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1 MAT Cálculo Diferencial e Integral I EP USP Primeira Prova // IDENTIFICAÇÃO Nome: NUSP: Turma: INSTRUÇÕES. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante o exame. Sobre a carteira deixe apenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Mochilas, blusas e demais pertences devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (não custa repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.. Preencha a tinta, e de maneira legível, todos os campos desta página.. Esta prova tem duração máxima de horas. A entrega da prova e saída da sala só é permitida após hmin.. As questões dissertativas podem ser feitas a tinta (azul ou preta) ou a lápis.. Utilize, se necessário, as páginas seguintes (exceto a última) para rascunho. Só será considerado na correção das questões dissertativas o que estiver na folha com seu enunciado.. Mantenha a organização, peza e legibilidade na redação das questões dissertativas, justificando todas as suas afirmações.. Preencha, a tinta e completamente, os campos para seu número USP (deixando as primeiras colunas em branco, caso tenha menos de dígitos), número da turma (de matrícula nesta disciplina), bem como o nome e assinatura. Isto deve ser feito antes da assinatura da lista de presença. Evite erros nesse momento.. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, assinale também a alternativa que julgar correta e indique expressamente qual delas deve ser considerada na própria folha de respostas, ao lado da questão correspondente.. Não haverá tempo adicional para transcrição das alternativas dos testes para a folha de respostas.. Não destaque nenhuma folha de sua prova. Assinatura: BOA PROVA!

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3 Teste [confder] Seja f : R R tal que x sin x + f (x) x +, para todo x R. Considere as seguintes afirmações: (I) f () =. (II) f (x) x =. (III) f é contínua em x =. (IV) f () =. São verdadeiras as seguintes afirmações: A todas. B somente (I), (II) e (III). C somente (I), (III) e (IV). D somente (I) e (IV). E somente (I) e (III). Solução: Aplicando x = na desigualdade temos que f (), donde f () =. Ainda segue que, se x =, sin x f (x) x x (pois x ) e portanto, pelo teorema do confronto, f (x) x =. A função é contínua em x =, pois f (x) = = f (). Finalmente f () =, em cálculo análogo do ite pedido. Teste [confder] Seja f : R R tal que x sin x + f (x) x +, para todo x R. Considere as seguintes afirmações: (I) f () =. f (x) (II) x =. (III) f é contínua em x =. (IV) f () =. São verdadeiras as seguintes afirmações: A somente (I), (II) e (III). B todas. C somente (I), (III) e (IV). D somente (I) e (IV). E somente (I) e (III). Solução: Aplicando x = na desigualdade temos que f (), donde f () =. Ainda segue que, se x =, sin x f (x) x x (pois x ) e portanto, pelo teorema do confronto, f (x) x =. A função é contínua em x =, pois f (x) = = f (). Finalmente f () =, em cálculo análogo do ite pedido.

4 Teste [derimpl] Seja y = f (x) uma função derivável dada implicitamente pela equação (x + y ) = (y x ). A reta tangente ao gráfico de f no ponto (, ) é paralela à reta de equação: A x y + =. B x + y =. C x y + =. D x + y =. E x y =. Solução: Derivando implicitamente, supondo y = y(x), temos ( x + y (x) )( x + y(x)y (x) ) = Subsituindo x = e y = = y(), obtemos ( y(x)y (x) x ). ( + y () ) = ( y () + ) = y () =, que é o coeficiente angular da reta tangente à curva. Dentre as alternativas a única reta paralela a ela é x y + =. Teste [derimpl] Seja y = f (x) uma função derivável dada implicitamente pela equação (x + y ) = (y x ). A reta tangente ao gráfico de f no ponto (, ) é paralela à reta de equação: A x + y =. B x y + =. C x y + =. D x + y =. E x y =. Solução: Derivando implicitamente, supondo y = y(x), temos ( x + y (x) )( x + y(x)y (x) ) = Subsituindo x = e y = = y( ), obtemos ( y ( ) ) = ( y(x)y (x) x ). ( y ( ) + ) = y ( ) =, que é o coeficiente angular da reta tangente à curva. Dentre as alternativas a única reta paralela a ela é x + y =.

5 Teste [itada] incorreta. Considere funções f, g : R R com f itada. Assinale a afirmação A Se g(x) = +, então f (x)g(x) = +. B Se g(x) = +, então f (x) g(x) =. C Se g(x) = +, então f (x) + g(x) = +. D Se g(x) =, então g(x) f (x) + g (x) f (x) =. E Se g(x) <, para todo x R e g(x) =, então f (x) + g(x) =. Solução: Basta considerar f (x), obtendo então um contra-exemplo. As demais afirmações são verdadeiras, seguindo diretamente das propriedades vista em sala, como o teorema do confronto, por exemplo. Teste [itada] incorreta. Considere funções f, g : R R com g itada. Assinale a afirmação A Se f (x) = +, então f (x)g(x) = +. B g(x) Se f (x) = +, então f (x) =. C Se f (x) = +, então f (x) + g(x) = +. D Se f (x) =, então g(x) f (x) + g (x) f (x) =. g(x) + E Se f (x) <, para todo x R e f (x) =, então =. f (x) Solução: Basta considerar g(x), obtendo então um contra-exemplo. As demais afirmações são verdadeiras, seguindo diretamente das propriedades vista em sala, como o teorema do confronto, por exemplo. Teste [ites] Os ites x + x x cos x x e + x valem, respectivamente: x x A / e /. B / e /. C / e /. D / e. E / e /. Solução: Basta observar que x x cos x = x + x x + x x cos x = x x x + cos }{{ x } itada x x }{{} = e também que x + x x x x = + = x.

6 valem, respectiva- x x cos x Teste [ites] Os ites x + x mente: e (x + x ) x A / e /. B / e /. C / e /. D / e. E / e /. Solução: Basta observar que x x cos x = x + x x + e também que x x cos x = x x x + (x + x ) = x x x + = x. cos }{{ x } itada x x }{{} = Teste [retatg] Sejam f (x) = arctan ( x ) e r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa. Um ponto que pertence a esta reta é: A (, π/ ) / B (, π/ ) / C (, π/ + ) / D (, π + ) E (, π ) Solução: A reta tangente em questão tem f () = / como coeficiente angular e portanto sua equação é r : y = arctan() + /(x ). Em r, quando x = temos y = π/ /. Teste [retatg] Sejam f (x) = arctan ( x ) e r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa /. Um ponto que pertence a esta reta é: A (, π/ ) / B (, π/ ) / C (, π/ + ) / D (, π + ) E (, π ) Solução: A reta tangente em questão tem f (/) = / como coeficiente angular e portanto sua equação é r : y = arctan(/) + /(x /). Em r, quando x = temos y = π/ /.

7 Teste [taxavar] Um farol, situado a uma distância de m de uma muralha, completa voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de d(t ) = Muralha A π m/min. B π m/min. C π m/min. D π m/min. Farol E π m/min. Solução: Sendo x(t) a posição do ponto de luz sobre a muralha, medida a partir da interseção dela com a sua perpendicular que passa pelo farol, e θ(t) o ângulo entre essa perpendicular e o raio de luz que incide na muralha, temos que x(t) = tan ( θ(t) ). Derivando no instante t em que o ponto iluminado da muralha dista m do farol obtemos x (t ) = sec (t )θ (t ). Nesse instante temos sec (t ) = (/) = / e θ (t ) = π. Assim x (t ) = ( /) π = π (metros por minuto). Teste [taxavar] Um farol, situado a uma distância de m de uma muralha, completa voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de Farol d(t ) = Muralha A π m/min. B π m/min. C π m/min. D π m/min. E π m/min. Solução: Sendo x(t) a posição do ponto de luz sobre a muralha, medida a partir da interseção dela com a sua perpendicular que passa pelo farol, e θ(t) o ângulo entre essa perpendicular e o raio de luz que incide na muralha, temos que x(t) = tan ( θ(t) ). Derivando no instante t em que o ponto iluminado da muralha dista m do farol obtemos x (t ) = sec (t )θ (t ). Nesse instante temos sec (t ) = (/) = / e θ (t ) = π. Assim x (t ) = ( /) π = π (metros por minuto).

8 Questão (Valor:. pontos). Calcule, justificando bem cada passagem, Solução: x x + x = x x x + x. (x x ) + (x x ) ( x) + (x x ) x + ( x) = ( /x) ( /x) ( /x) =, pois x = x, x = x e /x, quando x. Questão (Valor:. pontos). Calcule, justificando bem cada passagem, Solução: x + x + x = x x + x + x. (x + x ) + (x + x ) ( x) + (x + x ) x + x = ( + /x) ( + /x) ( + /x) + =, pois x = x, x = x e /x, quando x. sin(x) sin ( tan(x) ) Questão (Valor:. pontos). Seja f : R R dada por f (x) =, se x = x, se x =. Calcule, caso exista, f (). f (x) f () Solução: Devemos verificar a existência (e finitude) do ite : x sin(x) sin ( tan(x) ) sin(x) sin ( tan(x) ) tan x x = =, x tan x x ( ) sin(x) sin tan(x) pois = =, através do ite trigonométrico fundamental e das x tan x mudanças de variável y = x e y = tan x, respectivamente, e tan x sin(x) = x x cos x =. Logo f () =. sin(x) sin ( tan(x) ) Questão (Valor:. pontos). Seja f : R R dada por f (x) =, se x = x, se x =. Calcule, caso exista, f (). f (x) f () Solução: Devemos verificar a existência (e finitude) do ite : x sin(x) sin ( tan(x) ) sin(x) sin ( tan(x) ) tan x x = =, x tan x x ( ) sin(x) sin tan(x) pois = =, através do ite trigonométrico fundamental e das x tan x mudanças de variável y = x e y = tan x, respectivamente, e Logo f () =. tan x sin(x) = x x cos x =.

9 MAT- Primeira Prova Folha de Respostas Respostas ilegíveis ou não indicadas nesta folha serão desconsideradas. Identificação: Nome: NUSP: Turma: Por favor coloque seu número USP nos campos abaixo. Caso tenha menos de dígitos deixe as primeiras colunas em branco. Teste : A B C D E Teste : A B C D E Assinatura Respostas: Por favor coloque sua turma nos campos abaixo. Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E Teste : A B C D E

10 Teste : A B C D E