MAT0146-Cálculo Diferencial e Integral I para Economia
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- Valentina Peres
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1 MAT046-Cálculo Diferencial e Integral I para Economia a Lista de Eercícios I. Limites de Funções. Calcule os seguintes limites, caso eistam: ) lim 4) lim / 7) lim ) lim tg3) cossec6)) 3) lim ) sen3 )sen 6) lim ) sen3 )cos 9) lim ) lim sen 5) lim + +sen ) lim cos ) 3) lim + 4 sen/)+ 34) lim + + ) ) lim 3 5) lim sen0) 8) lim sen30) 3 cos ) lim 4) lim sen3 5+) + 7) lim 0) lim ) lim 6) lim sensen)) 9) lim ) lim π 5) lim + 8) lim ) lim + 3) lim ) 4) lim ) 4 6) lim + 9) lim +9++3) sen + cos ) 3) lim + sen ) ) 35) lim arctg + ) 3 7) lim + cos π sen 3 3 ) )sen 4) 30) lim ) lim 36) lim arcsen 3 + ) tg Resp.: ) 3/4 ; ) /5 ; 3) /6 ; 4) 0 ; 5) /5 ; 6) 3/7 ; 7) ; 8) 0 30 ; 9) ; 0) / ; ) /6 ; ) ; 3) ; 4) /3 ; 5) ; 6) 0 ; 7) ; 8) ; 9) 0 ; 0) ; ) + ; ) / ; 3) 0 ; 4) /3 ; 5) ; 6) ; 7) 0 ; 8) ; 9) 3 ; 30) 3 ; 3) 3 ; 3) 0 ; 33) 4 7/ ; 34) / ; 35) π/ ; 36) π/6.. Seja f : IR IR tal que f) f 3 ), para todo IR. Calcule lim. Resp.: Seja f : IR IR tal que f)+ sec + 6, para todo IR. Calcule lim 3 f) e )) lim f)cos +. Resp.: 0; 0.
2 4. Sejam f, g : IR IR tais que sen f) 3 e 0 g) + sen, para todo IR. Calcule limf)g)+cos ) Resp.:. 5. Seja f : IR IR. f) f) a) Assumindo que lim =, calcule lim f) b) Assumindo que lim c) Assumindo que lim +. Resp.:. = 0, calcule lim f). Resp.: 0. f) = +, calcule lim + f) A resolução abaio está incorreta. Assinale o erro e calcule corretamente) o limite: lim + ) ) = lim + ) + + = lim + + }{{} 0 ) } {{ } 0 = lim 0) = 0. + f) ) 7. Mostre que, se lim = e se g é limitada, então lim f) g) = 0. a g) a Resp.: +. II. Continuidade de Funções sen 4)+5, se >. Determine o conjunto dos pontos em que a função f) = + 6, se < 5, se = Resp.: IR., é contínua.. Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique. ) 3 4+3, se 3 a) f) = arcsen b) f) = 3 +, se = 3 ) 9 arctg, se 3 + c) f) = 3 d) f) = ), se, se = 3 0, se = e) f) = + ) senπ), onde denota o maior inteiro de, definido por = ma { n Z : n }. Resp.: a) ], 5] [,+ [ ; b) IR\{3} ; c) IR\{3} ; d) IR\{} ; e) IR. 3. Determine L para que a função dada seja contínua em IR. sen +) sen+), se 0 a) f) = L, se = 0 Resp.: a) cos ; b) b) f) =, se 0 L, se = 0
3 ) 6, se 4. Considere a função f : IR IR definida por f) =, se = = lim Pergunta-se: f é contínua no ponto =? Por que? +f) f). lim. Verifique que 5. Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a) Se f : IR IR é tal que f é contínua em = 0, então f é contínua em = 0. Resp.: Não. Resp.: Falsa. b) Se f, g : IR IR são funções descontínuas em = 0, então a função fg é descontínua em = 0. Resp.: Falsa. III. Derivadas. Considere o gráfico de f dado abaio. Estabeleça, justificando, os pontos onde f não é derivável. Resp.: ; 4 ; 8 ;.. Associe os gráficos de cada função de a) a d) com os gráficos de suas respectivas derivadas de i) a iv). Resp.: a) e ii) ; b) e iv) ; c) e i) ; d) e iii). { f), se a 3. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h) = g), se < a. Prove que h é derivável em = a se, e somente se, fa) = ga) e f a) = g a). { a +b+c, se < 4. Encontre constantes a, b e c tais que a função f) = seja derivável em IR 5+6, se e f 0) = 0. Resp.: a = 3/, b = 0 ; c = 7/. 3
4 5. Verifique se f é contínua e derivável no ponto 0, sendo: +)cos a) f) =, se 0 3, se > 0 = 0 b) f) = 0, se = 0 0 =, se +sen, se > 0 4 c) f) = , se < 0 0 = 0 d) f) = 5 5,, se > 0 = 0, se = 0 4, se sen e) f) =, se 0 sen 0 = 0 f) f) =, se 0 0, se = 0 0 = 0 0, se = 0 {sen, se 0 g) f) = 0 = 0 obs: cos < sen <, para todo ] π, se = 0, π [\{0}) sen ), se 0 h) f) = = 0 0, se = 0 i) f) = sen, 0 = 0 j) f) = sen 5 ), 0 = 0 k) f) = cos ), 0 = 0 Resp.: são contínuas em 0 : a), c), e), f), g), h), i), j), k) ; são deriváveis em 0 : f), g), j). tg[3+) ] tg9 6. Calcule lim. Resp: 6sec Calcule f ) para as funções f abaio: ) f) = + ) f) = 3 +) 3 + 4) f) = sen 5 ) 5) f) = 7) f) = 3) f) = ) 00 3 cos 4 +tg +) 6) f) = 6 tg +cossec ) f) = sec + ) 9) f) = tg 3 ) sec 0) f) = sencos ) f) = +λ)4 4 +λ 4 ) f) = 3) f) = 6) f) = + ) 3 3 sen cos ) 8. Verifique que: a) d d [+)arctg ] = arctg sen sen) 4) f) = cotg3 +5) 5) f) = sen 33 cos 7 ) 7) f) = arctg3 +) +cos50) +arcsen + b) d [ )] d arcsen = Seja f : IR IR contínua em IR tal que f) 3 +, para todo IR. A função f é derivável em 0? Resp.: Sim. 0. Seja f : IR IR derivável em a ]0,+ [. Calcule, em termos de f f) fa) a), o limite: lim. a a Resp.: af a). 4
5 . Analise as seguintes soluções para a questão abaio. Questão. Considere a função f) =. Decida se f é derivável em = 0 e, em caso afirmativo, calcule f 0). Justifique suas afirmações. solução. f 0) = 0, pois f0) = 0. solução. Como a função g) = não é derivável em = 0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em = 0. Logo f não é derivável em = 0. solução 3. Temos f) = h)g), onde h) = e g) =. Assim: f 0) = h 0)g0)+h0)g 0); como g0) = 0 e h0) = 0 então f 0) = 0. {, se < 0 f) f0) solução 4. Temos f) =. Logo lim, se f) f0) 0 lim = lim 0 0 = lim = 0. Portanto lim Resp.: somente a solução 4 está correta. f) f0) 0 0 lim + 0 = lim + = 0 e = 0, ou seja f 0) = 0.. Seja f : IR IR derivável em = 0 tal que f0) = f 0) = 0. Seja g : IR IR uma função limitada e não derivável em = 0. Calcule a derivada de h) = f)g) no ponto = 0. Resp.: Mostrar que a reta y = é tangente à curva y = Encontre o ponto de tangência. Resp: 3, 3). 4. Determine todos os pontos 0,y 0 ) sobre a curva y = tais que a tangente à curva em 0,y 0 ) seja paralela à reta 6 y +5 = 0. Resp:, 3), y = 6+3 ; 0,7), y = 6+7 ;,9), y = Seja f) = 3+. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto 0,0). Resp.: y = 9 ; y = 6. Sejam f : IR IR uma função derivável até a ordem e g : IR IR dada por g) = f++sen). Calcule g ). Supondo f ) =, calcule g 0). Resp.: Seja f) = 3. Calcule f ), para todo IR. A função f é derivável no ponto 0 = 0? Justifique. Resp.: Não. 8. Sabe-se que f : IR IR é uma função derivável em IR e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é +y = 6. Seja g : IR IR dada por g) = f 9+4)). Determine g 0). Resp.:. 9. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a a 0) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 0. Sejam f) = +cos e g a função inversa de f. Admitindo g derivável, determine g ). Resp.:.. Sejam f) = 73, para > 0 e g a função inversa de f. Admitindo g derivável, verifique se a + reta tangente ao gráfico de g no ponto 3,g3)) é normal à reta y +5+ = 0. Resp.: Sim.. Sejam f) = e g a função inversa de f. Admitindo g derivável até a segunda ordem, calcule g 0)
6 3. Seja y = f) uma função dada implicitamente pela equação = y 3 y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto,). y =. 4. Seja y = f) uma função dada implicitamente pela equação +y+y = 3. Admitindo f derivável, determine as retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta y + = 0. Resp.: y + = ; y + =. 5. Seja y = f) uma função dada implicitamente pela equação arctgy )+y +7 = 3. Admitindo f derivável em seu domínio I, onde I é um intervalo aberto de IR contido em ] 5,[, determine a equação da reta que é normal ao gráfico de f e paralela à reta 3y + =. Resp.: 3y ++3 = 0. IV. Taa de Variação. Epansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma epansão adiabática, a sua pressão p e seu volume V satisfazem à equação pv,3 = k, onde k é uma constante. Mostre que V dp dt =,3pdV dt.. De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicialteracabado, opetróleoseepandenumcontornocircularderaior eespessurauniformeh, onder cresce e h decresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Eperiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido: h = c t. Mostre que a taa dr dt com que o petróleo se epande é inversamente proporcional a t3/4. 3. Num certo instante t 0, a altura de um triângulo cresce à razão de cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t 0, sabendo que sua altura é 0cm e sua área é 00cm, qual a taa de variação da base do triângulo? Resp.:,6cm/min. 4. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual à três vezes a altura. Quando a altura do monte é de,m, a taa de variação com que a areia é despejada é de 0,08m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? Resp.: 40π m/min. 5. A aresta de um cubo cresce ao longo do tempo. Num certo instante t 0, o seu volume cresce a uma taa de 0cm 3 /min. Sabendo que, neste instante, a aresta do cubo mede 30cm, qual é a taa de variação 4 da área da superfície do cubo? Resp.: 3 cm /min. 6. Uma lâmpada está no solo a 5m de um edifício. Um homem de,8m de altura anda a partir da luz em direção ao edifício a,m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele está a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. Resp.: 3,6m/s; 0,9m/s. 7. Uma tina de água tem 0m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapezóide isósceles com 30cm de comprimento na base, 80cm de etensão no topo e 50cm de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taa de 0,m 3 /min, quão rápido estará subindo o nível da água quando ela estiver a 30cm de profundidade? Resp.: 0 3 cm/min. 8. Escada deslizante) Uma escada de 5 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede veja figura). Num certo instante, a base da escada se 6
7 encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taa de pés por segundo. a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baio nesse instante? b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede. c) Calcule a taa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede. Resp.: a) 7 57 pes/s; b) 4 pes /s; c) rad/s. 9. Controle de Tráfego Aéreo) Um controlador de tráfego aéreo percebe que dois aviões, que estão voando na mesma altitude e ao longo de duas retas perpendiculares entre si, irão se chocar no ponto de intersecção destas retas veja figura). Num certo instante um dos aviões está a 50 milhas desse ponto e está se deslocando a uma velocidade de 450 milhas por hora. O outro avião está a 00 milhas do ponto e tem uma velocidade de 600 milhas por hora. A que taa a distância entre os aviões está diminuindo nesse instante? Resp: 750 mph. 7
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