MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

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1 MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: ) ) ) 5) / ) ) 0 0) tg3) cossec6) ) ) ) 3 3 ) 6) 0 9) + sen 3 ) sen 2 7) ) 0 sen 3 ) cos 20) 2 3) ) 3 sen20) sen30) 3 cos 2 2) π 2 sen ) 4) ) 0 sensen2) ) 5) 0 + 8) 2) ) ) ) 24) ) sen 25) + sen ) ) ) 27) cos π 2 sen ) ) ) 30) 2 2 2) sen 2 4) ) + ) Resp.: ) 3/4 ; 2) /5 ; 3) /6 ; 4) 0 ; 5) /5 ; 6) 3 ; 7) 2 ; 8) ; 9) 2 ; 0) /2 ; ) /6 ; 2) ; 3) ; 4) /3 ; 5) ; 6) 0 ; 7) ; 8) ; 9) 0 ; 20) ; 2) + ; 22) /2 ; 23) 0 ; 24) /3 ; 25) ; 26) ; 27) 0 ; 28) ; 29) 3 ; 30) 32 2 ; 3) 4 7/2 ; 32) /2. 2. Seja f : R R tal que f ) f 2, para todo 3 ) R. Calcule. Resp.: Seja f : R R tal que f ) + sec 2 + 6, para todo R. Calcule 3 f ) e 0 )) f ) cos Resp.: 0 ; 0.

2 4. Sejam f, g : R R tais que sen f ) 3 e 0 g) + sen, para todo R. Calcule f ) g) + cos ) Resp.: Dê eemplos de funções f, g e h tais que f ) g) h), R e tais que eistam os ites f ) e g) mas não eista o ite g). Compare com o teorema do confronto Sejam c, L 3 + c + c R tais que 2 = L. Determine c e L. Resp.: c = ; L = 5/2. 7. Seja f : R R. f ) f ) a) Assumindo que 2 2 =, calcule 2. Resp.: 2. f ) b) Assumindo que = 0, calcule f ). 0 0 Resp.: 0. c) Assumindo que f ) 2 + = +, calcule f ). Resp.: A resolução abaio está incorreta. Assinale o erro e calcule corretamente) o ite: 2 + ) ) = 2 + ) = + }{{} 0 ) } {{ } 0 = 0) = Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a) Se f, g : R R são funções tais que f é itada, f é positiva e g) = +, então tem-se que f )g) ) = +. b) Se f, g : R R são funções tais que f é itada e g) = +, então tem-se que ) f ) + g) = +. Resp.: Verdadeira. c) Se f, g : R R são funções tais que 0. Dê eemplos de funções f e g tais que: f ) a) f ) = +, g) = + e g) = 0. f ) g) b) 0 f ) = +, 0 g) = + e 0 f ) g) ) =. ) f ) c) f ) g) = 0 e =. 0 0 g) f ) d) 0 g) = e ) f ) g) = Mostre que, se a f ) g) = +, então ) = e se g é itada, então f ) g) = 0. a ) f ) g) = +. 2

3 II. Funções Contínuas. Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique. sen 2 4) + 5, se > 2 a) f ) = , se = 3, se < 2 b) f ) = 3 2, se = 3 5, se = c) f ) = ) 2, se = d) f ) = + )[] senπ). 2 0, se = Obs.: [] denota o maior inteiro menor que ou igual a, definido por [] = ma{n Z : n }. Resp.: a) R ; b) R \ {3} ; c) R \ {} ; d) R. 2. Determine L para que a função dada seja contínua em R. sen 2 + 2) sen + 2), se = 0 a) f ) = L, se = 0 Resp.: a) cos 2 ; b) b) f ) = 2, se = 0 L, se = 0 3. Considere a função f : R R definida por ) 6, se = f ) =, se =. Verifique que + f ) = f ). Pergunta-se: f é contínua no ponto =? Por que? Resp. Não. 4. Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a) Se f : R R é tal que f é contínua em = 0, então f é contínua em = 0. b) Se f e g são funções descontínuas em = 0, então a função f g é descontínua em = 0. III. Derivadas. Considere o gráfico de f dado abaio. Estabeleça, justificando, os pontos onde f não é derivável. Resp.: ; 4 ; 8 ;. 3

4 2. Associe os gráficos de cada função de a) a d) com os gráficos de suas respectivas derivadas de i) a iv). Resp.: a) e ii) ; b) e iv) ; c) e i) ; d) e iii). { a 2 + b + c, se < 3. Encontre constantes a, b e c tais que a função f ) = 2 seja derivável em R 5 + 6, se e f 0) = 0. Resp.: a = 3/2, b = 0 ; c = 7/2. 4. Verifique se f é contínua e derivável no ponto 0, sendo: a) f ) = 2 + ) cos, se = 0 3, se > 0 = 0 b) f ) = 0 = 0, se = 0, se 2 + sen, se > 0 4 c) f ) = , se < 0 0 = 0 d) f ) = 5 5,, se > 0 = 0, se = 0 4, se sen, se = 0 e) f ) = 0 = 0 f) f ) = 2 sen, se = 0 0, se = 0 0 = 0 0, se = 0 sen, se = 0 g) f ) = 0 = 0 obs: cos < sen <, para todo ] π, se = 0 2, π 2 [\{0}) sen 2 ), se = 0 h) f ) = = 0 0, se = 0 i) f ) = sen, 0 = 0 j) f ) = sen 5 ), 0 = 0 k) f ) = cos ), 0 = 0 Resp.: são contínuas em 0 : a), c), e), f), g), h), i), j), k) ; são deriváveis em 0 : f), g), j). 5. Calcule f ) para as funções f abaio: ) f ) = + 2) f ) = 23 + ) ) f ) = ) 00 4

5 4) f ) = sen 3 5 2) 5) f ) = 2 cos 4 + tg 2 + ) 2 6) f ) = 6 tg 2 + cossec 7) f ) = ) f ) = sec 2 + ) 9) f ) = 2 tg 3 2 ) sec + λ)4 0) f ) = sen cos ) f ) = 4 + λ 4 2) f ) = sen sen ) 3) f ) = 6) f ) = 3 sen 2 cos 2 ) 2 + ) 3 4) f ) = cotg ) 5) f ) = 2 sen 33 cos 7 6. Seja f : R R contínua em R tal que f ) 3 + 2, para todo R. A função f é derivável em 0? Resp.: Sim. 7. Seja f : R R derivável em a ] 0, + [. Calcule, em termos de f f ) f a) a), o ite:. a a Resp.: 2 a f a). 8. Analise as seguintes soluções para a questão abaio. Questão. Considere a função f ) =. Decida se f é derivável em = 0 e, em caso afirmativo, calcule f 0). Justifique suas afirmações. solução. f 0) = 0, pois f 0) = 0. solução 2. Como a função g) = não é derivável em = 0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em = 0. Logo f não é derivável em = 0. solução 3. Temos f ) = h)g), onde h) = e g) =. Assim: f 0) = h 0)g0) + h0)g 0); como g0) = 0 e h0) = 0 então f 0) = 0. { 2, se < 0 solução 4. Temos f ) = 2, se 0 f ) f 0) = 2 0 = = 0. Portanto Resp.: somente a solução 4 está correta. 9. Em que pontos f é derivável? f ) f 0) 2 0. Logo = = 0 e 0 + f ) f 0) 0 = 0, ou seja f 0) = 0. a) f ) = b) f ) = Resp.: a) em todos os pontos, b) em 0 = Seja f : R R derivável em = 0 tal que f 0) = f 0) = 0. Seja g : R R uma função itada e não derivável em = 0. Calcule a derivada de h) = f ) g) no ponto = 0. Resp.: 0.. Mostrar que a reta y = é tangente à curva y = Encontre o ponto de tangência. Resp: 3, 3). 2. Determine todos os pontos 0, y 0 ) sobre a curva y = tais que a tangente à curva em 0, y 0 ) seja paralela à reta 6 y + 5 = 0. Resp:, 3), y = ; 0, 7), y = ;, 9), y =

6 3. Seja f ) = 3 +. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto 0, 0). Resp.: y = 9 ; y = 4. Sejam f : R R uma função derivável até 2 a ordem e g : R R dada por g) = f + + sen 2). Calcule g ). Supondo f ) = 2, calcule g 0). Resp.: Seja f ) = 3. Calcule f ), para todo R. A função f é derivável no ponto 0 = 0? Justifique. Resp.: Não. 6. Sabe-se que f : R R é uma função derivável em R e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é + 2y = 6. Seja g : R R dada por g) = f ) ) 2. Determine g 0). Resp.:. 7. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a 2 a = 0) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 8. Seja y = f ) uma função dada implicitamente pela equação 2 = y 3 2 y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto, ). y =. IV. Diversos. Mostre que a função caracteristica dos racionais definida por {, se Q χ Q ) = 0, se Q é descontínua em todos os pontos da reta. racionais e irracionais Use que todo intervalo não-degenerado) contém números 2. Dê eemplo de uma função f que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função f seja contínua em todos os pontos da reta. 3. Mostre que a função R χ Q ) é contínua apenas em = Mostre que a função R 2 χ Q ) é derivável apenas em = 0. 6

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