Universidade Federal de Juiz de Fora Departamento de Matemática

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1 Universidade Federal de Juiz de Fora Departamento de Matemática Cálculo I - Segunda Avaliação - Segundo Semestre Letivo de /12/ FILA A Aluno(a): Matrícula: Turma: Instruções Gerais: 1- A prova pode ser feita a lápis, exceto o quadro de respostas das questões de múltipla escolha, que deve ser preenchido à caneta azul ou preta. 2- Não é permitido sair da sala durante a aplicação da prova. 3- Não é permitido o uso de calculadora. 4- Permanência mínima de 30 minutos na sala. 5- A prova tem duração de 2 horas. Nota da 2 a Avaliação 1 a Parte: Questões de Múltipla Escolha Quadro de Respostas das Questões de Múltipla Escolha Valor 21 pontos Alternativa\Questão A B C D E 1. A soma dos valores de a e b para os quais a função dada por f(x) = x 3 + ax 2 + b tem um extremo relativo no ponto ( 2, 1) é: a) 6 b) 0 c) -2 d) 3 e) 2 2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente por (1 + cosx 2 y 2 ) 2 + x + y = 5, no ponto de ordenada y = 0, é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 { x 3. Considere a função f(x) = se x 0 e x se x < 0. É CORRETO afirmar que: a) f +(0) = f (0) = 0. b) f +(0) = 1 e f (0) = 1. c) f +(0) = f (0) = 1. d) f +(0) = 0 e f (0) = 1. e) f +(0) = 0 e f (0) = 1.

2 4. A figura abaixo representa o gráfico de uma função f derivável até segunda ordem. Marque a alternativa que apresenta um intervalo onde tanto f quanto f são positivas: a) (3, 4) b) (-2,1) c) (1,3) d) (1,4) e) (-2,3) 5. A derivada da função f(x) = arctg(2x 2 + 1) em x = 1 é igual a: a) 1 b) 0 c) -1/2 d) 1/10 e) 2/5 6. A figura abaixo representa o gráfico da derivada f de uma função bijetora. A derivada da inversa de f no ponto (5, 2) é igual a: a) -1/4 b) 1/4 c) 1/3 d) 3 e) -1/3

3 As questões de números 7 a 14 referem-se à função definida por f(x) = 2x + 8 x O domínio e as raízes de f são, respectivamente: a) R e {0}. b) R {0} e f não tem raízes reais. c) R {0} e {1, 2}. d) R e {1, 2}. e) R e f não tem raízes reais. 8. A primeira derivada da função f é: a) f (x) = x 2 b) f (x) = 2 8 x c) f (x) = x d) f (x) = 2 8 x 2 e) f (x) = 8 x 9. A segunda derivada da função f é: a) f (x) = 16 x 3 b) f (x) = 16 x 2 c) f (x) = 16 x 3 d) f (x) = 16 x 2 e) f (x) = 8 x 2

4 10. Sobre o crescimento e decrescimento da função f, podemos afirmar que: a) f é crescente nos intervalos (, 2] e [2, + ) e decrescente no intervalo [ 2, 2]. b) f é crescente nos intervalos (, 2] e [2, + ) e decrescente nos intervalos [ 2, 0) e (0, 2]. c) f é crescente nos intervalos [ 2, 0) e (0, 2] e decrescente nos intervalos (, 2] e [2, + ). d) f é crescente nos intervalos (0, 2) e (2, ) e decrescente nos intervalos (, 2) e ( 2, 0). e) f é crescente nos intervalos (, 0) e (0, + ). 11. Sobre a concavidade da função f, podemos afirmar que: a) f é côncava para cima no intervalo (0, + ) e côncava para baixo no intervalo (, 0). b) f é côncava para cima nos intervalos (, 2) e ( 2, 0) e côncava para baixo nos intervalos (0, 2) e (2, + ). c) f é côncava para cima nos intervalos (, 0) e (0, + ). d) f é côncava para cima no intervalo (, 0) e f é côncava para baixo no intervalo (0, + ). e) f é côncava para baixo nos intervalos (, 0) e (0, + ). 12. Sobre máximos e mínimos relativos (locais) da função f e pontos de inflexão, podemos afirmar que: a) f tem máximo relativo em x = 2, f tem mínimo relativo em x = 2 e ponto de inflexão em x = 0. b) f tem máximo relativo em x = 2, f tem mínimo relativo em x = 2 e ponto de inflexão em x = 0. c) f tem máximo relativo em x = 2, f não tem mínimo relativo e tem ponto de inflexão em x = 0. d) f não tem máximo relativo, f tem mínimo relativo em x = 2 e tem ponto de inflexão em x = 0. e) f tem máximo relativo em x = 2, f tem mínimo relativo em x = 2 e não tem ponto de inflexão.

5 13. Em relação às assíntotas da função f, podemos afirmar que: a) f possui uma assíntota vertical de equação x = 0 e não possui assíntota horizontal. b) f não possui uma assíntota vertical e possui uma assíntota horizontal de equação y = 0. c) f possui uma assíntota vertical de equação x = 0 e uma assíntota horizontal de equação y = 2. d) f possui uma assíntota vertical de equação x = 2 e não possui assíntota horizontal. e) f não possui assíntotas verticais nem horizontais. 14. O gráfico que melhor representa a função f é:

6 15. Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L Hospital. Valor: 9 pontos (a) lim x 0 x tg x sen x (b) ( lim cotg x 1 ) x 0 + x (c) lim x + (ex + x 2 ) 1/x

7 16. A figura abaixo representa o gráfico da derivada f de uma função f. Valor: 12 pontos Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das seguintes afirmações. JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA. ( ) A função f tem um mínimo local em x = 2 e não tem máximo local.

8 ( ) A reta tangente ao gráfico de f em x = 1 tem coeficiente angular positivo. ( ) A função f tem um ponto de inflexão em x = 1. ( ) No intervalo ( 2, 1) a função f é crescente e côncava para baixo.