Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo I- 2015/2, 08/03/2016. ln(ax. cos (

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1 Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo I- 05/, 08/03/06. Considere a função f : (0, ) R definida por ln(ax ), se x, f(x) = 6 ln cos ( π, x 3 se 0 < x <. a. Encontre o valor de a para que f seja contínua. Verificamos que f é contínua no intervalo (0, ) porque é o quociente de duas funções contínuas e é contínua no intervalo (, ) pois é a composição de duas funções contínuas, logaritmo e polinômio. Para que f seja contínua no ponto x = devemos ter: Assim, f(x) = f(x) = f(). x + x 6 ln cos( πx f(x) = ) = 6 ln cos( πx ) x π( x 3 ) π x ( x 3 ) uma indeterminação, logo usaremos a regra de L Hôspital. x = 0 0, 6 ln π sin( πx x ( 3x ) ) π Logo f(x) = ln. x f(x) = + x = 6 ln π π ( 3) = ln. ln(ax ) = ln(a), pois ln(ax ) é contínua em [, ). x + Devemos ter f(x) = f(x) = ln para que f seja contínua. x + x Sendo assim, a =. b. Encontre a reta tangente a f no ponto (e, ln(a e )). A reta tangente a f deve assumir a forma r(t) = f (e)t + b e satisfazer a seguinte igualdade: ln(a e ) = f (e) e + b. Calculando a derivada de f verificamos que f (x) = ax ax = x. Para verificar o valor de b resolvemos ln(a e ) = f (e) e + b. ln(a e ) e e = b ln( e ) = b ln() + ln(e ) = b ln() + = b ln() = b. Logo a reta tangente a f no ponto (e, ln(a e )) é dada por r(t) = t + ln. e

2 . Se um retângulo tiver sua base em um eixo x e dois vértices sobre a curva y = e x. Mostre que o retângulo tem maior área possível quando os vértices estão nos pontos de inflexão da curva. Como se mostra na figura abaixo, a área do retângulo é dada por A(x) = xe x definida para x 0. Para encontrar os pontos de máximo de A, primeiro encontremos seus pontos críticos. A (x) = e x 4x e x = ( 4x )e x = ( x)( + x)e x. () Logo A (x) = 0 e x = 4x e x = 4x = x x = pois o domínio de A é {x : x 0}. Assim pela equação () e o critério da primeira derivada vemos que x = é um ponto de máximo global de A (pois x = é o único ponto crítico de A). Logo o retângulo como maior área tem os pontos (, e ) e (, e ) como vértices. Agora vamos encontrar os pontos de inflexão de f, para isso calculemos f (x). f (x) = (4x )e x = (x )(x+ )e x = f (x) > 0 em (, ) (, + ) and f (x) < 0 em (, ). Isso mostra que os pontos de inflexão da curva y = e x são (, e ) e (, e ) que são os vértices sobre a curva y = e x do retângulo que tem maior área. 3. (,0) Considere a função f dada por f(x) = (x + ) ln(x + ). a. Encontre, caso existam, as assíntotas verticais de f. Como f(x) = +, então existe uma assíntota vertical em x =. x ±

3 b. Determine os pontos críticos de f, intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente. Observemos f (x) = x, então x = 0 é o único ponto crítico de f e analisando x + o sinal de f (x) vemos que f > 0 para x A = (, ) (0, ) e f < 0 para x B = (, 0). Donde concluímos que f é crescente em A e decrescente em B. c. Encontre os extremos relativos e absolutos de f, caso existam. Pelo item b) e o critério da primeira derivada vemos que x = 0 é um ponto de mínimo local. Além disso, f(x) = and x f(x) = (x + ) x x pois por L Hôspital x ln(x + ) x + d. Mostre que f é côncava para cima. ( ) ln(x + ) = +, x + = 0. Logo, f não tem extremos absolutos. A segunda derivada f (x) = é positiva para todo x, logo a função (x + ) f é côncava para cima no seu domínio. e. Esboce o gráfico da função f. Figura : Figura 4. Calcule as seguintes integrais: a. cos(x) ln(sen(x)) dx;

4 b. Usando integração por partes, u = ln(sen x), du = cos x dx, dv = cos x, v = sen x dx sen x I = cos(x) ln(sen(x)) dx = sen(x) ln(sen(x)) sen x = sen(x) ln(sen(x)) I = sen x (ln(sen x) ) + C. sen(x) dx. sen(x) + sen(x) dx = sen (x) dx = sen(x) = cos (x) dx cos (x) dx = = sec(x) tan(x) + C, C R. ( cos x ) dx sen x cos x dx = sen(x) ln(sen(x)) sen x + C, C R. sen(x) + dx cos (x) tan(x) sec(x) dx sec (x) dx 5. (,0 pontos) Seja R a região itada pelas curvas f(x) = x e g(x) =. a. (0,8) Esboce a região R. Figura : Figura 3 b. (,) Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando R é girado ao redor da reta y =.

5 Fazendo f(x) = g(x) vemos que os dois gráficos interceptam quando x = ±. Para encontra o raio, subtraímos g(x) de f(x). R(x) = f(x) g(x) = ( x ) = x Integramos entre e para encontra o volume. V = π [R(x)] ( dx = π ) x dx = ( V = π x + x 4) ] dx = π [x x3 3 + x5 = π.