m R 45o vertical Segunda Chamada de Física I Assinatura:

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1 Segunda Chamada de Física I NOME: Assinatura: DE Nota Q1 Nas questões em que for necessário, considere que: todos os fios e molas são ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resistência do ar é desprezível; a aceleração da gravidade tem módulo g conhecido. Questão 1 - [,5 pontos] Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa m e um fio ideal de comprimento l. No instante em que o fio faz um ângulo de 45 o com a vertical, a resultante das forças que atuam sobre a esfera tem direção horizontal, conforme a figura abaixo. Sabe-se que nesse instante sua velocidade vale m/s. a) Utilizando que a aceleração da gravidade vale g = 10m/s calcule o comprimento l do fio na situação apresentada. b) A energia mecânica do sistema se conserva? Justifique sua resposta. c) Qual a velocidade que a esfera possui quando o fio está na posição horizontal? l m 45o vertical a) As forças que atuam sobre a esfera são o peso e a tração do fio. Na situação apresentada, a resultante das forças tem a direção horizontal P + T = A componente y é portanto P y + T y = 0 mg + Tcos45 o = 0 T = mg Por outro lado, sabe-se que a força na direção do fio é a força centrípeta: De onde tira-se que T Pcos45 o = ma CP l = mg cos45 o mgcos45o = mv l cos 45 o v g(1 cos 45 o ) = v g l 1, 7m b) As duas únicas forças que atuam na esfera são o peso e a tração. Apesar de a tração não ser uma força conservativa, ela sempre atua perpendicularmente ao deslocamento, portanto não realiza trabalho. Já o peso realiza trabalho mas é uma força conservativa. Portanto, a energia mecânica se conserva. c) Como foi discutido no item anterior a energia se conserva. Portanto, podemos igualar a energia mecânica em quaisquer pontos do movimento. Em particular, se escolhemos o ponto do ítem a e a posição horizontal do fio (escolhendo a posição vertical do fio como o zero da energia potencial) mvi + mg(l l cos 45o ) = mv hor + mgl v hor = v i gl Com isso, obtemos um valor negativo para vhor o que quer dizer que não existe solução. Isso quer dizer que o pêndulo para antes de atingir a posição horizontal. 1

2 Nota Q Questão - [,5 pontos] Dois patinadores de mesma massa M estão num ringue de patinação. Um deles está parado enquanto o outro se move com velocidade constante v 0. Ao passar pela menor distância entre eles, de d, eles se dão as mãos. A figura abaixo mostra a situação antes de eles se darem as mãos. a) Desprezando a resistência do ar e o atrito dos patins com o gelo, o momento linear do sistema formado pelos patinadores se conserva no movimento? Justifique sua resposta. b) Qual a posição do centro de massa r CM (0) no instante em que os patinadores se dão as mãos? Escolhendo esse instante como o instante inicial (t = 0), qual o vetor posição do centro de massa em função do tempo r CM (t)? Utilize os unitários e ĵ. c) Qual o momento angular L 1 do patinador que se move em relação ao que está parado, num instante anterior ao encontro dos dois? Y v 0 O x 0 d X a) A resultante das forças externas é nula portanto o momento linear do sistema se conserva. b) Os patinadores se dão as mãos quando o que se movia inicialmente está a uma distância d no eixo y do que estava parado. Dessa forma r CM (0) = m 1 r 1 + m r = Mx 0 + M(x 0 + dĵ) = x o + d m 1 + m M ĵ Para encontrar o vetor r CM (t) devemos levar em consideração a resposta do item a. Como o momento linear do centro de massa se conserva, sabe-se que a velocidade do centro de massa também se conserva. Portanto, a posição do CM descreve um movimento uniforme com velocidade V CM. Com V CM dada pela conservação de P CM Portanto, podemos escrever que M v 0 = M V CM V CM = v 0 r CM (t) = r CM (0) + V CM t Identificando v 0 como o módulo da velocidade inicial. Temos que r CM (t) = ( x 0 v 0 t ) + d ĵ c) Antes deles se encontrarem, a posição do que se move em relação ao que está parado é r 1 = (x 1 x 0 ) + dĵ Onde x 1 é a coordenada em x da posição do patinador em relação ao eixo apresentado na figura. Dessa forma, o momento angular em questão será L 1 = M r 1 v 0 = M [(x 1 x 0 ) + dĵ] [ v 0 ] Procedendo com os produtos vetoriais obtemos que L 1 = Mdv 0ˆk

3 Segunda Chamada de Física I NOME: Assinatura: DE Nota Q Questão - [,0 pontos] Um disco homogêneo de massa M e raio é puxado por um fio ideal, que está preso no centro do disco e faz um ângulo θ com a horizontal. Seja F o módulo da força exercida pelo fio, como ilustra a figura. O disco rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. a) Usando que o momento de inércia do disco em relação ao eixo de simetria perpendicular a ele e que passa pelo seu centro de massa vale I CM = 1 M calcule a aceleração do centro de massa do disco. b) Calcule o módulo da força de atrito e indique qual a direção e sentido da mesma, justificando sua resposta. c) Qual o menor valor que o coeficiente de atrito estático µ e deve ter para que o disco não deslize? Justifique sua resposta. M F θ M F θ F at P N a) Escrevendo a Segunda Lei de Newton de acordo com o diagrama de forças apresentado, temos F + F at + P + N = M A CM, onde A CM é a aceleração do centro de massa do disco. Escrevendo a componente horizontal da equação (usando que a normal e o peso só tem a componente vertical): F cosθ F at = MA CM. (1) Por outro lado, somente a F at gera torque no disco, então: τ = r F = I CM α F at = 1 M A CM onde usou-se a condição de rolamento sem deslizamento α = ACM. Substituindo () em (1): F cosθ MA CM = MA CM F cosθ = MA CM b) Substituindo a expressão encontrada para A CM na equação da dinâmica das rotações: F at = MA CM, () A CM = F cosθ M F at = M.F cosθ M F at = F cosθ. Essa força de atrito é para a esquerda pois quando se aplica a força F, a tendência do disco é deslizar para a direita. Dessa forma, o atrito se opõe a esse movimento, gerando uma força para a esquerda.

4 c) Sabe-se que a força de atrito estática tem um limite de F at µ e N. Portanto, no limite da condição de rolamento sem deslizamento, temos que F cosθ = µ e N. Se a força F aplicada for maior do que a que obedece a equação acima, o disco passaria a deslizar sobre a superfície. Escrevendo a componente vertical da Segunda Lei de Newton: Dessa forma, no caso limite temos que F senθ + N Mg = 0 N = Mg F senθ. µ e N = F cosθ µ e = F cosθ (Mg F senθ) é o menor valor de µ e para que o disco possa rolar sem deslizar. 4

5 Nota Q4 Questão 4 - [,0 pontos] Uma pequena esfera de massa m colide com uma parede plana e lisa, de modo que a força exercida pela parede sobre ela é normal à superfície da parede durante toda a colisão. Considere que a força resultante sobre a esfera seja apenas a força exercida pela parede. O ângulo entre a velocidade da esfera antes da colisão ( v i ) e a direção normal à parede é θ i = 0 o. Sabe-se que o módulo da velocidade da esfera após a colisão é v f = v i /, onde v i é o módulo de sua velocidade antes da colisão. a) Qual a variação de energia cinética ocorrida na colisão da esfera com a parede? b) Indique o vetor velocidade final v f da esfera após a colisão? Utilize os unitários e ĵ e justifique sua resposta. θ i v f v i θ i θ f v f v i a) As velocidades são dadas portanto: K = K f K i = 1 mv f 1 mv i = 1 [ (vi ) ] m v i K = mv i 8 b) Sabemos que F ext = d p/dt. O enunciado deixa claro que a força exercida pela parede é sempre na direção normal a mesma. Dessa forma, não há componente tangente a parede na força externa que atua sobre a esfera e, com isso, essa componente do momento linear se conserva. Portantp: p i senθ i = p f senθ f mv i senθ i = mv f senθ f senθ f = senθ i Onde o ângulo θ f é o que a velocidade após a colisão faz com a direção normal à parede. Portanto, obtemos o ângulo θ f : Utilizando o sistema de eixos indicado na figura: senθ f =.sen0 o senθ i 0, 68 θ f 4 0 v f = v f senθ f + v f cosθ f ĵ v f = v i (0, 4 + 0, 6ĵ) 5