Estudo de funções. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática.

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1 Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Estudo de funções Continuidade Consideremos as funções: f : R R g : R R x x + x x +, x 1 Note-se que: lim x f(x) = 4 e f() = 4. A função é contínua em x =. lim x g(x) = 4 e g() = 1. A função é descontínua em x =. Definição 1 Uma função f definida num ponto a diz-se contínua em a se existir lim x a f(x) e se lim x a f(x) = f(a). Definição Uma função f definida é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. Teorema 1 Sejam f e g funções contínuas. Então, f + g, f g, contínuas em todos os pontos onde estejam definidas. f g, f n e n f são Teorema (dos valores intermédios ou de Bolzano) Se f é uma função contínua em [a, b] e se f(a) < f(b), então qualquer que seja k [f(a), f(b)] existe pelo menos um valor c [a, b] tal que f(c) = k. Corolário 1 Se f é uma função contínua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe c [a, b] tal que f(c) = 0. 1

2 Intervalos de monotonia Teorema Seja f uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Se 1. f (x) > 0, x ]a, b[, então f é estritamente crescente em ]a, b[ (ou seja, x > y f(x) > f(y), x, y ]a, b[);. f (x) 0, x ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[ (ou seja, x > y f(x) f(y), x, y ]a, b[);. f (x) = 0, x ]a, b[, então f é constante em ]a, b[; 4. f (x) < 0, x ]a, b[, então f é estritamente decrescente em ]a, b[ (ou seja, x > y f(x) < f(y), x, y ]a, b[); 5. f (x) 0, x ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[ (ou seja, x > y f(x) f(y), x, y ]a, b[). Os intervalos de monotonia de uma função são os maiores intervalos em que essa função é monótona (crescente ou decrescente). Máximos e mínimos Definição Diz-se que f(x 0 ) é 1. um máximo absoluto se f(x) f(x 0 ), x D f ;. um mínimo absoluto se f(x) f(x 0 ), x D f ;. um máximo relativo ou máximo local se f(x) f(x 0 ), x ]x 0 c, x 0 + c[ (isto é, numa vizinhança de x 0); 4. um mínimo relativo ou mínimo local se f(x) f(x 0 ), x ]x 0 c, x 0 + c[ (isto é, numa vizinhança de x 0). Teorema 4 Se f é derivável em x 0 e f(x 0 ) é máximo ou mínimo relativo, então f (x 0 ) = 0. O recíproco deste teorema é falso. De facto, se f(x) = x e x 0 = 0, então f (0) = 0, mas f(0) não é máximo nem mínimo relativo.

3 Os pontos x 0 onde f(x 0 ) pode ser máximo ou mínimo local encontram-se entre os pontos onde f se anula ou os pontos onde não existe derivada ou as extremidades a e b do domínio de f, sendo f : [a, b] R. Através do estudo da primeira e segunda derivadas de uma função, podemos encontrar os máximos e mínimos relativos: se, à esquerda de x 0, f (x) > 0 e, à direita de x 0, f (x) < 0, então f(x 0 ) é um máximo relativo; se, à esquerda de x 0, f (x) < 0 e, à direita de x 0, f (x) > 0, então f(x 0 ) é um mínimo relativo; se f (x 0 ) < 0 então f(x 0 ) é um máximo relativo (por exemplo, f(x) = x x 0 = 0); e se f (x 0 ) > 0 então f(x 0 ) é um mínimo relativo (por exemplo, f(x) = x e x 0 = 0); Concavidades e Pontos de Inflexão Teorema 5 Seja f uma função real de variável real com segunda derivada: se f (x) > 0, x ]a, b[, então a função f tem a concavidade voltada para cima em [a, b]; se f (x) < 0, x ]a, b[, então a função f tem a concavidade voltada para baixo em [a, b]. Definição 4 O ponto (x 0, f(x 0 )) é um ponto de inflexão se f é contínua em x 0 concavidade muda de sentido nesse ponto. e a Teorema 6 Se f = 0 e o sinal da segunda derivada muda ao passar da esquerda para a direita em x 0, então o ponto (x 0, f(x 0 )) é um ponto de inflexão.

4 Assimptotas Seja M um ponto do gráfico de f e s a distância de M à recta r. Então, diz-se uma assimptota ao gráfico de f. lim S = 0 e r a + A recta x = a é uma assimptota vertical se lim f(x) = ± ou lim f(x) = ±. x a + x a A recta y = b é uma assimptota horizontal se lim f(x) = b. x ± A assimptotas oblíquas são da forma y = mx + b, onde mx). f(x) lim x ± x e b = lim (f(x) x ± 1. Esboce o gráfico das seguintes curvas de R. (a) x = 4 (b) y = (c) x = 0 (d) y = x 1 (e) 4x + y = 6 (f) y = x + (g) y = (x ) (h) y = x + x (i) y = x 4x (j) y = x + x + 4 (k) x = y + 4y (l) x + 4x y = (m) y = x + (n) y = x + (o) y = 4 1 x (p) y = x 1. Represente geometricamente a região limitada pelas curvas de equações (a) y = x + 1, y = 0, x = 0 e x = 4 (b) y = x, y = x e y = 1 (c) y = x, x = e y = 0 4

5 (d) y = x + 4x e y = x (e) y = x x + e y = (f) y = x e y = x (g) y = x x + 1, y = x e y = 0 (h) y = x + x 6, y = x x e x = 1 (i) x = y + y e x = (j) y = x x e y = x + x. Estude as seguintes funções, atendendo a: domínio, zeros, monotonia e extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão e assimptotas. (a) f(x) = x + x Df = R\{}, é o zero de f, f 7 (x) =, f é decrescente em ], [ (x ) e ], + [, não tem extremos, f 14 (x) =, concavidade voltada para cima (x ) ], + [ e para baixo ], [, não tem pontos de inflexão, assimptota vertical x = e assimptota horizontal y =. (b) f(x) = x x + 1 x Df = R\{}, 1 é o zero de f, f (x) = x 6x + 5, f é crescente em ], 1] (x ) e [5, + [, f é decrescente em [1, [ e ], 5], 0 é máximo relativo e 8 mínimo relativo, f 8 (x) =, concavidade voltada para cima ], + [ e para baixo (x ) ], [, não tem pontos de inflexão, assimptota vertical x = e assimptota oblíqua y = x + 1. (c) f(x) = ln x x Df = R +, 1 é o zero de f, f (x) = f é decrescente em [e, + [, e ln x, f é crescente em ]0, e], x é máximo absoluto, f + ln x (x) =, x concavidade voltada para cima [e, + [ e para baixo ]0, e [, e, e ponto de inflexão, assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0. é (d) f(x) = x e x Df = R, 0 é o zero de f, f (x) = e x xe x, f é crescente em ], 1], f é decrescente em [1, + [, e 1 é máximo absoluto, f (x) = e x + xe x, concavidade voltada para cima [, + [ e para baixo ], ], (, e ) é ponto de inflexão, assimptota horizontal y = 0. 5

6 (e) f(x) = (x 1)e x Df = R, ±1 são os zeros de f, f (x) = xe x + e x x e x, f é crescente em ], 1] e [ 1, + [, f é decrescente em [ 1, 1], (( 1 ) 1)e 1 é máximo relativo e (( 1) 1)e 1 mínimo absoluto, f (x) = e x +4xe x +e x x, concavidade voltada para cima ], ] e [ + (, + [ e para baixo [, + ],, (( ) ) 1)e ( e +, (( + ) ) 1)e + são os pontos de inflexão, assimptota horizontal y = 0. (f) f(x) = x + ln x Df = R +, não tem zeros, f (x) = x 1, f é crescente de [1, + [, f é decrescente de ]0, 1], é mínimo absoluto, f (x) = 1, concavidade sempre voltada x x para cima, assimptota vertical x = 0. (g) f(x) = ln x 1 ln x Df =]0, e[ ]e, + [, 1 é o zero de f, f (x) = 1, f é crescente em ( 1 + ln x) x ]0, e[ e ]e, + [, não tem extremos relativos, f (x) = 1 + ln x ( 1 + ln x) x, concavidade voltada para cima [e 1, e[ e para baixo ]0, e 1 ] e ]e, + [, e 1, 1 ) ( é o ponto de inflexão, assimptota vertical x = e e assimptota horizontal y = 1. 6