Resolução de Questões das Listas de Cálculo de Uma Variável:
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- André Furtado Sacramento
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1 Eercícios resolvidos: Cálculo I -A- Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I Cálculo Aplicado I Lista Questão Lista Questão de 28
2 Questão 20) Lista ² 5 < ² 5 Como ² ² R ² 5 < ² 5 ² 5 ² 5 < 0 Onde: ( ² 5) ( ² 5) se 0ou ² 5 5 se 0 < < se se > 0 < 0 Para simplificar o lado esquerdo da inequação nos intervalos adequados, montaremos o quadro a seguir: <0 0 0<<5 5 >5 A ² 5 ² 5 0 ( ² 5) 0 ² 5 B ² -² 0 -² -25 -² C ABC 0 0-2² Se 0 : 0 < 0 falso - Se 0<<5: 2 de 28
3 2² 0 < 0 ² 5 < 0 ² 5 > 0 0 ou 5 Porém, (], 0] U[ 5, [ ) I] 0, 5[ Ø. Logo, o intervalo encontrado não é solução do problema. - Se 5: 0 < 0 - Se >5 0 < 0 falso falso Portanto, não eiste R tal que ² 5 ² 5, ou seja, a solução é o conjunto vazio. de 28
4 Questão 6) Lista f () ( 2), f () 0 domf ² 2 0 domf ],0] [ U 2, [ Fazendo yf() y ² 2 y y ( ) ( ) c c Com o objetivo de escrever a equação acima como ± seguinte recurso para completar quadrados: a² ² b² ², usaremos o y² ² 2 Assim, a igualdade continua sendo verdadeira e podemos escrever a equação da seguinte forma: y² ( )² ( )² y² hipérbole de centro (,0) Portanto, o gráfico desta hipérbole seria: 4 de 28
5 Mas, de acordo com a restrição feita no início da questão, y 0. Logo, o gráfico será: 5 de 28
6 Questão 40) Lista g () ² se se 5 5 < 5 ou > 5 [ ] Como g()4 se <-5 ou >5, começaremos esboçando a parte do gráfico com 5,5. Fazendo h() 25 ², teremos que g () 4 h() 5,5. Portanto, para esboçar o gráfico de g() para todo [ 5, 5], basta transladar o gráfico de h() em 4 unidades na vertical para cima. Esboçando o gráfico de h(): se [ ] h() 25 ², domh() {, [ 5,5] } y 25 ², y 0 domh() Elevando ambos os membros ao quadrado: y² 25 ² ² y² 5² ² 5 ( ² 5) ( ² 5) se se 0ou 5 0 < < se se > 0 < 0 Como y 0, o gráfico de h() será a semi-circunferência: 6 de 28
7 Transladando o gráfico de h() em 4 unidades na vertical para cima e adicionando o pedaço do gráfico nos intervalos <-5 e >5 teremos o gráfico de g(). 7 de 28
8 Questão 4) Lista f () ² 4 Achando as raízes do numerador e analisando os sinais desta função: ² ± ± 2 2 Esboço do gráfico de ² 4 para analisar seus sinais: ou ² 4 0 < < ² 4 < 0 8 de 28
9 A ² 4 ² 4 < << > 0 ( ² 4 ) 0 ² 4 B(-) A - -(-) 0 (-) B Logo, o gráfico será: 9 de 28
10 Questão ) Lista 2, < 0 f () ², 0 e ( g() ),, < 0 0 a) ( fog)() f (g()) * Se <0 g() Portanto f (g()) f ( ) Mas, como <0, < 0. Assim, usaremos f() - Então: f ( * Se 0 g () ) (fog)() Portanto: f (g()) f ( ) Porém 0 0 Assim, usaremos: f() ² Logo, f ( ) ( )² Portanto: 0 de 28
11 se < 0 ( fog)() se 0 b) ( gof )() g(f ()) * Se 0 f () ² g(f ()) g(²) Como ² 0 Portanto: 0, usaremos g () Como Logo, g (²) ² 0, ( gof )(), se 0 * Se <0 f () g(f ()) g( ) Como <0, ->0. Usaremos, então, g(). Portanto: g( ) Logo: ( gof )() se se < 0 0 de 28
12 Questão ) Comentário inicial: Lista Dizer que tende a pela esquerda( ) não significa fisicamente ou visualmente pela 0 esquerda, mas por números menores que 0. 0 Dizer que tende a pela direita( ) não significa fisicamente ou visualmente pela 0 direita, mas por números maiores que 0. 0 Feito este comentário podemos iniciar a questão: f() g().h() f ( ) g ( ). h ( ) Observando no gráfico: f ().( 2) f () 6 Calculando agora: f () g(). h() Observando nos gráficos de g() e h(): f ().4 f () 4 2 de 28
13 f () (hog)() f () h(g()) Calculando h(g()) Quando, a função g(), pois tende a por valores maiores que. Então, podemos dizer que: h(g()) g() h(g()) Para saber quanto vale este ite, devemos olhar no gráfico qual o ite da função h quando a variável a qual h está sendo aplicada tende para. Logo: g() h(g()) h() 0 Portanto: (hog)() 0 Calculando h(g()) Quando,g(), pois tende a por valores maiores que. Logo, h(g()) h(g()) h() 2 Portanto: g() (hog)() 2 de 28
14 Lista 4 Questão 6) ( )( 2)...( 0) 5 ( ² ) O numerador possui 0 fatores e todos eles possuem o termo. Quando efetuarmos o produto, o 0 termo de maior grau será. 0 O denominador terá o termo de maior grau, após efetuar a potenciação,. 0 Colocando em evidência no numerador e no denominador teremos: 0 ( a) ( a) 0 ( b) ( b) Onde a e b representam uma soma de n termos nos quais todos apresentam uma constante dividida por alguma potência inteira positiva de. Quando, a e b tendem para zero. Portanto, Logo, ( a) ( b) ( )( 2)...( 0) 5 ( ² ) 4 de 28
15 Questão 24) 0 sen()sen()sen(5) tan(2) tan(4) tan(6) Lista 4 sen Preparando a função para usarmos o ite trigonométrico fundamental e 0 sen(g()) lembrando que podemos usar uma mudança de variável para fazer, onde 0 g() g() sen()sen()sen(5)..5 tan(2) tan(4) tan(6)..5 0 sen()sen()sen(5) tan(2) tan(4) tan(6) Usando a propriedade de ite que diz que o ite de um produto é igual ao produtos dos ites temos: sen() sen() sen(5) tan(2) tan(4) tan(6) tan(2) tan(4) tan(6) 0..5 tan(2) tan(4) tan(6) 0 sen(2) cos(2)..5 sen(4) sen(6) cos(4) cos(6) 0..5 sen(2)sen(4)sen(6) cos(2) cos(4) cos(6) 0..5 sen(2)sen(4)sen(6). 0 cos(2) cos(4) cos(6) 5 de 28
16 cos(2) Pois, quando 0, cos(4). cos(6) sen Preparando novamente para usar o ite trigonométrico fundamental : sen(2)sen(4)sen(6) sen(2)sen(4)sen(6) ³(..5) ³(2.4.6) Logo, sen()en()sen(5) 0 cos(2) cos(4) cos(6) de 28
17 Questão 8) Lista (indeterminado) Lembrando que a ³ b³ (a b)(a² ab b²), podemos fazer a 6 e. Assim podemos usar o produto notável para obter isso: b 2 ( 6)³ 2³ e sumir com a raiz cúbica. Fazendo (( 8 (( 6)³ 2. 6)³ ²) 6 2²) ( 2 6)³ 2³ (³ 8) (( 6)³ ²) (³ 8) (( 6)³ ²) 2 ( 2 8) (( 6)³ ²) Podemos observar que ³ e 8 são cubos perfeitos. Então, como temos uma soma de dois cubos, podemos usar o mesmo produto notável para fatorar ( ³ 8) em ( 2)(² 2 4). Note ( 2) que, fazendo isto, apareceu um fator no denominador, que pode ser cancelado com o que está no numerador. Desta forma estaremos cancelando do numerador e do denominador fatores que os anulam e assim, provavelmente, desfazendo a indeterminação. Portanto: ( 2 2 8) (( 6)³ ²) 2 2 ( 2)(² 2 4) (( 6)³ ²) (( 2)² 2( 2) ( 2)²) (( 2 6)² ) (4 4 4) (4 4 4) de 28
18 Questão ) V Volume do cilindro Lista 8 Pela fórmula de aproimação linear temos: Para o problema da questão: f f ( 0 ). V V (h 0 ). h Considerando o módulo de ambos os membros V V (h0). h ( I ) O volume do cilindro é dado por: Portanto, Derivando em relação a h: Substituindo V (h) na epressão ( I ): V π.r².h, mas h r V π.h³ V (h). π.h² V 0,0.V V (h 0 ). h 0,0.V. π.h². h 0,0. π.h³ h h 0,0. π.h³. π.h² 0,0 h h %.h Logo, o erro máimo em h é %. h 8 de 28
19 Questão ) Lista 9 V volume de água no reservatório h altura de água no reservatório r raio da base do cilindro formado pela água no reservatório Temos que V π.r².h e que dv 0.m³. dt s dh Devemos derivar a função V em t para que possamos achar, que é a velocidade com a qual dt o nível da água sobe no reservatório. Porém, o volume é função do raio e da altura e, para dh conseguirmos achar, precisamos achar uma relação entre r e h. dt Esta relação pode ser obtida na seguinte forma: Os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Portanto: r 0 h 5 r 0.h 5 r 2.r Substituindo r na função V: π V.(2h π 4.h² )².h V h V 9 4π.h³ 27 Derivando os dois membros da equação acima em t: dv 4π.h² dh dt 9 dt dv Substituindo os valores de e h dados no enunciado: dt 0. Logo: 4π dh.5². 9 dt dh dt π m s 9 de 28
20 Questão 4) Lista 9 distância entre o ponto da praia que dista km do farol e o ponto em que o raio toca na praia Lembrando que em toda fórmula trigonométrica o ângulo é medido em radianos, podemos fazer: rad rad 8rpm 8.2π 6π min min rad Por tanto, a velocidade angular ( dθ dt) é 6π. min O problema que saber a velocidade do raio de luz ao longo da praia, ou seja, ( d dt). Para isso, precisamos de uma relação entre e uma outra grandeza sobre a qual tenhamos dados. Esta outra grandeza é θ e a relação é: tan θ Derivando ambos os membros em t: dθ d d dθ sec ² θ..sec ² θ. (I) dt dt dt dt dθ Quando α 45 º, θ 45º. Logo, sec θ 2. Substituindo sec θ e em (I): dt.( 2)².6π Portanto, d dt d km 96π dt min 20 de 28
21 Questão 0) f () e f () ep( Aplicando ln aos dois membros: ln(f ()) ln(ep( Como ln e ep são funções inversas, ) )) Lista 2 ln(ep( )). Portanto: ln( f ()) Para que não tenhamos uma função de elevada a outra na hora de derivar, vamos aplicar, novamente, ln aos dois membros e usar a propriedade ln a b b.ln a. ln(ln(f())) ln ln(ln(f())).ln Derivando os dois membros e : ln(f ()) f () f () (ln ).. ln(f ()) f () f () ln f () ln(f ()).f ().( ln ) (f () e Substituindo f() pelo que tínhamos inicialmente : f () l(e ).e.( ln ) Lembrando que ln e ep são funções inversas: f ().e.(ln ) ) 2 de 28
22 Lista Questão 7) Quando ( ( 2 π ) arctan ) arctan π 2 (2 π )arctan ((2 π )arctan ) Portanto, há uma indeterminação. Para resolver este problema, vamos aplicar ep(ln) à função, lembrando que ln e ep são funções inversas e, por isso, ep(ln(f())f(). ((2 π )arctan ) e ln(( 2 )arctan ) π e.ln(( 2 )arctan ) π e.ln((2 )arctan ) π e L L.ln((2 π ).arctan ).0 Passando o inverso de para o denominador, a epressão continua a mesma e torna-se possível usar a Regra de L Hôpital, pois estaremos no caso 0 0. L R.L. (2 π ).arctan.ln((2 π ).arctan ) ² (2 π ) ( ²) ² ( ²).arctan ² ²( ²).arctan ( ²).arctan arctan ( π 2) Quando. ² 0 Portanto, 2 ( ²).arctan π 2 π L e L ((2 π )arctan ) e 2 π 22 de 28
23 Questão 6) Lista 6 O cone inscrito à esfera pode ser obtido girando a figura ao lado em torno do diâmetro vertical da circunferência. r raio da circunferência a apótema do triângulo inscrito à circunferência d raio r R raio da base do cone h altura do cone Pelo Teorema de Pitágoras: Pela figura: a² R² r² a² r² R² a r² R² h h r r a r² R ² O volume do cone é dado por: V π.r².h Substituindo h pela epressão encontrada teremos V em função, apenas, de r. Fazendo assim: 2 de 28
24 π V(R) R².(r r² R²) π V(R) (rr² R² r² R²) Derivando os dois membros em R: π V (R) 2.r.R r² R².(2R) R²..( 2. r² 2R) R² π V (R) 2rR 2R r² R² R³ r² R² Calculando o MMC e igualando os denominadores: π 2rR V (R) r² R² 2R(r² R²) R³ r² R² π 2rR V (R) r² R² 2Rr² 2R³ R³ r² R² π 2rR V (R) r² R² 2Rr² R³ r² R² V (R) π.r r² R² ( 2r r² R² 2r² R² ) Raízes do numerador: R 0 2 r r² R² 2r² R² 0 ou Achando as raízes da segunda equação: 24 de 28
25 2r r² R² R² 2r² r² R² R² 2r² 2r r² R² ( R² 2r² ) ( 2r) ² ² r² R² 9R 4 2r²R² 4r 4r² 4 4r² ( r² R² ) 9R 4 2r²R² 4r 4 4r 4 4r²R² 9R 4 2r²R² 4r 4 9R 4 8r²R² 0 R²(9R² 8r²) 0 Como R tem que ser diferente de zero para que o cone eista: 9R² 8r² 0 9R² 8r² R² 8r² 9 R 8r² 9 2r 2 R Analisando V (R) : 25 de 28
26 π > 0 R < r r² R² R > 0 Logo, basta analisar o sinal de ( 2r r² R² 2r² R² ). Chamando esta epressão de A e analisando seu sinal: Se Se 2 r 2 0 < R <, A>0 2r 2 R >, A<0 Portanto, o volume máimo ocorre para 2r 2 R. Calculando o volume máimo: π V R².h π V. 8r² 9 ( r r² (8r² 9) ) V π 8r². r 9 r² 9 π V. π V. 8r² 9 8r² 9 r 4r r 2. π.r³ V 8 26 de 28
27 Lista 8 (Cálculo I-A) Lista 7 (Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Questão 2) (Cálculo I-A) Questão 0) (Cálculo Dif. e Int. Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Sabe-se que f ( ) é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto, y ). 0 Então, de acordo com o enunciado, temos os seguintes dados, y ) ( 2, ) f (2) f (2) Foi dado também: f Como : ( ) 6 6 ( 0 0 : ( 0 0 f ( ) f ( ) Temos que: d f ( ) 6 6 d f ( ) 6² 6 C 2 f ( ) ² 6 C De acordo com o enunciado f ( 2), então: f (2) C 2 2 C C Logo: f ( ) ² 6 27 de 28
28 Para determinar f() sabemos que: f () f () d f () (² 6 ) d f () ³ 6² C 2 2 f () ³ ² C 2 Porém, f (2). Então: f (2) 2³.2².2 C C 2 C 2 Logo: f () ³ ² 28 de 28
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