MAT 104 Cálculo 1 Prof. Paolo Piccione. Prova

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1 MAT 104 Cálculo 1 Prof. Paolo Piccione Prova Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está no final da prova. É permitido deixar questões em branco. Cada questão tem apenas uma resposta correta. O valor total da prova é de 10 pontos; cada questão correta vale 1 2 ponto (0.5) e cada questão errada implica num desconto de 3 25 de ponto (0.12). Boa Prova! Notações Utilizadas na Prova R denota o conjunto dos números reais, e N denota o conjunto dos números inteiros não negativos. Dadas funções f e g, a composta é indicada por f g. log denota a função logaritmo em base e (logaritmo natural). Dado a > 0, a 1, log a denota o logaritmo em base a. A função tan x é a tangente. Fi-D

2 Fi-D 2 Questão 1. Que letra do alfabeto grego é: η? (a) eta minúsculo; (b) ni maiúsculo; (c) ni minúsculo; (e) gama maiúsculo. Questão 2. Sejam a R, e f, g : ]0, + [ R duas funções tais que g(x) + 1 x para todo x. Suponha que existe o limite lim = π. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (a) g é crescente; (b) g é decrescente; (c) lim g(x) = π + 1 x + π ; (e) lim g(x) = π. x + Questão 3. Calcule o limite L = lim x 0 (a) L = tan(e 1 ); (b) L = 1; (c) nenhuma das outras respostas; (d) L = 0; (e) L = 1 e. x + tan x x e x 1. ( x 2 ) 2x + 1 Questão 4. Calcule o limite L = lim x 1 x 2. 3x + 2 (a) L = + ; (b) L = 1; (c) L = ; (e) L = 0.

3 n 3 Questão 5. Calcule o limite L = lim n!. (a) L = 1; (b) L = + ; (c) L = 0; n 2 (d) L = (n 1)! ; Questão 6. Calcule o limite L = (a) L = e; (b) L = e 9/4 ; (c) L = 1; (d) L = e 3 ; Fi-D 3 lim x + ( 4x 3 + 3x 2 ) 3x 1 1 4x x 3 Questão 7. Sejam f e g duas funções reais tais que lim = lim g(x) = x x 0 x x 0 0. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (a) nenhuma das outras respostas; (b) (c) (d) (e) lim =, pois = para todo x; x x 0 g(x) 0 lim x x 0 g(x) = 1, pois 0 0 = 1; lim = 1, pois lim x x 0 g(x) x 0 sin x x = 1; lim x x 0 g(x) = 0, pois 0 = 0 para todo x. g(x) Questão 8. Determine o conjunto das soluções da desigualdade: (a) ], 2[; (b) ] 9 5, 2[ ]3, + [; (c) ] 9 5, 2[ ; (d) ] 9 5, 3[ ; 2x x < 3.

4 Fi-D 4 Questão 9. Seja = x e g(x) = log(1 +x). Qual é o domínio de f g? (a) ]0, + [; (b) nenhuma das outras respostas; (c) ]0, 1[; (d) ] 1, + [; (e) R \ { 1}. Questão 10. Calcule a função inversa f 1 (y) da função f : [π, 2π] [ 1, 1] definida por = cos x. (a) f 1 (y) = arccos y + π; (b) f 1 (y) = arcsin y + 3π 2 ; (c) nenhuma das outras respostas; (d) f 1 (y) = arccos y; (e) f 1 (y) = arccos y + 3π 2. Questão 11. Qual das seguintes afirmações é falsa? (a) se f : A B é injetora e sobrejetora, então f é inversível; (b) toda função f : R R inversível é injetora; (c) toda função f : R R pode ser escrita como soma de uma função não negativa e uma função negativa; (d) toda função f : R R pode ser escrita como soma de uma função par e uma função impar; (e) toda função f : R R é ou par ou impar. Questão 12. Seja a n uma sequência não crescente. afirmações é verdadeira? Qual das seguintes (a) existe o limite lim a n; (b) a n é limitada; (c) lim a n = ; (d) lim a n = 0; (e) a n = 1 n.

5 Questão 13. Calcule o limite L = lim x 0 2 x 1 sin(2x). (a) L = log 2; (b) L = 1 2 log 2; (c) L = 1 2 ; (e) L = +. Fi-D 5 Questão 14. Calcule o limite L = lim a n, onde a n é definida por recurrência pela fórmula a n+1 = a n + 1, n N, e a 0 = 0. (a) não existe o limite; (b) L = 0; (c) L = + ; (d) L = ; Questão 15. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (a) se a n é uma sequência limitada, e lim b n = 0, então lim a n b n = 0; (b) se lim a n b n = 1, então lim a n 0 e lim b n 0; (c) se lim a n = + e lim b n = 0, então lim a n b n = + ; (d) se a n é limitada, então existe o limite lim a n; (e) se lim a n = + e lim b n = 0, então lim a n b n = 0. Questão 16. Determine o conjunto das soluções da desigualdade (a) ]2, + [; (b) ]1, + [; (c) ], 1[ ]2, + [; (e) [1, 2]. log 1/2 (x 2 3x + 5/2) 1 2.

6 log(1 + x 2 ) Questão 17. Calcule o limite L = lim. x 0 2x (a) L = 1 2 ; (b) L = + ; (c) L = 0; (e) L = 1. Fi-D 6 Questão 18. Determine: a forma explícita da sequência a n definida pela fórmula: a n+2 = 3a n+1 2a n, e pelas condições iniciais: a 0 = 3, a 1 = 5. (a) a n = n 2 + n + 3; (b) a n = n+1 ; (c) nenhuma das outras respostas; (d) a n = 3 + 2n; (e) a n = n. Questão 19. Determine o conjunto das soluções da desigualdade (a) ]1, 2[ ]3, + [; (b) nenhuma das outras respostas; (c) ]1, 3[; (d) ], 1[ ]2, 3[; (e) ]2, 3[. x 1 x 2 5x + 6 < 0. Questão 20. Sejam (A n ) n N uma família de afirmações, cada uma das quais pode ser ou verdadeira ou falsa. Suponha que: A 0 é verdadeira; se A n é verdadeira, então A n+2 também é verdadeira. O que podemos deduzir? (a) A n é verdadeira para todo n > 2; (b) A n+2 é verdadeira para todo n N; (c) A n é falsa para todo n > 0; (d) A 2n é verdadeira para todo n N; (e) A n é falsa para todo n > 2.

7 MAT 104 Cálculo 1 Prof. Paolo Piccione Prova Nome: RG: Assinatura: Folha de Respostas Fi-D 1 a b c d e 2 a b c d e 3 a b c d e 4 a b c d e 5 a b c d e 6 a b c d e 7 a b c d e 8 a b c d e 9 a b c d e 10 a b c d e 11 a b c d e 12 a b c d e 13 a b c d e 14 a b c d e 15 a b c d e 16 a b c d e 17 a b c d e 18 a b c d e 19 a b c d e 20 a b c d e