Exercício 1 Dê o valor, caso exista, que a função deveria assumir no ponto dado para. em p = 9

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1 Exercícios - Limite e Continuidade-1 Exercício 1 Dê o valor, caso exista, que a função deveria assumir no ponto dado para ser contínua: (a) f(x) = x2 16 x 4 (b) f(x) = x3 x x em p = 4 em p = 0 (c) f(x) = x x em p = 0 x 2 81 (d) f(x) = x 9, x 9 10, x = 9 em p = 9 (e) f(x) = (f) f(x) = { x 2, x < 1 1 x 2, x > 1 em p = 1 x 5 x 5 em p = 5 Exercício 2 Demonstre, utilizando a definição, que: (b) (c) (11x + 5) = 6 x 1 x 8 3 = Exercício 4 Dê um exemplo de uma função definida em R, de maneira que seja contínua em todos os pontos de R excetos nos inteiros.

2 Exercício 6 Calcule os ites abaixo, justificando cada passagem: (a) x 17 3 x x 17 x 44 + x (b) x 0. x + x x 3 (c). x 4 5 x 1 Exercício 7 Determine L para que a função x 11, x 11 f(x) = x L x = 11 seja contínua em p = 11. Exercício 8 A função x 2 + 2x + 1, x 1 f(x) = x x = 1 é contínua em p = 1? E em p = 0? Justifique. Exercício 9 Calcule em cada um dos casos: h 0 f(x + h) f(x), h (a) f(x) = x (b) f(x) = 4x + 5.

3 Exercício 10 Calcule em cada um dos casos: x p f(x) f(p), x p (a) f(x) = 1 x (b) f(x) = 1 x 2 Exercício 12 Se f é contínua em 1 e f(1) = 4. Prove que existe r > 0 tal que para todo x D f, 1 r < x < 1 + r 7 2 < f(x) < 9 2.

4 Gabarito Exercício 1 (a) 8 (b) 1 (c) não existe (d) 18 (e) 1 (f) não existe Exercício 6 (a) (b) (c) 1 3 Exercício 7 2. Exercício 8 f é contínua em p = 0, mas não é contínua em p = 1. Exercício 9 (a) 2x (b) 4 Exercício 10 (a) 1 p 2 (b) 2 p 3

5 Lista Mínima de Exercícios - Limite e Continuidade-2 Exercício 1 Seja f : R R tal que Calcule x 1 f(x) e justifique. x 2 + 3x f(x) < x2 1 x 1, x 1. Exercício 3 Sejam f, g : R R tais que Calcule e justifique (a) x 0 x 5 g(x). (b) x 3 f(x) x [g(x)] 4 + [f(x)] 4 = 4, x R. Exercício 6 Dê um exemplo de uma função f de maneira que f(x) exista, mas x p f(x) não exista. x p

6 (c) Exercício 8 Seja f(x) = x 5 + x + 1. Mostre que f admite pelo menos uma raiz no intervalo [ 1, 0]. Exercício 9 Mostre que a equação admite pelo menos uma raiz real. x x 4 = 0 Exercício 13 Seja f uma função definida por (a) Determine o domínio de f. f(x) = 2x 3 x 2 + 3x. (b) Verifique que f é contínua em [0, + [. (c) Mostre ( ) que a única raiz de f em ]1, + [ é o número real 1, e que f(2) > 0 e 1 f < 0. 2

7 (d) Verifique ainda que f(x) > 0 em ]1, + [ e que f(x) < 0 em ]0, 1[. Exercício 14 (IME) Dada a função racional: f(x) = x3 + ax 2 + bx + c mx 2 + nx + p a, b, c, m, n, p Z e que: e sabendo que (a) f(2) = 0 (b) para x = 1 tem-se uma indeterminação do tipo 0 0 (c) f(x) = 6 x 1 (d) x = 1 é raiz do polinômio mx 2 + nx + p (e) f(3) = 1 f(4) Determine os coeficientes a, b, c, m, n, p. Exercício 1 ) 2 Gabarito Exercício 2 ) 0 Exercício 3 ) (a) 0 (b) 0

8 Exercício 1 Calcule: (a) x 0 tan 2x x 7x (b) x 0 6sen x cos x (c) π x x π 2 2 (d) π 4 x (e) x 2 tanπx x 2 cosx senx tanx 1 (f) x 0 1 cosx x 2 (g) x p tan(x p) x 2 p 2, p 0 Lista Mínima de Exercícios - Limite e Continuidade-3 Exercício 2 Calcule: (a) (b) x 3 x 3 + x 3 x 3 x 3 x 3 (c) x 3 x 3 x 3 (d) x 5 x 1 x 1 (e) x 3 + x 2 6x + 9 x 3

9 Exercício 3 Considere a função Calcule: h(x) = x, x 3 x 2 3, x < 3. (a) (b) h(x) h(3) x 3 x 3 h(x) h(3) x 3 + x 3 (c) x 3 h(x) h(3) x 3 (d) A função f(x) = h(x) h(3) x 3 é contínua em 3? Por quê? Exercício 4 É falsa ou verdadeira a seguinte afirmação x p x p f(x) = f(x) = f é contínua em p + Justifique. Exercício 5 Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2x 6 7x + 3 x + 4x 6 + x + 5 x x + x x + x + 7x x 5 + 6x + 1 x x x4 + 6x 1 3x2 + 4x + 1 x + 3 x x ( x ) + 2 x + 5

10 Exercício 8 Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) x x + x + 3 x 5 + 3x ( 3x x ) ( x + x ) x 2 3x + 2 x 1 + x 2 + x x + 4 x 0 + x 2 + x 3x 6 x 1 + x 2 + 4x 5 x 2 9 x 3 + x 2 6x + 9 7x 2 5 x x 2 x 0 + sen 2 x x 4 x 3

11 Gabarito Exercício 1 (a) 2 (b) 7 6 (c) 1 2 (d) 2 (e) π (f) 1 2 (g) (h) 0 1 2p (i) cos(p) (j) sec 2 (p) Exercício 2 (a) 1 (b) 1 (c) não existe (d) 1 (e) 0 Exercício 3 (a) 2 (b) 1 (c) não existe (d) Não Exercício 4 É falsa.

12 Exercício 5 (a) 1 2 (b) 0 (c) (d) 3 (e) 0 (f) 0 Exercício 8 (a) 1 3 (b) + (c) 1 2 (d) + (e) + (f) (g) + (h) + (i)

13 Lista Mínima de Exercícios - Derivadas Exercício 3 Calcule f (x) pela definição, onde: (a) f(x) = 10x + 2 (b) f(x) = 1 x 3 Exercício 4 Seja g(x) = { x 2 + 2, x < 1 2x + 1, x 1. (a) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g (1); (b) Esboce o gráfico de g. Exercício 5 Seja f(x) = { x + 1, x < 1 x + 3, x 1. (a) Esboce o gráfico de f. (b) f é derivável em p = 1? Por quê? Exercício 6 Calcule f (x) sendo f dada por: (a) f(x) = 3 x 9 (b) f(x) = 4x 250 (c) f(x) = 7 x 3 Exercício 7 Determine a reta que é tangente ao gráfico de f(x) = x 4 e paralela à reta y = 4x+3.

14 Exercício 8 Seja r a reta tangente ao gráfico de f(x) = 1 x 2 que r intercepta o eixo 0x no ponto de abscissa 3p 2. no ponto de abscissa p. Verifique Exercício 9 Calcule f (x) sendo f dada por: (a) f(x) = 11 x (b) f(x) = π x (c) f(x) = log 7 x Exercício 10 Calcule f (x) sendo f dada por: (a) f(x) = sec x (b) f(x) = cotg x (c) f(x) = cosec x (d) f(x) = tan x Exercício 11 Calcule f (x) sendo f dada por: (a) f(x) = x (b) f(x) = cosx + senx x (c) f(x) = x4 + 2x x sen x (d) f(x) = x3 + sen x x 3 cosx 6 x 3 + 2x (e) f(x) = 5cossec x + cotg x + x 5 tg x (f) f(x) = log 3 (x) + 5x 2 ln x (g) f(x) = e x x 5 + 2x (h) f(x) = x + 4 x ln x (i) f(x) = x 3 cosx(3 + ln x + sen x) (j) f(x) = ( 3 x + x)e x cotg x

15 Exercício 14 (IME) Considere as seguintes funções: f(x) = a x, onde a > 1 e g(x) = 2p x, onde p > 0. Mostre que uma condição necessária e suficiente para que seus gráficos se tangenciam é: a = e p/e. Neste caso, determine, em função de p, a equação da tangente comum. Obs: Os gráficos de f e g se tangenciam em x o se, e somente se, f (x o ) = g (x o ) e f(x o ) = g(x o ). Gabarito Exercício 1 (a) 6; (b) 1 8. Exercício 2 (a) y = 6x 4; (b) x 2y + 4 = 0. Exercício 3 (a) 10; (b) 3 x. 4

16 Exercício 4 (a) 2. Exercício 5 (b) f não é derivável em x = 1. Exercício 6 (a) 27 x 10 ; (b) 1000x 249 ; (c) x 4. Exercício 7 y = 4x 3 Exercício 9 (a) 11 x ln 11; (b) π x ln π; (c) 1 x ln 7. Exercício 10 (a) tan x sec x. (b) cosec 2 x. (c) cosec x cotg x. (d) sec 2 x Exercício 11 (a) 1 2 x x (x 3 + 2x) ; 2 (b) (x2 + 1) 2 sen x + (x 1) 2 cosx (x 2 + 1) 2 ; (c) 3x2 sen x (x 3 + 2)cosx ; sen 2 x

17 (d) (x3 3x 2 ) cos x (x 3 + 3x 2 ) sen x 1 (x 3 cosx) 2 ; (e) cossec x(5cotg x + cosec x) + x 4 (5tan x + x + xtan 2 x); (f) x ln x + 5x; x ln x (g) ex (x 5 5x 4 + 2x 2) (x 5 + 2x) 2 ; 4 (h) (x 2 ln x) x + 4 x 2 ln 2 x ; (i) cos x(9x 2 + 3x 2 ln x) sen x(3x 3 + x 3 ln x) 3 2 x2 sen 2x x 3 cos2x; [ 1 (j) e x cotg x 3 3 x x + 3 x + x 3 xcotg x ] xcotg x) e x ( x + 3 x). Exercício 12 f (1) = 0 Exercício 13 f (0) = 0 Exercício 14 y = p e x + e 2

18 Lista Mínima de Exercícios - Derivadas de Ordem Superior Exercício 2 Esboce os gráficos de f, f e de f, onde { x f(x) = 2 + 3x, x 1 5x 1, x > 1 Exercício 3 Seja y = x + t, onde t = t(x) é uma função derivável. Calcule dy dx sabendo que x=1 dt dx = 4; x=1 se x = 1, então t = 2. Obs.: Note que t está sendo olhado como função de x. Exercício 4 Sendo y = e x cosx, mostre que E se x = cos (2t) e y = sen 2 t, então d2 y dx 2 = 0. t2 d 2 y dx 2dy + 2y = 0. 2 dx Exercício 5 Suponha que x = x(t) seja derivável até segunda ordem. Verifique que (a) d ( t 3 dx ) = 3t 2 dx dt dt dt + d2 x t3 dt ; 2 (b) d ( x 2 dx ) ( ) 2 dx = 2x + x 2 d2 x dt dt dt dt. 2

19 Exercício 8 Determine a derivada de ordem n, das seguintes funções: (a) f(x) = e x (b) f(x) = sen x Exercício Exercício 6 (a) da = 2ldl (b) (dl) 2 Exercício 7 (a) dv = 4πr 2 dr Exercício 8 (a) f n (x) = e x Exercício 9 f 2001 (0) = (b) Gabarito { ( 1) f n (x) = n/2 sen x, n é par ( 1) (n 1)/2 cos x, n é ímpar.

20 Lista Mínima de Exercícios - Regra da Cadeia e o Cálculo de Derivadas Exercício 1 Calcule a derivada de: (a) f(x) = 4 x 2 x + 2 (b) y = cos (sen x) (c) y = e tg2 x (d) y = ln(cossec x + cotg x) (e) f(x) = cosx sen 4 x (f) f(t) = te2sen t ln(3t + 1) (g) g(x) = e x3 ln(3 + x) (h) y = x 4 + e x (i) g(x) = (3 + tg x) x (j) y = (1 + x 2 ) e x (k) y = (2 + sec x) cos3x Exercício 2 Seja g : R R uma função diferenciável tal que g( 1) = 3 e g ( 1) = 5. Calcule f (0), sendo f dada por f(x) = e x g(4x 1). Exercício 3 Seja f : R R uma função derivável até 2 a ordem e g uma função definida por g(x) = f(e 2x ). Verifique que g (x) = 4e 2x [ f (e 2x ) + e 2x f (e 2x ) ]. 1

21 Exercício 5 Seja y = f(x) uma função diferenciável tal que, para todo x D f, o ponto (x, f(x)) é solução da equação xy 3 + 2xy 2 + x = 4. Se f(1) = 1. Calcule f (1). Exercício 6 Considere a função diferenciável g : R R tal que g(2) = 2 e g (2) = 2. Determine H (2), onde H é dada por H(x) = g(g(g(x))). Exercício 7 Determine a derivada segunda. (a) (sen x + 1) lnx (b) (cosx + sen x) n, onde n > 1 Exercícios Extras Exercício 1 Gabarito (a) 1 4 (x + 2)5 (x 2) 3 (b) (sen sen x)(cosx) (c) 2etg2 x senx cos 3 x 2

22 (d) cossec x (e) 1 sen 3 x 4cos2 x sen 5 x (f) e 2sen t ln 2 (3t + 1) [ 1 + 2tcost ln(3t + 1) 3t 3t + 1 e x3 (g) 3x 2 e x3 ln(3 + x) + 2(3 + x) x ] 1 (h) [4x x4 + e 3 + e x x 2 x ( ) (i) (3 + tan x) x ln(3 + tan x + xsec2 x 3 + tan x [ ] (j) (1 + x 2 ) e x e x ln(1 + x 2 ) + 2xe x 1 + x 2 (k) (2 + sec x) cos3x [ 3 sen 3x ln(2 + sec x) + Exercício 2 f (0) = 23. Exercício 5 f (1) = 4 7. Exercício 6 8. Exercício 7 ] ] cos 3x sec xtan x. 2 + sec x (a) Sendo f(x) = (sen x + [ 1) ln x. ] [ ] Temos f ln xcos x xcos x (sen x + 1) ln(sen x + 1) (x) = f (x) ln(sen x + 1) + +f(x) + [ sen x + 1 ] x 2 (sen x + 1) (cos x x ln xsen x)(sen x + 1) x ln xcos 2 x +f(x) x(sen x + 1) 2 (b) f (x) = n(n 1)(cosx + sen x) n 2 (cosx sen x) + n(cosx + sen x) n 1 ( cosx sen x) Exercício 8 (a) x π 1 π + x xx (ln x + 1)lnx + x x 1 (b) 2x(5 + cos5x) x2 ln(5 + cos5x) 5x 2 sen 5x(5 + cos5x) x2 1 (c) (e x3 + sen x) tan x sec 2 x ln(e x3 + sen x + sec 2 x(e x3 + sen x)) 5x 1 (3x 2 e x3 + cosx) (d) 0 3

23 Lista Mínima de Exercícios - Funções definidas implicitamente, reta tangente Exercício 2 Calcule a derivada da função f(x) = ln cos x 1 + sen x. Exercício 3 Considere a equação y 2 + xy 1 = 0. (2) (a) Determine uma função que seja dada implicitamente pela equação (2). (b) Mostre que (2y + x) dy dx + y = 0. Exercício 4 A função y = f(x), y 0, é dada implicitamente pela equação (a) Determine f(x). x 2 + y 2 = 81. (b) Mostre que x + y dy dx = 0 para todo x D f. (c) Calcule dy dx. 1

24 Exercício 6 Determine uma reta que seja paralela à reta x + y = 1 e que seja tangente à curva x 2 + xy + y 2 = 3. Exercício 7 O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume V. Num determinado instante temos h = 6 cm e r = 2 cm e, neste mesmo instante, a altura esta variando a uma taxa de 0, 3 cm/s. A que taxa esta variando o raio neste instante? Exercício 8 (CAEN - 99) Supondo que y = f(x) seja uma função real derivável e que satisfaz a equação xy 2 + y + x = 1, podemos afirmar que: (a) f (x) = f(x) 2xf(x) 1 (b) f (x) = 1 [f(x)]2 2xf(x) + 1 (c) f (x) = [f(x)]2 2xf(x) + 1 (d) f (x) = 1 + [f(x)]2 2xf(x) + 1 (e) f (x) = 1 [f(x)]2 2xf(x) + 1 2

25 Gabarito Exercício 1 Exercício 2 Exercício x cos x (c) dy dx = x. 81 x 2 Exercício 5 (a) y = x + 3 (b) y = x + 3 Exercício 6 y + x = 2 ou y + x = 2. Exercício cm/s Exercício 8 B Exercício 9 C Exercício 10 E 3

26 Exercícios - Aplicações da Derivada Exercício 1 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 0x depende do tempo de acordo com a equação x = 2t 3 + 5t 2, t 0. (a) Estude o sinal da função velocidade v(t). (b) Estude o sinal da função aceleração a(t). (c) Calcule o ite t + ( 2t3 + 5t 2 ). (d) Esboce o gráfico da função x = 2t 3 + 5t 2, t 0, utilizando as informações obtidas nos itens anteriores. Exercício 2 A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 0x é x = e t cos t, t 0. (a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t. (b) Calcule o ite t + e t cos t. (c) Esboce o gráfico da função. (d) Interprete tal movimento. Exercício 3 Um ponto P move-se sobre a parábola y = 2x 2 3x. Suponha que as coordenadas x(t) e y(t) de P sejam deriváveis e que dx 0. Em que ponto da dt parábola a velocidade da ordenada y de P é o triplo da velocidade da abscissa x de P? Exercício 4 Um ponto desloca-se sobre a hipérbole xy = 4 de tal modo que a velocidade de y seja dy = β, com β constante. Mostre que a aceleração da dt abscissa x é d 2 x dt = β2 2 8 x3. 1

27 Exercício 5 Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O carro A está em uma das rodovias à uma distância de 0, 5 km da interseção das rodovias e se move a uma velocidade constante de 96 km/h. O carro B está na outra rodovia à uma distância de 1 km da interseção das rodovias e se move a uma velocidade constante de 120 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os dois carros? Dica: Use o Teorema de Pitágoras para encontrar a função distância entre os carros. Exercício 7 (CAEN - 99 adaptada) A equação do movimento de um projétil que se desloca ao longo do eixo x é x(t) = e (t π/4) sent + cotg 2 t, t > 0 tal que t kπ, k = 1, 2, 3,... A aceleração do projétil no instante t = π 4 é (a) 16 2 (b) (c) (d) (e) Exercício 1 a) v(t) 0 0 t 5 3 e v(t) < 0 t > 5 3. Gabarito (b) a(t) 0 0 t 5 6 e a(t) < 0 t > 5 6. (c). Exercício 2 (a) v(t) = e t cos t e a(t) = 2e t sen t 2

28 (b) 0 (d) Movimento oscilatório. Exercício 3 No ponto de abscissa x = 3 2. Exercício 5 150, 26 km/h. Exercício π cm/s. Exercício 7 A 3