Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x x = lim.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA GEA Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. Questão 1. Encontre o valor do ite, se existir. x 2 + 4x + 2 a (0.75 pt x 8x 2 2x + 1 ( x 2 + 4x + 2 x x + 2x x 8x 2 2x + 1 = 2 x x 2 (8 2x + 1x x = + 2 x 2 x 8 2 x + 1 x 2 = = 1 8 b (0.75 pt x π Podemos resolver de duas maneiras diferentes: Defina a função f(x = e sen x. Observe que f(π = e sen π = e 0 = 1 e assim o ite pode ser reescrito como e sen x e sen π = x π x π f(x f(π = = f (π x π Pela Regra da Cadeia, f (x = e sen x cos x f (π = e sen π cos π = 1 ( 1 = 1. Uma outra idéia é utilizar o ite fundamental, multiplicando e divindo por sen (x π:

2 = x π x π sen (x π sen (x π sen (x π = sen (x π x π = sen (x π 1 sen (x π x π Pela regra da subtração do seno: sen (x π = sen x cos π cos x sen π = sen x ( 1 cos x 0 = sen x. Portanto sen (x π = sen x = sen x Mediante a mudança de variável h = sen x, temos que h 0 quando x π e o ite pode ser reescrito como sen (x π = e h 1 = = 1 sen x h 0 h onde a última igualdade decorre da definição do número e. Questão 2. (1.5 pt Considere a função f(x = 3x 2 x 2 2x 2 + x 3, x < 1 ln(x cos, x > 1 Existe f(x? Se sim, determine seu valor. f(x existirá se existirem os ites laterais e eles coincidirem Calculando o ite pela esquerda f(x = f(x = f(x + 3x 2 x 2 2x 2 + x 3 : 2

3 Como 1 zera 3x 2 x 2, isto significa que 1 é raiz desse polinômio e, portanto, sabemos que o polinômio 3x 2 x 2 pode ser dividido por com resto zero. Efetuando a divisão de polinômios, obtemos que 3x 2 x 2 = ((3x + 2. Analogamente, 1 zera 2x 2 + x 3 e assim 2x 2 + x 3 pode ser dividido por com resto zero. Efetuando a divisão de polinômios, obtemos que 2x 2 + x 3 = ((2x x 2 x 2 f(x = 2x 2 + x 3 ((3x + 2 = ((2x + 3 = 3x + 2 2x + 3 = = 5 5 = 1 Calculando o ite pela direita ln(x cos Sabemos que 1 cos 1 para todo x 1 e multiplicando cada membro da desigualdade por ln(x ficamos com : ln(x ln(x cos ln(x Mostramos em sala que ln(x é diferenciável e que d dx ln(x = 1 x. Logo, segue que ln(x é diferenciável em x = 1 e, portanto, contínua em x = 1. Da contínuidade de ln(x em x = 1, segue que ln(x = ln(1 = 0 e + também que ln(x = ln(x = ln(1 = 0 = Pelo teorema do confronto, temos que f(x = ln(x cos = Como os ites laterais diferem, então o ite f(x não existe. Questão 3. (2.0 pt Seja f(x = { x 2, x 2 mx + b, x > 2 Ache os valores de m e b que faça f diferenciável em toda parte. 3

4 Primeiramente, observamos que à esquerda de x = 2, a função x 2 é polinomial e assim é diferenciável em todo canto. Analogamente, para valores de x à direita de x = 2 e quaisquer constantes m e b, mx + b é uma função polinomial e, portanto, diferenciável em todo canto. Dessa maneira, basta garantir que f seja diferenciável em x = 2. Para que f seja diferenciável em x = 2, é necessário que f (2 exista como um ite. Isto é, precisamos que os ites laterais existam e coincidam Segue que f f(x f(2 f(x f(2 f(x f(2 (2 = = = x 2 x 2 + x 2 e f (x f(x f(2 = = 2x, para todo x 2 x 2 f +(x f(x f(2 = = m, para todo x 2 + x 2 Assim, sendo f diferenciável, temos que f (2 = 2 2 = 4 = m = f +(2 e encontramos que m = 4. Além disso, sendo f diferenciável, então f é contínua e segue que f(x = Por fim, encontramos que f(x = x 2 = 2 2 = 4 f(x = + +(mx + b = b f(x = f(x 4 = 8 + b b = 4 + m = 4 b = 4 Questão 4. Diferencie a (1.0 pt f(x = ln tg sen x f (x = 1 tg sen x sec2 1 sen x 2 sen x cos x b (1.0 pt g(x = sen x 1 + cos(x

5 g (x = cos x [1 + cos (x4 + 1] sen x [ sen (x x 3 ] [1 + cot (x 4 + 1] 2 Questão 5. (2.0 pt Encontre uma parábola y = ax 2 + bx + c que passe pelo ponto (1, 4 e cujas retas tangentes em x = 1 e x = 5 tenham inclinações 6 e 2, respectivamente. Para que a parábola passe por (1, 4, temos que Além disso, y (x = 2ax + b 4 = a b 1 + c 4 = a + b + c (1 e y ( 1 = 6 2a ( 1 + b = 6 2a + b = 6 (2 y (5 = 2 2a 5 + b = 2 10a + b = 2 (3 Subtraindo (3 de (2 temos 12a = 8 a = 2 3. Substituindo a = 2 em (2 3 ( b = 6 b = = 18 4 = b = 14 3 Substituindo a = 2 3 e b = 14 em (1 3 4 = c 4 = + c 4 = 4 + c c = Por fim, a = 2 3, b = 14 3 e c = 0 Questão 6. (1.0 pt Encontre dy dx diferenciando implicitamente x 2 y 2 + ln xy = 2 5

6 2x y 2 + x 2 2y dy dx + 1 ( xy 1 y + x dy = 0 dx ( 2x 2 y + 1 dy y dx = 2xy2 1 x 1 x dy 2xy2 dx = 2x 2 y + 1 y 6