devemos Calcular a integral: V = 1 0 (2πx)(x x 2 )dx = π 6. 4

5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FÍSICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 29/11/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 01 Prova sem consulta. 02 Duração: 2 HORAS 1 a Questão (10 pontos): A figura da esquerda mostra um sistema massa-mola que pode oscilar sem atrito ao longo do eixo x entre os pontos extremos +A e A. Suponha que o bloco seja deslocado até o extremo x = +A e solto com velocidade inicial zero no instante t = 0. Ele passa pelo ponto de equilíbrio (x = 0) e para ao chegar ao ponto x = A no instante t = t 1. A figura da direita mostra uma certa função f(t) para esse movimento. A função f(t) representa: a) A posição do bloco. b) A velocidade do bloco. c) A energia cinética do bloco. d) A energia potencial elástica do bloco. e) A energia mecânica do bloco. Solução: Alternativa (d). No instante t = 0 o bloco está na posição x = +A e sua energia potencial elástica é (k A 2 )/2. À medida em que o tempo passa, a energia potencial elástica diminui até chegar a zero quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio. A partir desse ponto ela volta a aumentar e torna-se novamente (k A 2 )/2 quando o bloco chega à posição x = -A. 2 a Questão (10 pontos): Considere a mesma situação descrita na questão anterior. Quando o bloco passa pelo ponto x = -A/2 é correto afirmar que: a) Sua velocidade é negativa e sua aceleração é positiva. b) Sua aceleração é negativa e sua velocidade é positiva. c) Sua velocidade é negativa e sua aceleração é nula. d) Tanto a velocidade quanto a aceleração são positivas. e) Tanto a velocidade quanto a aceleração são negativas. Solução: Alternativa (a). No ponto x = -A/2 a mola está parcialmente comprimida e, portanto, a força elástica é positiva. Logo, a aceleração do bloco será positiva. Nesse mesmo ponto o bloco se desloca para a esquerda e, portanto, sua velocidade será negativa.

6 3 a Questão (10 pontos): A figura mostra dois blocos, suspensos e em repouso, conectados por um fio inextensível de massa desprezível que passa por duas polias. Se a massa de cada um dos blocos for M e a aceleração da gravidade for g, a magnitude da tração no fio é: a) 4 M g; b) 2 M g; c) M g; d) M g / 2; e) M g / 4. Solução: Alternativa (c). O bloco da esquerda está sujeito a duas forças: a força da gravidade, que vale M g, e a tração no fio. Como o bloco está em repouso, a soma dessas duas forças deve ser nula e, portanto, a magnitude da tração é M g. O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao outro bloco e o resultado será o mesmo. 4 a Questão (10 pontos): Um saco de areia de 5,0 kg é erguido por uma corda que exerce sobre ele uma força de 60 N. Se a aceleração da gravidade for 9,8 m/s 2 e a trajetória do saco de areia for vertical, sua aceleração vale: a) 2,2 m/s 2 b) 9,8 m/s 2 c) 11 m/s 2 d) 21,8 m/s 2 e) 109 m/s 2 Solução: Alternativa (a). O saco de areia está sujeito a duas forças: a força da gravidade, que vale m g, e a tração T no fio. Como ele está acelerado, a soma vetorial dessas duas forças deve ser igual a m a. Portanto T m g = m a e a = g T/m. Substituindo os dados, vem: a = 9,8 (60/5,0) = 2,2 m/s 2. 5 a Questão (10 pontos): Um atleta está de pé no centro de uma plataforma que gira sem atrito. Ele tem os braços abertos e segura um haltere em cada mão. Quando ele fecha os braços, mantendo os halteres sempre na mesma altura, é correto afirmar que: a) A energia mecânica do sistema se conserva, mas seu momento angular não se conserva. b) O momento angular do sistema se conserva, mas sua energia mecânica não se conserva. c) A energia mecânica do sistema se conserva, mas sua energia cinética não se conserva. d) Tanto a energia mecânica quanto o momento angular do sistema se conservam. e) Nem a energia mecânica nem o momento angular do sistema se conservam. Solução: Alternativa (b). Ao fechar os braços, a força muscular realiza trabalho e, portanto, a energia mecânica do sistema não se conserva. Como não há torques externos sobre o sistema, o momento angular se conserva.

7 6 a Questão (10 pontos): Uma locomotiva de 100 toneladas desloca-se ao longo de uma estrada de ferro horizontal a uma velocidade de 2,0 m/s quando colide com um vagão de 30 toneladas, que estava em repouso. Supondo que os freios não estivessem acionados e que o vagão tenha ficado preso à locomotiva, calcule a velocidade do conjunto logo após a colisão. Solução:

8 7 a Questão (10 pontos): Considere um sistema formado por três partículas idênticas, cada uma delas com massa M. A figura mostra duas dessas partículas, localizadas nos pontos A (-a,0) e B (0,a). Determine as coordenadas x e y da terceira partícula para que o centro de massa do sistema fique no ponto O (0,0). Solução:

9 8 a Questão (10 pontos): A força que atua sobre uma partícula é dada, no Sistema Internacional de unidades (SI), pelo vetor F (x,y) = 4,0 x 2 i + 3,0 j. Nessa expressão i e j são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x e y. Calcule o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca do ponto P (10 cm; 10 cm) ao ponto Q (10 cm; 30 cm) ao longo do segmento de reta PQ. Solução:

10 9 a Questão (10 pontos): Um bloco de 2,0 kg desce um plano inclinado com velocidade constante de 1,0 m/s. Considerando que o ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal seja 30º e que a aceleração da gravidade seja 9,8 m/s 2, calcule a magnitude da potência dissipada pela força de atrito que há entre o bloco e o plano inclinado. Solução:

11 10 a Questão (10 pontos): Duas partículas de massas m A e m B descrevem um movimento circular uniforme em torno da origem O, como mostra a figura. A distância de A até a origem é o dobro da distância de B à origem e o momento angular das duas partículas em relação a O é igual. Determine a razão entre as massas m A/m B para que a velocidade angular de A seja o triplo da velocidade angular de B. Solução: