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1 Exercícios Adicionais 1. Podemos definir as funções seno, cosseno e tangente hiperbólicos como: sinh (x) = ex e x, cosh (x) = ex + e x, tanh (x) = ex e x e x + e x Escreva três funções no Scilab que implementem o seno, o cosseno e a tangente hiperbólicos; Escreva um programa que utilize suas funções para desenhar a forma das funções seno, cosseno e tangente hiperbólicos numa mesma janela gráfica.. O produto vetorial entre dois vetores V 1 e V é definido como: V 1 V = (V y1 V z V y V z1 ) i + (V z1 V x V z V x1 ) j + (V x1 V y V x V y1 ) k onde V 1 = V x1 i + V y1 j + V z1 k e V = V x i + V y j + V z k. Escreva uma função para calcular o produto vetorial de dois vetores V 1 e V. Note que essa função retorna um vetor real como resultado; Utilize a função para calcular o produto vetorial dos vetores V 1 = [, 4, 0.5] e V = [0.5, 3, ]. 3. Escreva uma função chamada min max que tente localizar os valores máximos e mínimos de uma função real f(x) arbitrária dentro de um intervalo fixo [a, b]. entrada de min max devem ser: Os argumentos de func O nome da função; prim val O primeiro valor de x (a, no intervalo de busca); ult val O último valor de x (b, no intervalo de busca); passos O número de passos de busca. Os seguintes argumentos de saída devem ser: xmin O valor de x no qual o mínimo foi encontrado;

2 min value O mínimo encontrado de f(x); xmax O valor de x no qual o máximo foi encontrado; max value O máximo encontrado de f(x). 4. Escreva um programa de teste para a função min max criada no exercício anterior. O programa deve passar para min max uma função definida pelo usuário f(x) = x 3 5x + 5x, e encontrar o mínimo e o máximo com 00 passos no intervalo 1 x 3. Os valores resultantes de mínimo e máximo devem ser impressos. 5. A derivada de uma função contínua f(x) é definida pela equação: d f(x + x) f(x) f(x) = lim dx x 0 x Em uma função amostrada, a definição se torna: f (x i ) = f(x i+1) f(x i ) x (1) onde x = x i+1 x i. Suponha que um vetor vect contém nsamp amostras de uma função espaçadas de dx. Escreva uma função que calcule a derivada desse vetor usando a aproximação em (1). A função deve verificar se dx é maior que zero para previnir erros de divisão por zero na função. Para verificar sua função, você deve gerar um conjunto de dados cuja derivada seja conhecida e comparar o resultado da função com a resposta correta. Uma boa escolha para uma função de teste é f(x) = sen(x). Do cálculo elementar, sabemos que f (x) = cos(x). Gere um vetor com 100 valores da função f(x) = sen(x), iniciando com x = 0 e utilizando um passo x = Calcule a derivada do vetor com a sua função e compare os resultados com a resposta correta. Faça um gráfico com os valores calculados pela equação (1) de maneira discretizada e um gráfico da função f(x) = cos(x) contínua. Quão próximo ficou a sua função do cálculo da resposta correta para a derivada?

3 6. A força gravitacional F entre dois corpos com massas m 1 e m é dada pela equação: F = G m 1 m r onde G é a constante gravitacional ( Nm /kg ), m 1 e m são as massas dos corpos em quilogramas e r é a distância entre os dois corpos. Escreva uma função para calcular a força gravitacional entre dois corpos dadas as suas massas e a distância entre eles. Teste a sua função determinando a força sobre um satélite de 800 kg em órbita a km da superfície da Terra. (A massa da Terra é de kg.) 7. Suponha que você tenha uma quantidade de dinheiro P em um investimento no banco (usamos P para indicar valor presente). Se o banco pagar os juros com taxa de i% ao ano e compuser os juros mensalmente, a quantidade de dinheiro que você terá no banco depois de n meses será dada pela equação: F = P ( 1 + i ) n 100 onde F é o valor futuro da conta e i é a taxa de juros mensal (o fator extra de 100 no denominador converte a taxa de interesse de porcentagens para frações). Escreva um programa 1 para ler uma quantia inicial P e uma taxa de juros anual i, calcular e gerar uma matriz do valor futuro do investimento a cada mês dos próximos cinco anos. 8. Os antigos babilônios usavam a seguinte aproximação (baseada no Método de Newton) para calcular a: (x k + axk ) x k+1 = 1 Escreva uma função para calcular a usando a aproximação acima: A sua função deve receber um chute inicial para a raiz; Execute o cálculo acima até que x k+1 x k < ɛ, onde ɛ é um valor suficientemente pequeno; Use a sua função para calcular 5, 1 e 5000, e compare com os valores fornecidos pela calculadora e/ou pelo Scilab. 3

4 9. Usando o método de Newton, podemos calcular a raiz p a, a 0 através da seguinte fórmula de recorrêcia: x x+1 = 1 p ( (p 1)x k + a ) x p 1, com x 0 > 0. k Escreva uma função para calcular p a usando a aproximação acima: A sua função deve receber um chute inicial para a raiz e a sua potência (p); Execute o cálculo acima até que x k+1 x k < ɛ, onde ɛ é um valor suficientemente pequeno; Use a sua função para calcular 3 15, e 3 14, e compare com os valores fornecidos pela calculadora e/ou pelo Scilab. 10. O Método de Newton pode ser aplicado a qualquer equação contendo funções cujas derivadas possam ser calculadas. Por exemplo, ache uma aproximação para o recíproco de um número positivo C, definindo a função f(x) = 1 C e aplicando o Método de Newton. x Observação: O Método de Newton aplicado a essa função nos permite calcular o inverso de um número sem efetuar nenhuma divisão! Este método é útil porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operação de divisão consume mais tempo do que várias multiplicações e adições juntas. Escreva uma função (no inverso.sci)para este problema onde devemos fornecer apenas o número C. Escreva um programa que leia a função no inverso.sci e execute a função para um dado C. 4

5 Algoritmo 1 Método de Newton-Raphson Dado x 0, f(x), f (x), max e ɛ 1: Para k = 0 até k = max faça : x x+1 = x k f(x k) f (x k ) 3: Se f(x k+1 ) ɛ ou x k+1 x k ɛ então 4: PARE, x = x k+1 5: Fim do condicional 6: Se k = max então 7: PARE, o método não converge para a solução. 8: Fim do condicional 9: Fim do laço 5

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