Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada"

Transcrição

1 Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto = sabendo que f( ) = e f ( ) = Fi : Determine se é Verdadeiro ou Falso Se for falso dê um contraeemplo ou corrija (a) Se f é contínua em =, então f é derivável em = (b) Se f() = g(), então f () = g () (c) Se f () > 0, então f() > 0 Fi : Considere o gráco de f abaio (a) se f ( ) = determine f ( ) e f ( ) (b) Coloque em ordem crescente f ( ), f ( 4 ), f ( ), f ( 6 ) f() 4 6 Fi 4: Dado o gráco de f abaio, faça o gráco eato de f 4 f() Fi : Se f e g são funções diferenciáveis tais que f() =, f () =, g() =, g () =, determine o valor de h () se: (a) h() = f()g(); (b) h() = f() g() Fi 6: Considere f e g duas funções cujos grácos estão na gura abaio As retas que aparecem são tangentes ao gráco Determine o valor de h () se: (a) h() = f() g(); (b) h() = f() g()

2 f() g() Fi 7: Se um balonista joga um saco de areia de um balão a 00m de altura então o saco de areia estará numa altura (em metros) h(t) = 00 6t após t segundos Determine: (a) sua velocidade em t = ; (b) em qual instante, com qual velocidade e aceleração o saco atingirá o solo Fi 8: Calcule a derivada em relação a das funções: (a) e log ; (b) cos (c) cos( + ); + (d) e π + log(π + ) (e) log( + sen ); (f) ; Fi 9: Calcule: (a) d ( ) 4 dr πr ; (b) d dk (k k ); (e) d (c) du dt se u = t log t; (d) dv ds se v = sπ ; d se = ( ) ; (f) d (log π) dt Fi 0: Estude o Teorema do Valor Médio e responda Suponha que f é derivável em R e 4 f () para todo R Prove que: (a) 6 f() f() ; (b) 4h f(h) f(0) h para todo h > 0 Fi : Um objeto cai do alto de um edifício de 00m e atinge o solo em segundos Aplique o Teorema do Valor Médio (TVM) e prove que em algum instante o objeto estava com velocidade (em módulo) igual a 0m/s Fi : Suponha que f () = 0 para todo R Sabendo que f ( ) = 0 e f() = π, aplique uma consequência do Teorema do Valor Médio (TVM) duas vezes para concluir que f() = π para todo R Fi : Considere f e g duas funções cujos grácos estão na gura abaio As retas que aparecem são tangentes ao gráco (a) Se h() = f(g()), determine h () (b) Se k() = g (), determine k () f() g() Fi 4: Considere o gráco abaio

3 Se o gráco representa f() determine maiores intervalos (indique no gráco) onde: (a) f é positiva e negativa; (b) f é injetiva (possui inversa) Se o gráco representa f () determine maiores intervalos (indique no gráco) onde: (c) f é crescente e decrescente; (d) f é injetiva (possui inversa) Fi : Prove que para a > 0, cos(arcsen(/a)) = a a Problemas Prob : Calcule, pela denição (utilizando limite), a derivada de: (a) f() = ; (b) f() = ; (c) f() = { Prob : Determine a, b R se f ; < ; () eiste para todo e f() = a + b; Prob : Suponha que f() k com k > Calcule pela denição f (0) Prob 4: Para cada uma das funções abaio, determine onde possui derivada e calcule a derivada nestes pontos { ; < ; (a) g() = (b) f() = e ; (c) h() = ( )( + ) 4; ; Prob : Em cada um dos itens abaio, s(t) representa a posição de uma partícula se movendo em linha reta no instante t Determine: (i) A velocidade e aceleração da partícula no instante t = 0 (ii) Os instantes em que a partícula está parada (a) s(t) = t t ; (b) s(t) = sen t + Prob 6: Considere a função f() = + Determine todos os pontos do gráco de f nos quais a reta tangente é: (a) horizontal; (b) paralela à reta 0 0 = 0 (c) perpendicular à reta = 0 Prob 7: Determine todos os pontos do gráco de = f() = ( + ) onde a reta tangente é paralela ao eio Prob 8: Determine condições sobre a, b, c R para que a curva: (a) = a + b + c + π tenha uma única reta tangente horizontal; (b) = a + b + c tenha + = e = respectivamente como retas tangentes nos pontos = e = Prob 9: Calcule as derivada (em relação a ) das funções: ( (a) ( + 4) 00 7 ; (b) sen cos( ) + 4); (c) + + t e + ; (d) + k ; (e) log(sen(e )) 4 ; (f) arctan(log( + )); (g) e arcsen(4 ) Prob 0: Dado que f(4) =, f (4) = e g() = log(f() + ), determine g (4)

4 Prob : Considere m 0, T 0, K, a, b, c, d R Calcule: ( ) a + b (a) f () se f() = ; (b) f (t) se f(t) = e Kt cos(at) c + d (c) f (θ) se f(θ) = K sen(aθ + b); (d) f (t) se f(t) = m 0 e (T0 t)/k ; Prob : Determine a equação da reta tangente e da reta perpendicular ao gráco de: (a) = sen( ) para = π/; (b) = e sen( ) no ponto (π, ) Prob : Mostre que: (a) e + para 0 (b) a equação = 0 possui eatamente uma raiz real Prob 4: (Aplicações do Teorema do Valor Médio) (a) Dois corredores iniciaram a corrida no mesmo instante e terminaram empatados Prove que em algum instante durante a corrida ele têm a mesma velocidade (b) Considere f diferenciável com f(0) = 0 e f () para todo > 0 Mostre que f() para todo > 0 { h () = h(); (c) Mostre que eiste uma única h : R R diferenciável tal que: h(0) = Dica: Suponha que h e h são soluções Dena f() = h () h (), calcule f () e f(0) (d) Considere f() = e e g() = e Prove que eiste um c (0, ) tal que as retas tangentes ao gráco de f e de g são paralelas em = c (e) Mostre, usando TVM, que sen + cos = Prob : Considere f() = + + Determine onde f é crescente e decrescente Determine em quais intervalos f é injetiva Prob 6: Se f e g são funções diferenciáveis tais que f () =, f() =, g( ) =, g ( ) = 6, determine o valor de h () se: (a) h() = f(g( /)); (b) h() = g () Prob 7: Sabendo que a equação da reta tangente ao gráco de = f() no ponto (, ) passa no ponto (0, 6), determine (f ) () Problemas (Derivação Implícita) Prob : Seja = f() denida implicitamente em cada item abaio Determine a equação da reta tangente no ponto indicado: (a) + = 0 em (, ); (b) = + e em (, ) + e Prob : Considere a curva + = Determine os pontos onde a reta tangente é vertical e onde é horizontal Prob : Seja = f() denida implicitamente por + = próimo de (, ) (a) Calcule f () (b) Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto (, ) (c) Determine a equação da reta tangente ao gráco de g() = f()/ no ponto (, ) Prob 4: Para cada uma das funções = f() denidas implicitamente perto de (, ) = (a, b) determine ([Co, p48]): se a função é crescente ou decrescente perto de = a; f (a); f (a) (a) + + = em (a, b) = (, ) (b) cos() = 0 em (a, b) = (, π/) Prob : Determine a, b R tais que (, ) pertence a curva denida implicitamente por +a = b e que a reta tangente nesse ponto é 4 + = 7 Prob 6: Determine a reta tangente à curva = no ponto (k 0, k 0 ) com k 0 e 4

5 Respostas dos Eercícios Derivada Eer de Fiação p Fi : = ( ( )) = ( + ) Assim a reta tangente é = + 9 Fi : (a) Falso f() = possui um bicoem = (b) Falso f() = 0 e g() = Então f() = g() = 0 mas f () = 0 e g () = (c) Falso f() = 0 f () = e f() = 9 Fi : (a) Como no intervalo [, ] a função é um segmento de reta, f ( ) = = f ( ) Note que f ( ) não eiste pois gráco possui um bico (b) Note que f ( ) = 0 ou algo próimo e que f ( 6 ) > f ( ) pois a inclinação da reta tangente é maior em 6 Também f ( 4 ) < 0 pois a função decresce ai Assim, f ( 4 ) < f ( ) < f ( ) < f ( 6 ) Fi 4: 8 f () 4 Fi : (a) h () = f ()g() + f()g () = ( ) + () = (b) h () = f ()g() f()g () g() Logo h ( ) () () = ( ) = Fi 6: Calculando o coeciente angular da reta tangente, f () = e g () = 0 (reta tangente horizontal) Assim: (a) f ()g() + g ()f() = (/) + 0() = / (b) f () g () = () (0) = Fi 7: (a) Velocidade é h (t) = t Assim h () = 64 (b) Quando h(t) = 0? Para t = / Velocidade h ( /) = 6 Aceleração h (t) = ( t) = Assim a aceleração é para todo t Fi 8: (a) e log + e (+) (c) sen( + )( ) (d) 0 (a função é constante em cos relação a ) (e) (f) Para > a derivada + sen é, para < a derivada é Em = a derivada não eiste sen (+) cos (b) Fi 9: (a) 4πr (b) 6k+ k (c) log t+ (d) πsπ (e) = e log Logo ( ) = e log Assim a derivada é log( )e log = (log )( ) (f) 0 Fi 0: (a) Pelo TVM, eiste c [, ] tal que f() f() = f (c)4 Multiplicando por 4 a desigualdade 4 f () obtemos o resultado (c) Pelo TVM, para todo h eiste c [0, h] tal que f(h) f(0) = f (c)h Como h > 0 podemos multiplicar a desigualdade 4 f () sem alterar os sinais das desigualdades Fi : Seja S(t) a altura do objeto em função do S() S(0) tempo Então S(0) = 00, S() = 0 Assim, = 0 00 = 0 Pelo TVM eiste um instante t (0, ) tal que S (t) = 0, a velocidade do objeto Fi : Como (f ()) = 0 para todo R, f () = constante Como f ( ) = 0, a constante é zero Assim concluímos que f () = 0 para todo R Logo f() = constante Como f() = π, a constante é π Assim concluímos que f() = π para todo R Fi : (a) h () = f (g())g () = f ()g () Como g () é o coeciente angular da tangente, g () = ( )/( 0) = / Do mesmo modo, f () = (0 )/( 0) = / Assim, h () = = 6 = (b) Como g() =, g () = k() = Como k é a inversa de g, k(g()) = Logo, k (g())g () = Assim, k (g())g () = ou k ()g () = Como g () = pelo item (a), k () = /g () = Fi 4: Marcamos no gráco os pontos onde ele cruza o zero e onde a reta tangente é horizontal a b c d e f g (a) f é positiva em (, b), (c, d) e (f, ) f é negativa em (b, c) e (d, f) (b) f é injetiva em (, b), ou (b, c), ou (c, d), ou (d, f), ou (f, ) (c) f é crescente em (a, e) e (g, ) f é decrescente em (, a) e (e, g) (d) f é injetiva em (, a) ou (a, e) ou (e, g) ou (g, ) Fi : Dena A = cos(arcsen(/a)) Como sen ( )+ cos () =, tomando = arcsen(/a)), sen() = /a e assim /a + A =, ou seja, A = /a = /a a Problemas p Prob : (a) f(+h) f() = (+h) = (+h) (+h) = h+h (+h) Dividindo por h obtemos f(+h) f() h = +h Fazendo h 0 obtemos, f () = () = (b) f( + h) f() = +h = +h +h Multiplicando por + + h obtemos: (+h) h +h ( + +h) = +h ( + +h) Dividindo por h obtemos: f(+h) f() h = +h ( + +h) Quando h 0 obtemos: f () = ( + ) = (+h)

6 (c) Fazendo de forma análoga ao item (c), para > 0 a derivada é, para < 0 é e para = 0 o limite (f(0 + h) f(0))/h é zero Assim, f (0) = 0 Prob : Para garantir continuidade em = devemos ter: () = a() + b, ou a + b = Para que as derivadas laterais sejam iguais em = devemos ter = a em =, ou a = Assim b = a = Prob : Primeiro note que 0 f(0) 0 k = 0 Assim f(0) = 0, isto é, f(0) = 0 Agora pela denição, f f(h) f(0) f(h) (0) = lim = lim h 0 h h 0 h h k h = h k Como k >, k > 0 Assim, lim h k = 0 Logo, pelo h 0 f(h) teorema do Sanduíche, lim = 0 Logo f (0) = h 0 h f(h) lim h 0 h = 0 Prob 4: (a) Possui derivada em todos os pontos igual a zero pois é constante Em = é descontínua e portanto também não é derivável em = (b) f() = e se e > 0, isto é, se e > Tomando log dos dois lados, se > 0 Assim, f() = e se > 0 e f () = e Por outro lado, f() = (e ) = e se < 0 Assim f () = e Observe que 0 f(h) h se < 0 Em = 0 o gráco possui um bico e a função não é derivável (c) Fazendo análise de sinal do polinômio do segundo grau ( )( + ) (parábola com raízes e com concavidade para baio), concluímos que h() = ( )( + ) se < < e h() = ( )( + ) caso contrário Assim, h () = + se < < e h () = se < ou > Em = e = o gráco possui um bico e a função não é derivável Prob : (a) A velocidade é s 4t (t) = (t + ) A aceleração é s (t) = 4(t + ) 6t (t + ) (t + ) 4 Logo s (0) = 0 e s (0) = 4 Ela vai parar quando a velocidade s (t) = 0, ou seja, quando t = 0 (b) A velocidade é s (t) = cos t A aceleração é s (t) = sen t Logo s (0) = e s (0) = 0 Ela vai parar quando a velocidade s (t) = cos t = 0, ou seja, quando t = kπ ± π/ para k Z Prob 6: (a) Nos pontos onde f () = 6 4 = 0, isto é, = 0 ou = / (b) Reescrevendo a reta 0 0 = 0 como = 0+, observamos que o coeciente angular é 0 Assim queremos saber quando f () = 6 4 = 0, isto é, =, = / (c) o coeciente angular da reta = 0 é / Para que seja perpendicular, a reta deverá ter coeciente = /( /) = Assim queremos saber quando f () = 6 4 =, isto é, =, = / Prob 7: Deve-se analisar separadamente dois casos Se > 0, isto é > ou <, a função é ( )(+), cuja derivada é +, cujas raízes / e não pertencem ao domínio Se < 0, então < < e a função é ( )( + ), cuja derivada é +, cujas raízes são novamente / e Assim em = / a derivada é zero e a reta tangente é paralelo ao eio Em = temos que aplicar a denição Calculando (f( ) = 0) f() f( ) ( ) = Quando o limite tende a zero Assim f ( ) = 0 e = é ponto onde a reta tangente é paralela ao eio Prob 8: (a) = a + b + c Para que tenha uma única tangente horizontal, queremos que a equação = a + b + c = 0 tenha solução única Para isto basta que = (b) 4(a)c = 0, isto é, que b = ac (b) () = a+b O coeciente angular de + = é = ( ) = b a O coeciente angular de = é 0 = () = a + b Resolvendo o sistema obtemos que b = / e a = /6 Assim c pode ter qualquer valor Prob 9: (a) 00( + 4) 99 (0 ) (b) Primeiro reescreva 7 = ( ) /7 Depois aplicando a regra da cadeia, cos ( (cos( ) + 4 ) /7 ) ( cos( ) + 4 ) 6/7 ( sen( ))() 7 (c) e + + e + e (e + ) (d) /( + t) / ( + k) ( + t) / () ( + k) (e) cos( e )e 4 sen( e + 4 log(sen( e )) ) 6 (f) ((log( + )) + )( + ) (g) earcsen(4 ) (4 ) Prob 0: g () = f() + (f ()+) Assim, g (4) = f(4) + 4 (f (4) + ) = 7 Prob : (a) f (a + b)(ad bc) (t) = (c + d) (b) f (t) = Ke Kt cos(at) ae Kt sen(at) (c) f (θ) = akθ cos(aθ + b) (d) f (t) = m0 K e (T0 t)/k Prob : (a) = cos( ) sen( ) Logo ( π/) = /π e ( π/) = /π Assim a equação da reta tangente é: /π = /π( π/) Da reta perpendicular é /π = π/( π/) (b) = e sen( ) cos( )( ) Logo (π) = e (π) = Assim a equação da reta 6

7 tangente é: = ( π) Da reta perpendicular é = /( π) Prob : (a) Considere f() = e ( + ) Derivando f () = e é positiva para > 0 Logo f é crescente para > 0 Como f(0) = 0, a função é positiva para > 0 (b) Considere g() = Como lim g() = e lim g() =, eistem pontos onde a função é positiva e negativa Pelo TVI eiste pelo menos uma raiz Note que g () = é sempre positivo (para todo R) pois é um polinômio do segundo grau com raízes compleas ( < 0 e a = 6 > 0) Assim, g é crescente para todo R e portanto injetiva Assim a raiz é única pois a função é injetiva Prob 4: (a) Suponha que f e g representam a posição dos corredores em função do tempo Por hipóteses f(0) = g(0) (começam no mesmo instante) Suponha que eles terminaram a corrida no instante T Assim, f(t ) = g(t ) (terminaram empatados) Se h = f g, h(0) = h(t ) = 0 Pelo TVM (ou Teorema de Rolle), eiste c (0, T ) tal que h (c) = 0 = f (c) g (c), isto é, f (c) = g (c) (b) Pelo TVM, f() f(0) = f (c) Como > 0 e f (c) para todo c > 0 e f(0) = 0, f() = f() f(0) (c) Seguindo a dica, como h i = h i para i =,, f () = h h h h (h ) = h h h h (h ) = 0 Logo f é constante Como f(0) = h (0) =, f() = h (0) para todo R Logo = h () h (), isto é, h () = h () para todo R (d) Seja h = f g Como h(0) = h() = 0, pelo Teorema de Rolle, eiste c (0, ) tal que h (c) = 0 = f (c) g (c) Logo f (c) = g (c) e portanto as tangentes são paralelas (e) Seja f() = sen + cos Como f () = sen cos cos sen = 0 para todo R e f(0) = sen 0 + cos 0 = 0 + =, pelo TVM f é constante igual a Prob : Observe que f () = +6 As raízes são = ± Fazendo a análise de sinal obtemos que: (a) f () < 0 se < < < + Assim f decresce nestes intervalos (b) f () > 0 se > + ou < Assim f cresce nestes intervalos A função f será injetiva, separadamente, em cada intervalo onde ela somente cresce ou somente decresce Assim será injetiva em (, ), (, + ), e em ( +, ) Prob 6: (a) h () = f (g( /))g ( /)( /) Assim, h () = f (g( ))g ( )( /) = = f ()(6)( /) = (6)( /) = (b) Como h(g()) =, h (g())g () = Como g( ) =, h(g( )) = = h() Assim h () = h (g( )) = /g ( ) = /6 Prob 7: O coeciente angular da reta tangente é = 6 0 = Logo, f ( ) = Note que f( ) = ou f () = Logo (f ) () = f ( ) = f (f ()) = Problemas (Derivação Implícita) p4 Prob : (a) () = /8 e a reta tangente é = /8( ) (b) () = e a reta tangente é = Prob : Derivando implicitamente obtemos que = Assim a reta tangente será horizontal quando = 0, isto é, quando = Substituindo em + =, obtemos que 6 =, cujas raízes reais são = 0 e = Obtemos o correspondente substituindo na equação + = : (0, 0), (, 4) A reta será vertical quando = ± Assim basta que o denominador se anule, isto é, = Substituindo em + =, obtemos, de forma análoga, 6 =, cujas raízes reais são = 0 e = Obtemos o correspondente substituindo na equação + = : (0, 0), ( 4, ) Prob : A derivada implícita é + (+ ) = 0 (a) Queremos () = f () Substituindo = e =, obtemos que 4 4 ()+ 4 (+ ()) = 0 Logo, () = f () = 9 7 (b) = 9 ( ) 7 (c) g () = f () f() Logo g () = 8/7 = 4 7 Prob 4: (a) Decrescente, f () =, f () = 9/ (b) Decrescente, f () = π/, f () = π Prob : Como (, ) pertence a curva, + a = b A derivada implícita é: + + a = 0 Logo em =, =, + () + a () = 0 ou (a + ) () = Logo () = Queremos que seja igual ao a + coeciente angular de 4 + = 7, que é 4/ Assim () = a + = 4/ Logo, a = 4 e b = + a = 4 Prob 6: Primeiro reescrevemos a curva como ep( log ) = ep( log ) Derivando implicitamente, ( log + /) = (log + /) Substituindo = = k 0 obtemos que log k 0 + = log k 0 + Portanto = e a reta tangente é = 7

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Seja f() = 5 + + 1. Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

de h(x) = f(x) no sistema de coordenadas dado abaixo. Indique as intersecções com os eixos x e y, bem como assíntotas. b) Idem para g(x) = f(2x).

de h(x) = f(x) no sistema de coordenadas dado abaixo. Indique as intersecções com os eixos x e y, bem como assíntotas. b) Idem para g(x) = f(2x). UFRGS Instituto de Matemática DMPA - Depto. de Matemática Pura e Aplicada MAT 01 353 Cálculo e Geometria Analítica I A Gabarito da 1 a PROVA fila A de setembro de 005 Questão 1 (1,5 pontos). Seja f uma

Leia mais

1 Definição de Derivada

1 Definição de Derivada Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

x lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.

x lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique. INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = )

Leia mais

4.-1 Funções Deriváveis

4.-1 Funções Deriváveis 4.- Funções Deriváveis 4.A Em cada caso, encontre a derivada da função y = f (), usando a de nição. (a) y = + (b) y = 3 (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = +

Leia mais

4.1 Funções Deriváveis

4.1 Funções Deriváveis 4. Funções Deriváveis 4.A Em cada caso, encontre a derivada da função y = f (), usando a de nição. (a) y = + (b) y = 3 (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = +

Leia mais

Lista de Exercícios do capítulo 4

Lista de Exercícios do capítulo 4 Lista de Eercícios do capítulo 4 1. Eplique a diferença entre um mínimo local e um mínimo absoluto. 2. Nos gráficos abaio, diga se a função tem um máimo local, um mínimo local, um máimo absoluto, um mínimo

Leia mais

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor:

Leia mais

f(x + h) f(x) 6. Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) = x 3 x 2 + 2x em que a reta tangente é paralela ao eixo x.

f(x + h) f(x) 6. Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) = x 3 x 2 + 2x em que a reta tangente é paralela ao eixo x. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista 4: Derivadas - Cálculo Diferencial e Integral I f( + h) f() 1. Para as funções dadas abaio calcule lim. h 0 h( (a) f() ) (b) f() (e) f() cos (c) f() 1 (f)

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em 007. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a+ a, >, e a) f (

Leia mais

DERIVADA. A Reta Tangente

DERIVADA. A Reta Tangente DERIVADA A Reta Tangente Seja f uma função definida numa vizinança de a. Para definir a reta tangente de uma curva = f() num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizino Q(,), em que a e traçamos a S,

Leia mais

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) 5 2 + e b) e c) 2 + 5 d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d)

Leia mais

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Derivadas Aula 16 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 04 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica A Derivada Seja x = f(t)

Leia mais

MAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios

MAT Cálculo I - POLI a Lista de Exercícios MAT 453 - Cálculo I - POLI - 003 a Lista de Eercícios. Calcule a derivada indicada em cada caso: a) y se y = ; b) y se y = ( ) d ; c) ; d + ( d) d d 3 + ); e) d500 3 d 500 (3 3 79 + 4).. Calcule dy por

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Médio

MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Médio Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Motivação Suponha que uma função real f, definida em um intervalo I, seja derivável em todo I. Sabemos que se f é uma função constante,

Leia mais

Exercícios sobre Trigonometria

Exercícios sobre Trigonometria Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n 400-40 Niterói, RJ Tels:

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 06 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Como P A B ) P A B ) P A B), temos que: P A B ) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,4 Como P A B) P A) + P B) P A B) P A

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso

Leia mais

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18 A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1.

QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1. QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL QUESTÃO Se ( ) a, e a, eamine as seguintes afirmações: () A função é crescente () A função d/d é crescente () lim ( ) () lim ( ) ( ) ( y) y Se, y, então (4) QUESTÃO

Leia mais

20 de setembro de MAT140 - Cálculo I - Taxa de Variação e Taxas Relacionadas

20 de setembro de MAT140 - Cálculo I - Taxa de Variação e Taxas Relacionadas MAT140 - Cálculo I - Taxa de Variação e Taxas Relacionadas 20 de setembro de 2015 Já vimos que se a seguinte equação s = f (t), representa a distância percorrida por uma partícula em um período de tempo

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru REGRA DE LHÔPITAL Teorema: Suponhamos que f (a) g(a) e que f (a) e g (a) eistam com g(a). Então: lim a f() g() f(a) g(a). in det er min ação. Forma mais avançada do Teorema de L Hospital: Suponhamos que

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: ou na pasta J18, no xerox (sala1036)

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços:  ou na pasta J18, no xerox (sala1036) As listas de eercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: www.mat.ufmg.br/calculoi ou na pasta J8, no ero (sala06) TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS. Derive: a) y = 6 + b) y = c) d) y = + y = 0

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 05 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Escolhendo os lugares das etremidades para os dois rapazes, eistem hipóteses correspondentes a uma troca entre os rapazes.

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos

Leia mais

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 )

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 ) CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 0: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente. Objetivos da Aula Denir taxa de variação média e a derivada como a taxa

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação no cálculo de

Leia mais

Matemática Exercícios

Matemática Exercícios 03/0 DIFERENCIAÇÃO EM R Matemática Eercícios A. Regras de Derivação Calcular a derivada de f( considerando que toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f( tem significado:. f ( 3 5

Leia mais

CÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal = 0, 5 π 70 dr. 0, 55 m/min. m3 /min. Então, para = 0, 2 m/min, teremos

CÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal = 0, 5 π 70 dr. 0, 55 m/min. m3 /min. Então, para = 0, 2 m/min, teremos CÁLCULO I Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz Gabarito - Lista Semanal 06 Questão. Uma tempestade no mar danicou uma plataforma do petróleo, produzindo uma vazamento de 60 m /min que resultou numa mancha

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1- Resolva a inequação 4 3 Resp: 1,4 - Dizemos que uma relação entre dois conjuntos não vazios A e B é uma função de A em B quando:

Leia mais

13 Fórmula de Taylor

13 Fórmula de Taylor 13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =

Leia mais

1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?

1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm? MAT 001 1 ō Sem. 016 IMC UNIFEI Lista 4: Aplicações da Derivação 1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?.

Leia mais

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.

= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x. INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS - 008. - Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função

Leia mais

Gabarito. Sistemas numéricos. 1. Números naturais. 2. N. 3. Infinito. 4. Infinito. 5. Não. Contra-exemplo: número 7.

Gabarito. Sistemas numéricos. 1. Números naturais. 2. N. 3. Infinito. 4. Infinito. 5. Não. Contra-exemplo: número 7. Gabarito Sistemas numéricos. Números naturais.. N. Infinito.. Infinito. 5. Não. Contra-eemplo: número 7. 6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade. 7. 0

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Esboço de Gráficos. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira

MAT146 - Cálculo I - Esboço de Gráficos. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Nas aulas anteriores, estudamos várias ferramentas (Teste da Derivada Primeira, Teste da Derivada Segunda, Existência de Pontos Críticos,

Leia mais

1 Exercícios de Aplicações da Integral

1 Exercícios de Aplicações da Integral Cálculo I (5/) IM UFRJ Lista 6: Aplicações de Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 9.5.5 Eercícios de Aplicações da Integral. Eercícios de Fiação Fi.: Esboce o gráco e calcule a área

Leia mais

Solução Comentada Prova de Matemática

Solução Comentada Prova de Matemática 18. Se f é uma função real de variável real definida por f() = a + b + c, onde a, b e c são números reais negativos, então o gráfico que melhor representa a derivada de f é: A) y B) y C) y D) y E) y Questão

Leia mais

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1.

Leia mais

1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Função Quadrática Gráfico de uma Função Quadrática a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Função Quadrática Gráfico de uma Função Quadrática Eercícios Introdutórios Eercício. Determine

Leia mais

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1),

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8

Leia mais

Derivada. Capítulo Retas tangentes e normais Número derivado

Derivada. Capítulo Retas tangentes e normais Número derivado Capítulo 3 Derivada 3.1 Retas tangentes e normais Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente e a reta normal a uma curvay= f(x) num determinado ponto (a,f(a)) da curva. Por isso

Leia mais

5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações

5.1 O Teorema do Valor Médio & Aplicações 5. O Teorema do Valor Médio & Aplicações. Se f () = + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do Valor Médio) no intervalo [; 8] : 2. Seja f () = j j. Mostre que não eiste um número

Leia mais

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva. Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante

Leia mais

7. Diferenciação Implícita

7. Diferenciação Implícita 7. Diferenciação Implícita ` Sempre que temos uma função escrita na forma = f(), dizemos que é uma função eplícita de, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a epressão da função do outro.

Leia mais

11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes

11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes 11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Estudos Anteriores Derivadas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 22. Assunto: Máximos e mínimos

Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 22. Assunto: Máximos e mínimos Assunto: Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos Máximos e mínimos Sejam f uma função a valores

Leia mais

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE CE65 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA ª. PARTE. FUNÇÕES.- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localização de pontos num plano é bastante antiga na Matemática e data aproimadamente

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Taxas de Variação. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira

MAT146 - Cálculo I - Taxas de Variação. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Obserque que até o momento, tem sido visto apenas como uma notação dx para a derivada da equação y = f (x). O que faremos agora é interpretar

Leia mais

Cálculo de primitivas ou de antiderivadas

Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Aula 0 Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Objetivos Calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. Calcular primitivas de funções pelo método da substituição. Calcular

Leia mais

CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia. Derivação Implícita. Derivada da Função Inversa.

CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia. Derivação Implícita. Derivada da Função Inversa. CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia.. Função Inversa. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 2 3 Teorema (Regra da Cadeia) Sejam g(y) e y = f (x) duas funções deriváveis,

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015. Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015. Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I (015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.015 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio

Leia mais

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula introduziremos o conceito de derivada e a definição de uma reta tangente ao gráfico de uma função. Também apresentaremos

Leia mais

CÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções.

CÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções. UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO I - MAT0009 9 a Lista de eercícios.

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c

Leia mais

GABARITO COMENTADO EN Prova Amarela(2º Dia)

GABARITO COMENTADO EN Prova Amarela(2º Dia) PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) ndré Felipe Bruno Pedra nderson Izidoro le Ricardo Rafael Sabino Noronha Jean Pierre QUESTÃO 0 (E) Temos da solução do sistema: y 5 y 6 y 9 y y 6 9 5 y 6 6 y 8 Reescrevendo

Leia mais

onde: F : força exercida pelo cavalo. P: peso, força exercida pela terra. N: força exercida pelo plano inclinado (normal ao plano inclinado).

onde: F : força exercida pelo cavalo. P: peso, força exercida pela terra. N: força exercida pelo plano inclinado (normal ao plano inclinado). Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um cavalo pua uma carroça para cima num plano inclinado, com velocidade constante. A força de atrito entre a carroça e o plano inclinado é desprezível.

Leia mais

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. Funções Quadráticas

Lista 8. Bases Matemáticas. Funções Quadráticas, Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. Funções Quadráticas Lista 8 Bases Matemáticas Funções Quadráticas, Eponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas Funções Quadráticas Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes

Leia mais

1. Limite. lim. Ou seja, o limite é igual ao valor da função em x 0. Exemplos: 1.1) Calcule lim x 1 x 2 + 2

1. Limite. lim. Ou seja, o limite é igual ao valor da função em x 0. Exemplos: 1.1) Calcule lim x 1 x 2 + 2 1. Limite Definição: o limite de uma função f(x) quando seu argumento x tende a x0 é o valor L para o qual a função se aproxima quando x se aproxima de x0 (note que a função não precisa estar definida

Leia mais

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC238 Respostas da Prova de Final - 20/12/2013

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC238 Respostas da Prova de Final - 20/12/2013 Página de 8 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC38 Respostas da Prova de Final - 0//03 Questão : ( pontos) (a) Dado o gráfico da função f, esboce o gráfico da função

Leia mais

Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I

Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 27 de Março de 26 Questão [8 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. Caso não eista, eplique por quê. 5 2 + 3 c ) lim 2 ( 2) 2 2 e ) lim 5

Leia mais

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a

Leia mais

x + 2 > 1 (x 2)(x + 2) x + 2 > e

x + 2 > 1 (x 2)(x + 2) x + 2 > e Instituto Superior Técnico Departamento de Matematica TESTES DE RECUPERAÇÃO DE CDI I O SEM. / DURAÇÃO: H/H VERSÃO A LEMAT, LEAN, MEBIOL, MEQ, MEAMBI E LMAC, MEBIOM, MEFT RESOLUÇÃO. (,5 val.) (a) (,9 val.)

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 28/06/2015 Física

Leia mais

Lista de Exercícios de Funções

Lista de Exercícios de Funções Lista de Eercícios de Funções ) Seja a R, 0< a < e f a função real de variável real definida por : f() = ( a a ) cos( π) + 4cos( π) + 3 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que : a) (], [ Z)

Leia mais

4 Cálculo Diferencial

4 Cálculo Diferencial 4 Cálculo Diferencial 1. (Eercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log2, e) sen cos tg, f) 2 (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen 2. 2. Derive:

Leia mais

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226) Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da.

Leia mais

Deduzimos a equação do ciclóide na proxima seção.

Deduzimos a equação do ciclóide na proxima seção. Chapter Curvas Paramétricas Introdução e Motivação: No estudo de curvas cartesianas estamos acostumando a tomar uma variável como independente e a outra como dependente, ou seja = f() ou = h(). Porem,

Leia mais

o Seu pé direito também na medicina

o Seu pé direito também na medicina o Seu pé direito também na medicina UNIFESP 5//00 MTEMÁTIC 0. figura eibe um mapa representando países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;

Leia mais

1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6.

1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6. mata Considere a representação gráica da unção Determine: A variação de em,4 A variação de em 0,6 tmv 0,6 4 Indique um intervalo do domínio onde a taa média de variação é A igura representa um reservatório

Leia mais

Lista de Exercícios 3 1

Lista de Exercícios 3 1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM122 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Encontre os pontos críticos das funções a seguir: Lista de Eercícios 1 a f = + 7 2 5 b g = 7/ +

Leia mais

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Campus Vitória da Conquista Coordenação Técnica Pedagógica Programa de Assistência e Apoio aos Estudantes Apostila Cálculo Diferencial e Integral

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

Função de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:

Função de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgartito.wordpress.com x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5

Leia mais

Retas e Funções Lineares

Retas e Funções Lineares Capítulo 1 Retas e Funções Lineares 1.1 A equação de uma reta Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma

Leia mais

= 2 sen(x) (cos(x) (b) (7 pontos) Pelo item anterior, temos as k desigualdades. sen 2 (2x) sen(4x) ( 3/2) 3

= 2 sen(x) (cos(x) (b) (7 pontos) Pelo item anterior, temos as k desigualdades. sen 2 (2x) sen(4x) ( 3/2) 3 Problema (a) (3 pontos) Sendo f(x) = sen 2 (x) sen(2x), uma função π-periódica, temos que f (x) = 2 sen(x) cos(x) sen(2x) + sen 2 (x) 2 cos(2x) = 2 sen(x) (cos(x) sen(2x) + sen(x) cos(2x) ) = 2 sen(x)

Leia mais

Gráco de funções de duas variáveis

Gráco de funções de duas variáveis UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 09 Assunto:Gráco de funções de duas variáveis, funções de três variáveis reais a valores reais, superfícies de nível,funções limitadas Palavras-chaves:

Leia mais

CÁLCULO I Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas

CÁLCULO I Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas de CÁLCULO I Aula n o 10: de, Velocidade, e Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará de 1 de 2 3 4 de de Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade

Leia mais

Noções de Cálculo Diferencial e Integral para Tecnólogos. João Carlos Vieira Sampaio Guillermo Antonio Lobos Villagra

Noções de Cálculo Diferencial e Integral para Tecnólogos. João Carlos Vieira Sampaio Guillermo Antonio Lobos Villagra Noções de Cálculo Diferencial e Integral para Tecnólogos João Carlos Vieira Sampaio Guillermo Antonio Lobos Villagra 9 de dezembro de 20 Sumário APRESENTAÇÃO 9 Funções e suas derivadas. Velocidade média

Leia mais

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica? X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões

Leia mais

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada. Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:

Leia mais

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade

Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Usando o estudo de ites apresentaremos o conceito de derivada de uma função real

Leia mais