Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada

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1 Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto = sabendo que f( ) = e f ( ) = Fi : Determine se é Verdadeiro ou Falso Se for falso dê um contraeemplo ou corrija (a) Se f é contínua em =, então f é derivável em = (b) Se f() = g(), então f () = g () (c) Se f () > 0, então f() > 0 Fi : Considere o gráco de f abaio (a) se f ( ) = determine f ( ) e f ( ) (b) Coloque em ordem crescente f ( ), f ( 4 ), f ( ), f ( 6 ) f() 4 6 Fi 4: Dado o gráco de f abaio, faça o gráco eato de f 4 f() Fi : Se f e g são funções diferenciáveis tais que f() =, f () =, g() =, g () =, determine o valor de h () se: (a) h() = f()g(); (b) h() = f() g() Fi 6: Considere f e g duas funções cujos grácos estão na gura abaio As retas que aparecem são tangentes ao gráco Determine o valor de h () se: (a) h() = f() g(); (b) h() = f() g()

2 f() g() Fi 7: Se um balonista joga um saco de areia de um balão a 00m de altura então o saco de areia estará numa altura (em metros) h(t) = 00 6t após t segundos Determine: (a) sua velocidade em t = ; (b) em qual instante, com qual velocidade e aceleração o saco atingirá o solo Fi 8: Calcule a derivada em relação a das funções: (a) e log ; (b) cos (c) cos( + ); + (d) e π + log(π + ) (e) log( + sen ); (f) ; Fi 9: Calcule: (a) d ( ) 4 dr πr ; (b) d dk (k k ); (e) d (c) du dt se u = t log t; (d) dv ds se v = sπ ; d se = ( ) ; (f) d (log π) dt Fi 0: Estude o Teorema do Valor Médio e responda Suponha que f é derivável em R e 4 f () para todo R Prove que: (a) 6 f() f() ; (b) 4h f(h) f(0) h para todo h > 0 Fi : Um objeto cai do alto de um edifício de 00m e atinge o solo em segundos Aplique o Teorema do Valor Médio (TVM) e prove que em algum instante o objeto estava com velocidade (em módulo) igual a 0m/s Fi : Suponha que f () = 0 para todo R Sabendo que f ( ) = 0 e f() = π, aplique uma consequência do Teorema do Valor Médio (TVM) duas vezes para concluir que f() = π para todo R Fi : Considere f e g duas funções cujos grácos estão na gura abaio As retas que aparecem são tangentes ao gráco (a) Se h() = f(g()), determine h () (b) Se k() = g (), determine k () f() g() Fi 4: Considere o gráco abaio

3 Se o gráco representa f() determine maiores intervalos (indique no gráco) onde: (a) f é positiva e negativa; (b) f é injetiva (possui inversa) Se o gráco representa f () determine maiores intervalos (indique no gráco) onde: (c) f é crescente e decrescente; (d) f é injetiva (possui inversa) Fi : Prove que para a > 0, cos(arcsen(/a)) = a a Problemas Prob : Calcule, pela denição (utilizando limite), a derivada de: (a) f() = ; (b) f() = ; (c) f() = { Prob : Determine a, b R se f ; < ; () eiste para todo e f() = a + b; Prob : Suponha que f() k com k > Calcule pela denição f (0) Prob 4: Para cada uma das funções abaio, determine onde possui derivada e calcule a derivada nestes pontos { ; < ; (a) g() = (b) f() = e ; (c) h() = ( )( + ) 4; ; Prob : Em cada um dos itens abaio, s(t) representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante t Determine: (i) A velocidade e aceleração da partícula no instante t = 0 (ii) Os instantes em que a partícula está parada (a) s(t) = t t ; (b) s(t) = sen t + Prob 6: Considere a função f() = + Determine todos os pontos do gráco de f nos quais a reta tangente é: (a) horizontal; (b) paralela à reta 0 0 = 0 (c) perpendicular à reta = 0 Prob 7: Determine todos os pontos do gráco de = f() = ( + ) onde a reta tangente é paralela ao eio Prob 8: Determine condições sobre a, b, c R para que a curva: (a) = a + b + c + π tenha uma única reta tangente horizontal; (b) = a + b + c tenha + = e = respectivamente como retas tangentes nos pontos = e = Prob 9: Calcule as derivada (em relação a ) das funções: ( (a) ( + 4) 00 7 ; (b) sen cos( ) + 4); (c) + + t e + ; (d) + k ; (e) log(sen(e )) 4 ; (f) arctan(log( + )); (g) e arcsen(4 ) Prob 0: Dado que f(4) =, f (4) = e g() = log(f() + ), determine g (4)

4 Prob : Considere m 0, T 0, K, a, b, c, d R Calcule: ( ) a + b (a) f () se f() = ; (b) f (t) se f(t) = e Kt cos(at) c + d (c) f (θ) se f(θ) = K sen(aθ + b); (d) f (t) se f(t) = m 0 e (T0 t)/k ; Prob : Determine a equação da reta tangente e da reta perpendicular ao gráco de: (a) = sen( ) para = π/; (b) = e sen( ) no ponto (π, ) Prob : Mostre que: (a) e + para 0 (b) a equação = 0 possui eatamente uma raiz real Prob 4: (Aplicações do Teorema do Valor Médio) (a) Dois corredores iniciaram a corrida no mesmo instante e terminaram empatados Prove que em algum instante durante a corrida ele têm a mesma velocidade (b) Considere f diferenciável com f(0) = 0 e f () para todo > 0 Mostre que f() para todo > 0 { h () = h(); (c) Mostre que eiste uma única h : R R diferenciável tal que: h(0) = Dica: Suponha que h e h são soluções Dena f() = h () h (), calcule f () e f(0) (d) Considere f() = e e g() = e Prove que eiste um c (0, ) tal que as retas tangentes ao gráco de f e de g são paralelas em = c (e) Mostre, usando TVM, que sen + cos = Prob : Considere f() = + + Determine onde f é crescente e decrescente Determine em quais intervalos f é injetiva Prob 6: Se f e g são funções diferenciáveis tais que f () =, f() =, g( ) =, g ( ) = 6, determine o valor de h () se: (a) h() = f(g( /)); (b) h() = g () Prob 7: Sabendo que a equação da reta tangente ao gráco de = f() no ponto (, ) passa no ponto (0, 6), determine (f ) () Problemas (Derivação Implícita) Prob : Seja = f() denida implicitamente em cada item abaio Determine a equação da reta tangente no ponto indicado: (a) + = 0 em (, ); (b) = + e em (, ) + e Prob : Considere a curva + = Determine os pontos onde a reta tangente é vertical e onde é horizontal Prob : Seja = f() denida implicitamente por + = próimo de (, ) (a) Calcule f () (b) Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto (, ) (c) Determine a equação da reta tangente ao gráco de g() = f()/ no ponto (, ) Prob 4: Para cada uma das funções = f() denidas implicitamente perto de (, ) = (a, b) determine ([Co, p48]): se a função é crescente ou decrescente perto de = a; f (a); f (a) (a) + + = em (a, b) = (, ) (b) cos() = 0 em (a, b) = (, π/) Prob : Determine a, b R tais que (, ) pertence a curva denida implicitamente por +a = b e que a reta tangente nesse ponto é 4 + = 7 Prob 6: Determine a reta tangente à curva = no ponto (k 0, k 0 ) com k 0 e 4

5 Respostas dos Eercícios Derivada Eer de Fiação p Fi : = ( ( )) = ( + ) Assim a reta tangente é = + 9 Fi : (a) Falso f() = possui um bicoem = (b) Falso f() = 0 e g() = Então f() = g() = 0 mas f () = 0 e g () = (c) Falso f() = 0 f () = e f() = 9 Fi : (a) Como no intervalo [, ] a função é um segmento de reta, f ( ) = = f ( ) Note que f ( ) não eiste pois gráco possui um bico (b) Note que f ( ) = 0 ou algo próimo e que f ( 6 ) > f ( ) pois a inclinação da reta tangente é maior em 6 Também f ( 4 ) < 0 pois a função decresce ai Assim, f ( 4 ) < f ( ) < f ( ) < f ( 6 ) Fi 4: 8 f () 4 Fi : (a) h () = f ()g() + f()g () = ( ) + () = (b) h () = f ()g() f()g () g() Logo h ( ) () () = ( ) = Fi 6: Calculando o coeciente angular da reta tangente, f () = e g () = 0 (reta tangente horizontal) Assim: (a) f ()g() + g ()f() = (/) + 0() = / (b) f () g () = () (0) = Fi 7: (a) Velocidade é h (t) = t Assim h () = 64 (b) Quando h(t) = 0? Para t = / Velocidade h ( /) = 6 Aceleração h (t) = ( t) = Assim a aceleração é para todo t Fi 8: (a) e log + e (+) (c) sen( + )( ) (d) 0 (a função é constante em cos relação a ) (e) (f) Para > a derivada + sen é, para < a derivada é Em = a derivada não eiste sen (+) cos (b) Fi 9: (a) 4πr (b) 6k+ k (c) log t+ (d) πsπ (e) = e log Logo ( ) = e log Assim a derivada é log( )e log = (log )( ) (f) 0 Fi 0: (a) Pelo TVM, eiste c [, ] tal que f() f() = f (c)4 Multiplicando por 4 a desigualdade 4 f () obtemos o resultado (c) Pelo TVM, para todo h eiste c [0, h] tal que f(h) f(0) = f (c)h Como h > 0 podemos multiplicar a desigualdade 4 f () sem alterar os sinais das desigualdades Fi : Seja S(t) a altura do objeto em função do S() S(0) tempo Então S(0) = 00, S() = 0 Assim, = 0 00 = 0 Pelo TVM eiste um instante t (0, ) tal que S (t) = 0, a velocidade do objeto Fi : Como (f ()) = 0 para todo R, f () = constante Como f ( ) = 0, a constante é zero Assim concluímos que f () = 0 para todo R Logo f() = constante Como f() = π, a constante é π Assim concluímos que f() = π para todo R Fi : (a) h () = f (g())g () = f ()g () Como g () é o coeciente angular da tangente, g () = ( )/( 0) = / Do mesmo modo, f () = (0 )/( 0) = / Assim, h () = = 6 = (b) Como g() =, g () = k() = Como k é a inversa de g, k(g()) = Logo, k (g())g () = Assim, k (g())g () = ou k ()g () = Como g () = pelo item (a), k () = /g () = Fi 4: Marcamos no gráco os pontos onde ele cruza o zero e onde a reta tangente é horizontal a b c d e f g (a) f é positiva em (, b), (c, d) e (f, ) f é negativa em (b, c) e (d, f) (b) f é injetiva em (, b), ou (b, c), ou (c, d), ou (d, f), ou (f, ) (c) f é crescente em (a, e) e (g, ) f é decrescente em (, a) e (e, g) (d) f é injetiva em (, a) ou (a, e) ou (e, g) ou (g, ) Fi : Dena A = cos(arcsen(/a)) Como sen ( )+ cos () =, tomando = arcsen(/a)), sen() = /a e assim /a + A =, ou seja, A = /a = /a a Problemas p Prob : (a) f(+h) f() = (+h) = (+h) (+h) = h+h (+h) Dividindo por h obtemos f(+h) f() h = +h Fazendo h 0 obtemos, f () = () = (b) f( + h) f() = +h = +h +h Multiplicando por + + h obtemos: (+h) h +h ( + +h) = +h ( + +h) Dividindo por h obtemos: f(+h) f() h = +h ( + +h) Quando h 0 obtemos: f () = ( + ) = (+h)

6 (c) Fazendo de forma análoga ao item (c), para > 0 a derivada é, para < 0 é e para = 0 o limite (f(0 + h) f(0))/h é zero Assim, f (0) = 0 Prob : Para garantir continuidade em = devemos ter: () = a() + b, ou a + b = Para que as derivadas laterais sejam iguais em = devemos ter = a em =, ou a = Assim b = a = Prob : Primeiro note que 0 f(0) 0 k = 0 Assim f(0) = 0, isto é, f(0) = 0 Agora pela denição, f f(h) f(0) f(h) (0) = lim = lim h 0 h h 0 h h k h = h k Como k >, k > 0 Assim, lim h k = 0 Logo, pelo h 0 f(h) teorema do Sanduíche, lim = 0 Logo f (0) = h 0 h f(h) lim h 0 h = 0 Prob 4: (a) Possui derivada em todos os pontos igual a zero pois é constante Em = é descontínua e portanto também não é derivável em = (b) f() = e se e > 0, isto é, se e > Tomando log dos dois lados, se > 0 Assim, f() = e se > 0 e f () = e Por outro lado, f() = (e ) = e se < 0 Assim f () = e Observe que 0 f(h) h se < 0 Em = 0 o gráco possui um bico e a função não é derivável (c) Fazendo análise de sinal do polinômio do segundo grau ( )( + ) (parábola com raízes e com concavidade para baio), concluímos que h() = ( )( + ) se < < e h() = ( )( + ) caso contrário Assim, h () = + se < < e h () = se < ou > Em = e = o gráco possui um bico e a função não é derivável Prob : (a) A velocidade é s 4t (t) = (t + ) A aceleração é s (t) = 4(t + ) 6t (t + ) (t + ) 4 Logo s (0) = 0 e s (0) = 4 Ela vai parar quando a velocidade s (t) = 0, ou seja, quando t = 0 (b) A velocidade é s (t) = cos t A aceleração é s (t) = sen t Logo s (0) = e s (0) = 0 Ela vai parar quando a velocidade s (t) = cos t = 0, ou seja, quando t = kπ ± π/ para k Z Prob 6: (a) Nos pontos onde f () = 6 4 = 0, isto é, = 0 ou = / (b) Reescrevendo a reta 0 0 = 0 como = 0+, observamos que o coeciente angular é 0 Assim queremos saber quando f () = 6 4 = 0, isto é, =, = / (c) o coeciente angular da reta = 0 é / Para que seja perpendicular, a reta deverá ter coeciente = /( /) = Assim queremos saber quando f () = 6 4 =, isto é, =, = / Prob 7: Deve-se analisar separadamente dois casos Se > 0, isto é > ou <, a função é ( )(+), cuja derivada é +, cujas raízes / e não pertencem ao domínio Se < 0, então < < e a função é ( )( + ), cuja derivada é +, cujas raízes são novamente / e Assim em = / a derivada é zero e a reta tangente é paralelo ao eio Em = temos que aplicar a denição Calculando (f( ) = 0) f() f( ) ( ) = Quando o limite tende a zero Assim f ( ) = 0 e = é ponto onde a reta tangente é paralela ao eio Prob 8: (a) = a + b + c Para que tenha uma única tangente horizontal, queremos que a equação = a + b + c = 0 tenha solução única Para isto basta que = (b) 4(a)c = 0, isto é, que b = ac (b) () = a+b O coeciente angular de + = é = ( ) = b a O coeciente angular de = é 0 = () = a + b Resolvendo o sistema obtemos que b = / e a = /6 Assim c pode ter qualquer valor Prob 9: (a) 00( + 4) 99 (0 ) (b) Primeiro reescreva 7 = ( ) /7 Depois aplicando a regra da cadeia, cos ( (cos( ) + 4 ) /7 ) ( cos( ) + 4 ) 6/7 ( sen( ))() 7 (c) e + + e + e (e + ) (d) /( + t) / ( + k) ( + t) / () ( + k) (e) cos( e )e 4 sen( e + 4 log(sen( e )) ) 6 (f) ((log( + )) + )( + ) (g) earcsen(4 ) (4 ) Prob 0: g () = f() + (f ()+) Assim, g (4) = f(4) + 4 (f (4) + ) = 7 Prob : (a) f (a + b)(ad bc) (t) = (c + d) (b) f (t) = Ke Kt cos(at) ae Kt sen(at) (c) f (θ) = akθ cos(aθ + b) (d) f (t) = m0 K e (T0 t)/k Prob : (a) = cos( ) sen( ) Logo ( π/) = /π e ( π/) = /π Assim a equação da reta tangente é: /π = /π( π/) Da reta perpendicular é /π = π/( π/) (b) = e sen( ) cos( )( ) Logo (π) = e (π) = Assim a equação da reta 6

7 tangente é: = ( π) Da reta perpendicular é = /( π) Prob : (a) Considere f() = e ( + ) Derivando f () = e é positiva para > 0 Logo f é crescente para > 0 Como f(0) = 0, a função é positiva para > 0 (b) Considere g() = Como lim g() = e lim g() =, eistem pontos onde a função é positiva e negativa Pelo TVI eiste pelo menos uma raiz Note que g () = é sempre positivo (para todo R) pois é um polinômio do segundo grau com raízes compleas ( < 0 e a = 6 > 0) Assim, g é crescente para todo R e portanto injetiva Assim a raiz é única pois a função é injetiva Prob 4: (a) Suponha que f e g representam a posição dos corredores em função do tempo Por hipóteses f(0) = g(0) (começam no mesmo instante) Suponha que eles terminaram a corrida no instante T Assim, f(t ) = g(t ) (terminaram empatados) Se h = f g, h(0) = h(t ) = 0 Pelo TVM (ou Teorema de Rolle), eiste c (0, T ) tal que h (c) = 0 = f (c) g (c), isto é, f (c) = g (c) (b) Pelo TVM, f() f(0) = f (c) Como > 0 e f (c) para todo c > 0 e f(0) = 0, f() = f() f(0) (c) Seguindo a dica, como h i = h i para i =,, f () = h h h h (h ) = h h h h (h ) = 0 Logo f é constante Como f(0) = h (0) =, f() = h (0) para todo R Logo = h () h (), isto é, h () = h () para todo R (d) Seja h = f g Como h(0) = h() = 0, pelo Teorema de Rolle, eiste c (0, ) tal que h (c) = 0 = f (c) g (c) Logo f (c) = g (c) e portanto as tangentes são paralelas (e) Seja f() = sen + cos Como f () = sen cos cos sen = 0 para todo R e f(0) = sen 0 + cos 0 = 0 + =, pelo TVM f é constante igual a Prob : Observe que f () = +6 As raízes são = ± Fazendo a análise de sinal obtemos que: (a) f () < 0 se < < < + Assim f decresce nestes intervalos (b) f () > 0 se > + ou < Assim f cresce nestes intervalos A função f será injetiva, separadamente, em cada intervalo onde ela somente cresce ou somente decresce Assim será injetiva em (, ), (, + ), e em ( +, ) Prob 6: (a) h () = f (g( /))g ( /)( /) Assim, h () = f (g( ))g ( )( /) = = f ()(6)( /) = (6)( /) = (b) Como h(g()) =, h (g())g () = Como g( ) =, h(g( )) = = h() Assim h () = h (g( )) = /g ( ) = /6 Prob 7: O coeciente angular da reta tangente é = 6 0 = Logo, f ( ) = Note que f( ) = ou f () = Logo (f ) () = f ( ) = f (f ()) = Problemas (Derivação Implícita) p4 Prob : (a) () = /8 e a reta tangente é = /8( ) (b) () = e a reta tangente é = Prob : Derivando implicitamente obtemos que = Assim a reta tangente será horizontal quando = 0, isto é, quando = Substituindo em + =, obtemos que 6 =, cujas raízes reais são = 0 e = Obtemos o correspondente substituindo na equação + = : (0, 0), (, 4) A reta será vertical quando = ± Assim basta que o denominador se anule, isto é, = Substituindo em + =, obtemos, de forma análoga, 6 =, cujas raízes reais são = 0 e = Obtemos o correspondente substituindo na equação + = : (0, 0), ( 4, ) Prob : A derivada implícita é + (+ ) = 0 (a) Queremos () = f () Substituindo = e =, obtemos que 4 4 ()+ 4 (+ ()) = 0 Logo, () = f () = 9 7 (b) = 9 ( ) 7 (c) g () = f () f() Logo g () = 8/7 = 4 7 Prob 4: (a) Decrescente, f () =, f () = 9/ (b) Decrescente, f () = π/, f () = π Prob : Como (, ) pertence a curva, + a = b A derivada implícita é: + + a = 0 Logo em =, =, + () + a () = 0 ou (a + ) () = Logo () = Queremos que seja igual ao a + coeciente angular de 4 + = 7, que é 4/ Assim () = a + = 4/ Logo, a = 4 e b = + a = 4 Prob 6: Primeiro reescrevemos a curva como ep( log ) = ep( log ) Derivando implicitamente, ( log + /) = (log + /) Substituindo = = k 0 obtemos que log k 0 + = log k 0 + Portanto = e a reta tangente é = 7