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1 MT 453 álculo iferencial e Integral I P USP Segunda Prova 3/05/09 INTIFIÇÃO Nome: NUSP: Turma: INSTRUÇÕS Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante o exame Sobre a carteira deixe apenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto Mochilas, blusas e demais pertences devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (não custa repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados Preencha a tinta, e de maneira legível, todos os campos desta página 3 sta prova tem duração máxima de horas entrega da prova e saída da sala só é permitida após 08h30min 4 s questões dissertativas podem ser feitas a tinta (azul ou preta) ou a lápis 5 Utilize, se necessário, as páginas seguintes (exceto a última) para rascunho Só será considerado na correção das questões dissertativas o que estiver na folha com seu enunciado 6 Mantenha a organização, limpeza e legibilidade na redação das questões dissertativas, justificando todas as suas afirmações 7 Preencha, a tinta e completamente, os campos para seu número USP (deixando as primeiras colunas em branco, caso tenha menos de 8 dígitos), número da turma (de matrícula nesta disciplina), bem como o nome e assinatura Isto deve ser feito antes da assinatura da lista de presença vite erros nesse momento 8 ssinale apenas uma alternativa por questão, preenchendo completamente o alvéolo m caso de erro, que devem ser evitados, assinale também a alternativa que julgar correta e indique expressamente qual delas deve ser considerada na própria folha de respostas, ao lado da questão correspondente 9 Não haverá tempo adicional para transcrição das alternativas dos testes para a folha de respostas 0 Não destaque nenhuma folha de sua prova ssinatura: O PROV!

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3 Teste [afirms ssinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira Se f :, [ R é uma função derivável tal que f não possui pontos críticos, então f não possui extremos globais Se f : [, R é uma função qualquer tal que f () f ( ) < 0, então existe c, [ tal que f (c) = 0 Se f : [, R é uma função contínua tal que f é derivável em, [ e f () = f ( ) +, então existe c, [ tal que f (c) = Se f :, [ R é uma função derivável e c, [ é o único ponto crítico de f, então c é extremo global de f Se f :, [ R é uma função derivável tal que f (0) = e f (x) > 0 para todo x, [, então f (x) > 0 para todo x, [ Solução: ) Verdadeira Se existisse c, [ ponto de extremo global de f então c seria ponto de extremo local de f, já que, [ é intervalo aberto omo f é derivável, teríamos f (c) = 0, isto é, c seria ponto crítico {, se 0 x ; ) Falsa Por exemplo f (x) =, se x < 0 ) Falsa Por exemplo, f (x) = x ) Falsa Por exemplo, f (x) = x 3 ) Falsa Por exemplo, f (x) = x + Teste [afirms ssinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira Se f :, [ R é uma função derivável, com derivada contínua, c, [ é o único ponto crítico de f e c é ponto de mínimo local de f então c é ponto de mínimo global de f Se f :, [ R é uma função derivável, com derivada contínua, tal que f possui pontos críticos, então f possui extremos locais Se f : [, R é uma função qualquer tal que f () f ( ) < 0, então existe c, [ tal que f (c) = 0 Se f : [, R é uma função contínua tal que f é derivável em, [ e f () = f ( ) +, então existe c, [ tal que f (c) = Se f :, [ R é uma função derivável tal que f (0) = e f (x) > 0 para todo x, [, então f (x) > 0 para todo x, [ Solução: ) Verdadeira Observe que f (x) < 0, se x < c e f (x) > 0, se x > c (e fato, se existisse b, c[ com f (b) > 0 então, pelo TVI, existiria d b, c[ tal que f (d) = 0, isto é, existiria outro ponto crítico de f em, [ nalogamente para c, [) ssim, f é estritamente decrescente em, c e estritamente crescente em [c, [ Portanto, c é ponto de mínimo global de f ) Falsa Por exemplo, f (x) = x 3 ) Falsa Por exemplo f (x) = ) Falsa Por exemplo, f (x) = x ) Falsa Por exemplo, f (x) = x + {, se 0 x ;, se x < 0

4 Teste 3 [cones onsidere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo [6, 0 ntre esses cones, sejam o de maior volume e o de menor volume ntão a razão entre o volume de e o volume de é Solução: Temos V = 3 πr h, em que r + (h 6) = 36, isto é, r = h h Queremos, então, o máximo e mínimo de V(h) = 3 π(h h 3 ) em [6, 0 Observe que V(h) é contínua em [6, 0 Pelo Teorema de Weierstrass, V possui máximo e mínimo globais lém disso, f é derivável em 6, 0[ Os candidatos a extremo são h = 6, h = 0 e os pontos críticos de V em 6, 0[ omo V (h) = 3 π3h(8 h), o único ponto crítico no intervalo considerado é h = 8 Temos V(6) = 6, V(8) = 56 (máximo) e V(0) = 00 (mínimo) ssim, a resposta correta é 3 Teste 4 [cones onsidere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo [6, 9 ntre esses cones, sejam o de maior volume e o de menor volume ntão a razão entre o volume de e o volume de é Solução: Temos V = 3 πr h, em que r + (h 6) = 36, isto é, r = h h Queremos, então, o máximo e mínimo de V(h) = 3 π(h h 3 ) em [6, 9 Observe que V(h) é contínua em [6, 9 Pelo Teorema de Weierstrass, V possui máximo e mínimo globais lém disso, f é derivável em 6, 0[ Os candidatos a extremo são h = 6, h = 9 e os pontos críticos de V em 6, 0[ omo V (h) = 3 π3h(8 h), o único ponto crítico no intervalo considerado é h = 8 Temos V(6) = 6 (mínimo), V(8) = 56 (máximo) e V(9) = 43 ssim, a resposta correta é 3 7 5

5 Teste 5 [cones3 onsidere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo [6, 0 ntre esses cones, sejam o de menor volume e o de maior volume ntão a razão entre o volume de e o volume de é Solução: Temos V = 3 πr h, em que r + (h 6) = 36, isto é, r = h h Queremos, então, o máximo e mínimo de V(h) = 3 π(h h 3 ) em [6, 0 Observe que V(h) é contínua em [6, 0 Pelo Teorema de Weierstrass, V possui máximo e mínimo globais lém disso, f é derivável em 6, 0[ Os candidatos a extremo são h = 6, h = 0 e os pontos críticos de V em 6, 0[ omo V (h) = 3 π3h(8 h), o único ponto crítico no intervalo considerado é h = 8 Temos V(6) = 6, V(8) = 56 (máximo) e V(0) = 00 (mínimo) ssim, a resposta correta é 5 Teste 6 [cones4 onsidere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo [6, 9 ntre esses cones, sejam o de menor volume e o de maior volume ntão a razão entre o volume de e o volume de é Solução: Temos V = 3 πr h, em que r + (h 6) = 36, isto é, r = h h Queremos, então, o máximo e mínimo de V(h) = 3 π(h h 3 ) em [6, 9 Observe que V(h) é contínua em [6, 9 Pelo Teorema de Weierstrass, V possui máximo e mínimo globais lém disso, f é derivável em 6, 0[ Os candidatos a extremo são h = 6, h = 9 e os pontos críticos de V em 6, 0[ omo V (h) = 3 π3h(8 h), o único ponto crítico no intervalo considerado é h = 8 Temos V(6) = 6 (mínimo), V(8) = 56 (máximo) e V(9) = 43 ssim, a resposta correta é Para os testes 7, 8, 9 e 0 considere a função f : R \ {0} R dada por f (x) = x + x + x

6 Teste 7 [grafa É correto afirmar que f é estritamente decrescente em [,, 3 [ 3 [,, [ 3, 7 [ Solução: Temos f (x) = (x )(x +x+) ssim, f é estritamente crescente em, 0[ e em [, + [ x 3 e estritamente decrescente em 0, Teste 8 [grafa É correto afirmar que f tem concavidade para baixo em 7 [, 4 [, 0, 5 [ 3 [, 3 [, Solução: Temos f (x) = x+6 ssim, f tem concavidade para cima em, 0[ e em 0, 3 e x 4 tem concavidade para baixo em [3, + [ Teste 9 [grafa3 É correto afirmar que a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = 0 a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = f não tem assíntota quando x + a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = Solução: reta y = x + é assíntota para f, para x, pois lim x f (x) (x + ) = 0

7 Teste 0 [grafa4 ssinale a alternativa cujo gráfico mais se assemelha ao gráfico de f (I) (II) (III) (IV) (I) (II) (III) (IV) (V) Solução: O gráfico é obtido a partir das 3 questões anteriores e do fato que lim x 0 f (x) = + Para os testes,, 3 e 4 considere a função f : R \ {0} R dada por Teste [grafb, [ 3 [,, 3 [ [, 7 [, 3 f (x) = x + + x + x (V) É correto afirmar que f é estritamente crescente em Solução: Temos f (x) = (x+)( x +x ) ssim, f é estritamente decrescente em, e em x 3 0, + [ e estritamente crescente em [, 0[

8 Teste [grafb É correto afirmar que f tem concavidade para baixo em 4, 7 0, [ [ 5, [, 3 [, 3 [ Solução: Temos f (x) = x+6 ssim, f tem concavidade para cima em [ 3, 0[ e em 0, + [ e x 4 tem concavidade para baixo em, 3 Teste 3 [grafb3 É correto afirmar que a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = 0 a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = f não tem assíntota quando x + a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = Solução: reta y = x + é assíntota para f, para x, pois lim x f (x) ( x + ) = 0 Teste 4 [grafb4 ssinale a alternativa cujo gráfico mais se assemelha ao gráfico de f (I) (II) (III) (IV) (V) (I) (II) (III) (IV) (V) Solução: O gráfico é obtido a partir das 3 questões anteriores e do fato que lim x 0 f (x) = +

9 Para os testes 5, 6, 7 e 8 considere a função f : R \ {0} R dada por f (x) = x + x x Teste 5 [grafc É correto afirmar que f é estritamente crescente em 0, [, 3 [ 3 [,, [ 3, 7 [ Solução: f (x) = (x )( x x ) ssim, f é estritamente decrescente em, 0[ e em [, + [ e x 3 estritamente crescente em 0, Teste 6 [grafc 3, 7 [ 5 [, 3 5 [,, 3 [, 3 [ É correto afirmar que f tem concavidade para cima em Solução: Temos f (x) = x 6 ssim, f tem concavidade para baixo em, 0[ e em 0, 3 e tem x 4 concavidade para cima em [3, + [ Teste 7 [grafc3 É correto afirmar que a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = 0 a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = f não tem assíntota quando x + a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = Solução: reta y = x é assíntota para f, para x, pois lim x f (x) ( x ) = 0

10 Teste 8 [grafc4 ssinale a alternativa cujo gráfico mais se assemelha ao gráfico de f (I) (II) (III) (IV) (I) (II) (III) (IV) (V) Solução: O gráfico é obtido a partir das 3 questões anteriores e do fato que lim x 0 f (x) = Para os testes 9, 0, e considere a função f : R \ {0} R dada por Teste 9 [grafd [, 0 3 [,, 3 [ [, 7 [, 3 f (x) = x x x (V) É correto afirmar que f é estritamente decrescente em Solução: Temos f (x) = (x+)(x x+) ssim, f é estritamente crescente em, e em x 3 0, + [ e estritamente decrescente em [, 0[

11 Teste 0 [grafd É correto afirmar que f tem concavidade para cima em 7 [, 3 3, 5 [, 5 [ 3 [, 3 [, Solução: Temos f (x) = x 6 ssim, f tem concavidade para baixo em [ 3, 0[ e em 0, + [ e x 4 tem concavidade para cima em, 3 Teste [grafd3 É correto afirmar que a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = 0 a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = f não tem assíntota quando x + a assíntota de f quando x + intercepta o eixo x no ponto x = Solução: reta y = x é assíntota para f, para x, pois lim x f (x) (x ) = 0 Teste [grafd4 ssinale a alternativa cujo gráfico mais se assemelha ao gráfico de f (I) (II) (III) (IV) (V) (I) (II) (III) (IV) (V) Solução: O gráfico é obtido a partir das 3 questões anteriores e do fato que lim x 0 f (x) =

12 Teste 3 [limite O valor de lim( x ) x 0 sin (3x) é e 9 e 3 4 e 4 9 e 9 4 e 9 Solução: Note que ( x ln( x ) ) sin (3x) = e sin (3x) ln( x Usando a regra de L Hospital, lim ) x 0 = sin (3x) x Multiplicando o numerador e o denominador por 3 e usando o limite lim x 0 ( x ) sin(3x) cos(3x)3 3x fundamental em lim x 0 sin(3x) =, obtemos que o limite acima vale 9 Teste 4 [limite e 3 4 e 9 e 4 9 e 9 4 e 9 O valor de lim( 3x ) x 0 sin (x) é Solução: Note que ( 3x ln( 3x ) ) sin (x) = e sin (x) ln( 3x Usando a regra de L Hospital, lim ) x 0 = sin (x) 3x Multiplicando o numerador e o denominador por e usando o limite lim x 0 ( 3x ) sin(x) cos(x) x fundamental em lim x 0 sin(x) =, obtemos que o limite acima vale 3 4 Teste 5 [limite3 e 4 9 e 3 4 e 9 e 9 4 e 9 O valor de lim( 4x ) x 0 sin (3x) é Solução: Note que ( 4x ln( 4x ) ) sin (3x) = e sin (3x) ln( 4x Usando a regra de L Hospital, lim ) x 0 = sin (3x) 4x Multiplicando o numerador e o denominador por 3 e usando o limite lim x 0 ( 4x ) sin(3x) cos(3x)3 fundamental em lim x 0 3x sin(3x) =, obtemos que o limite acima vale 4 9

13 Teste 6 [limite4 O valor de lim( 9x ) x 0 sin (x) é e 9 4 e 4 9 e 3 4 e 9 e 9 Solução: Note que ( 9x ln( 9x ) ) sin (x) = e sin (x) ln( 9x Usando a regra de L Hospital, lim ) x 0 = sin (x) 9x Multiplicando o numerador e o denominador por e usando o limite lim x 0 ( 9x ) sin(x) cos(x) x fundamental em lim x 0 sin(x) =, obtemos que o limite acima vale 9 4 Teste 7 [maxmin Seja f (x) = 3x + cos(x), para x R Qual dos seguintes pontos é ponto de máximo local de f? π 6 π 3 π 3 5π 6 π 3 Solução: Temos f (x) = 3 sin(x) ssim, f (x) = 0 se x = π 3 + kπ ou x = π 3 + kπ, em que k é um número inteiro Os pontos críticos são x = π 6 + kπ ou x = π 3 + kπ, k inteiro Note que f (x) = 4 cos(x) Portanto, se x = π 3 + kπ então f (x) < 0 (os pontos x = π 6 + kπ, k inteiro, são de máximo local) e se x = π 3 + kπ então f (x) > 0 ( os pontos x = π 3 + kπ, k inteiro, são de mínimo local) Teste 8 [maxmin Seja f (x) = 3x + cos(x), para x R Qual dos seguintes pontos é ponto de máximo local de f? 5π 6 π 3 π 3 5π 6 π 3 Solução: Temos f (x) = 3 sin(x) ssim, f (x) = 0 se x = π 3 + kπ ou x = π 3 + kπ, em que k é um número inteiro Os pontos críticos são x = π 6 + kπ ou x = π 3 + kπ, k inteiro Note que f (x) = 4 cos(x) Portanto, se x = π 3 + kπ então f (x) < 0 (os pontos x = π 6 + kπ, k inteiro, são de máximo local) e se x = π 3 + kπ então f (x) > 0 ( os pontos x = π 3 + kπ, k inteiro, são de mínimo local)

14 Teste 9 [maxmin3 Seja f (x) = 3x + cos(x), para x R Qual dos seguintes pontos é ponto de mínimo local de f? π 3 π 6 5π 6 4π 3 π 3 Solução: Temos f (x) = 3 sin(x) ssim, f (x) = 0 se x = π 3 + kπ ou x = π 3 + kπ, em que k é um número inteiro Os pontos críticos são x = π 6 + kπ ou x = π 3 + kπ, k inteiro Note que f (x) = 4 cos(x) Portanto, se x = π 3 + kπ então f (x) < 0 (os pontos x = π 6 + kπ, k inteiro, são de máximo local) e se x = π 3 + kπ então f (x) > 0 ( os pontos x = π 3 + kπ, k inteiro, são de mínimo local) Teste 30 [maxmin4 Seja f (x) = 3x + cos(x), para x R Qual dos seguintes pontos é ponto de mínimo local de f? 4π 3 π 6 5π 6 4π 3 π 3 Solução: Temos f (x) = 3 sin(x) ssim, f (x) = 0 se x = π 3 + kπ ou x = π 3 + kπ, em que k é um número inteiro Os pontos críticos são x = π 6 + kπ ou x = π 3 + kπ, k inteiro Note que f (x) = 4 cos(x) Portanto, se x = π 3 + kπ então f (x) < 0 (os pontos x = π 6 + kπ, k inteiro, são de máximo local) e se x = π 3 + kπ então f (x) > 0 ( os pontos x = π 3 + kπ, k inteiro, são de mínimo local)

15 Teste 3 [raizes Seja f : 0, + [ R uma função derivável tal que I f (3) = e f (5) = 3; II as retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ; III f tem exatamente 4 raízes, e o gráfico de f no intervalo [, 6 está esboçado na figura abaixo y x É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo 0, + [ é Solução: m [, 4, f não possui raízes, pois f é estritamente decrescente em [, 3, estritamente crescente em [3, 4 e f (3) > 0 m particular, f () > 0 e f (4) > 0 omo x = 0 é assíntota vertical para f e f é estritamente crescente em 0,, resulta que lim x 0 + f (x) = lém disso, f () > 0 Portanto, existe exatamente uma raiz de f em 0, m [4, 5 existe exatamente uma raiz real de f pois f (4) > 0, f (5) < 0 e f é estritamente decrescente nesse intervalo Finalmente, em [5, + [ também existe exatamente uma raiz real: f é estritamente crescente, f (5) < 0 e lim x + f (x) = +, pelo fato de y = x ser assíntota para x +

16 Teste 3 [raizes Seja f : 0, + [ R uma função derivável tal que I f (3) = e f (5) = 3; II as retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ; III f tem exatamente 4 raízes, e o gráfico de f no intervalo [, 6 está esboçado na figura abaixo y x É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo 0, + [ é Solução: m [, 4, f não possui raízes, pois f é estritamente crescente em [, 3, estritamente decrescente em [3, 4 e f (3) < 0 m particular, f () < 0 e f (4) < 0 omo x = 0 é assíntota vertical para f e f é estritamente decrescente em 0,, resulta que lim x 0 + f (x) = + lém disso, f () < 0 Portanto, existe exatamente uma raiz de f em 0, m [4, 5 existe exatamente uma raiz real de f pois f (4) < 0, f (5) > 0 e f é estritamente crescente nesse intervalo Finalmente, em [5, + [ também existe exatamente uma raiz real: f é estritamente decrescente, f (5) < 0 e lim x + f (x) =, pelo fato de y = x ser assíntota para x +

17 Teste 33 [raizes3 Seja f : 0, + [ R uma função derivável tal que I f (3) = ; II as retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ; III f tem exatamente 3 raízes, e o gráfico de f no intervalo [, 5 está esboçado na figura abaixo y x É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo 0, + [ é Solução: m [, 4, f não possui raízes, pois f é estritamente decrescente em [, 3, estritamente crescente em [3, 4 e f (3) > 0 m particular, f () > 0 e f (4) > 0 omo x = 0 é assíntota vertical para f e f é estritamente crescente em 0,, resulta que lim x 0 + f (x) = lém disso, f () > 0 Portanto, existe exatamente uma raiz de f em 0, m [4, + [ também existe exatamente uma raiz real: f é estritamente decrescente, f (4) > 0 e lim x + f (x) =, pelo fato de y = x ser assíntota para x +

18 Teste 34 [raizes4 Seja f : 0, + [ R uma função derivável tal que I f (3) = ; II as retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ; III f tem exatamente 3 raízes, e o gráfico de f no intervalo [, 5 está esboçado na figura abaixo y x É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo 0, + [ é Solução: m [, 4, f não possui raízes, pois f é estritamente crescente em [, 3, estritamente decrescente em [3, 4 e f (3) < 0 m particular, f () < 0 e f (4) < 0 omo x = 0 é assíntota vertical para f e f é estritamente decrescente em 0,, resulta que lim x 0 + f (x) = + lém disso, f () < 0 Portanto, existe exatamente uma raiz de f em 0, m [4, + [ também existe exatamente uma raiz real: f é estritamente crescente, f (4) < 0 e lim x + f (x) = +, pelo fato de y = x ser assíntota para x + Teste 35 [tvm Se e 3 < a < b < e, então está no intervalo e 3, [ e 4 e 4, 3 [ e 5 3 e 5, [ e 6 e 6, 3 [ e 8 3 e 8, 4 e 0 [ ln b b ln a a b a Solução: Seja f (x) = ln x x, x > 0 Temos f (x) = ln x omo f é derivável para x > 0, podemos usar o TVM no intervalo [a, b e concluir que existe c a, b[ tal que f (c) = 3+ ln x x f (b) f (a) b a = ln b b lna a b a Observe agora que f (x) = ssim, f (x) > 0 se x > e 3 x 3 e, portanto, f é estritamente crescente em [e 3, + [ omo e 3 < a < b < e, temos que f (c) f (e 3 ), f (e )[, isto é, f (c), [ e 3 e 4

19 Teste 36 [tvm Se e < a < b < e 5, então está no intervalo ln b b ln a a b a e 4, 3 [ e 5 e 3, [ e 4 3 e 5, [ e 6 e 6, 3 [ e 8 3 e 8, 4 [ e 0 Solução: Seja f (x) = ln x x, x > 0 Temos f (x) = ln x omo f é derivável para x > 0, podemos usar o TVM no intervalo [a, b e concluir que existe c a, b[ tal que f (c) = Observe agora que f (x) = x f (b) f (a) b a = ln b b lna a b a 3+ ln x x 3 ssim, f (x) > 0 se x > e 3 e, portanto, f é estritamente crescente em [e 3, + [ omo e 3 < e < a < b < e 5, temos que f (c) f (e ), f (e 5 )[, isto é, f (c) e 4, 3 e 5 [ Teste 37 [tvm3 Se e 5 está no intervalo 3 e 5, [ e 6 e 4, 3 [ e 5 e 3, [ e 4 e 6, 3 [ e 8 3 e 8, 4 [ e 0 < a < b < e 3, então ln b b ln a a b a Solução: Seja f (x) = ln x x, x > 0 Temos f (x) = ln x omo f é derivável para x > 0, podemos usar o TVM no intervalo [a, b e concluir que existe c a, b[ tal que f (c) = Observe agora que f (x) = x f (b) f (a) b a = ln b b lna a b a 3+ ln x x 3 ssim, f (x) > 0 se x > e 3 e, portanto, f é estritamente crescente em [e 3, + [ omo e 3 < e 5 < a < b < e 3, temos que f (c) f (e 5 ), f (e 3 )[, isto é, f (c) 3 e 5, e 6 [

20 Teste 38 [tvm4 Se e 3 < a < b < e 4, então está no intervalo ln b b ln a a b a e 6, 3 e 8 [ 3 e 5, [ e 6 e 4, 3 [ e 5 e 3, [ e 4 3 e 8, 4 [ e 0 Solução: Seja f (x) = ln x x, x > 0 Temos f (x) = ln x omo f é derivável para x > 0, podemos usar o TVM no intervalo [a, b e concluir que existe c a, b[ tal que f (c) = Observe agora que f (x) = x f (b) f (a) b a = ln b b lna a b a 3+ ln x x 3 ssim, f (x) > 0 se x > e 3 e, portanto, f é estritamente crescente em [e 3, + [ omo e 3 < e 3 < a < b < e 4, temos que f (c) f (e 3 ), f (e 4 )[, isto é, f (c) e 6, 3 e 8 [ Teste 39 [tvm5 Se e 4 < a < b < e 5, então está no intervalo 3 e 8, 4 [ e 0 e 6, 3 [ e 8 3 e 5, [ e 6 e 4, 3 [ e 5 e 3, [ e 4 ln b b ln a a b a Solução: Seja f (x) = ln x x, x > 0 Temos f (x) = ln x omo f é derivável para x > 0, podemos usar o TVM no intervalo [a, b e concluir que existe c a, b[ tal que f (c) = Observe agora que f (x) = x f (b) f (a) b a = ln b b lna a b a 3+ ln x x 3 ssim, f (x) > 0 se x > e 3 e, portanto, f é estritamente crescente em [e 3, + [ omo e 3 < e 4 < a < b < e 5, temos que f (c) f (e 4 ), f (e 5 )[, isto é, f (c) 3 e 8, 4 e 0 [

21 09 MT-453 Segunda Prova Folha de Respostas Respostas ilegíveis ou não indicadas nesta folha serão desconsideradas Identificação: Nome: NUSP: Turma: Por favor coloque seu número USP nos campos abaixo aso tenha menos de 8 dígitos deixe as primeiras colunas em branco Teste : Teste : ssinatura Respostas: Por favor coloque sua turma nos campos abaixo Teste 3: Teste 4: Teste 5: Teste 6: Teste 7: Teste 8: Teste 9: Teste 0: Teste :

22 Teste : Teste 3: Teste 4: Teste 5: Teste 6: Teste 7: Teste 8: Teste 9: Teste 0: Teste : Teste : Teste 3: Teste 4: Teste 5: Teste 6: Teste 7: Teste 8: Teste 9: Teste 30: Teste 3: Teste 3: Teste 33: Teste 34: Teste 35: Teste 36: Teste 37: Teste 38: Teste 39: