INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0 Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física Primeira Lista de Eercícios - Professor: Aleandre Lymberopoulos. Calcule, quando eistirem, os limites abaio: a. lim d. lim / g. lim 0 sin 20 sin 30 j. lim 0 3 cos 2 sin( m. lim p. lim 2 0 s. lim 2 v. lim +. LIMITES DE FUNÇÕES b. lim 3 e. lim h. lim 0 sin(sin 2 k. lim π 2 cos π 2 sin n. lim sin w. lim sin y. lim β. lim + ɛ. lim + c. lim 2 f. lim + q. lim 3 3 r. lim + t. lim u. lim z. lim cos ( sin + cos 4 sin ( γ. lim ζ. lim i. lim tan(3 cossec( l. lim 3 3 sin 3 ( ( sin o. lim 0. lim + sin ( δ. lim 2 2 sin( 3 cos ( ( 2 2 sin( 2 4 α. lim cos sin ( η. lim A resolução abaio está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente. ( lim 2 + = lim = lim + + }} 0 }} 0 = lim 0 = Sejam c, L 3 + c + c R tais que lim 2 = L. Determine c e L.

2 4. Seja f : R R uma função. f ( f ( a. Supondo que lim 2 2 =, calcule lim 2. f ( b. Supondo que lim = 0, calcule lim f (. 0 0 c. Supondo que lim + f ( 2 + = +, calcule lim + f (. 5. Decida se cada uma das afirmações abaio é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e positiva e lim g( = +, então + tem-se que lim f (g( = +. + b. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e lim g( = +, então tem-se que + lim f ( + g( = +. + c. Se f, g : R R sao funções tais que lim + 6. Dê eemplos de funções f e g tais que a. lim f ( = +, lim g( = + e lim b. lim f ( = +, lim g( = + e lim c. lim f ( g( = 0 e lim 0 d. lim + + f ( g( = ; f ( g( = e lim f ( g( = 0. 0 f ( g( = +, então lim f ( g( = +. + f ( g( = 0; f ( g( = ; f ( 7. Mostre que se lim = e g é limitada então lim f ( g( = 0. a g( a f ( 8. Seja f : R R uma função tal que f ( 2 para todo 3 R. Calcule lim Seja f : R R uma função tal ( que f ( sec Calcule lim f ( e lim f ( cos para todo R. 0. Sejam f, g : R R tais que sin f ( 3 e 0 g( + sin(, para todo R. Calcule lim 0 f (g( + cos.. Sejam C o círculo de raio e centro em (, 0 e C r o círculo de raio r, 0 < r < 2, e centro em (0, 0. Sejam ainda P r o ponto (0, r e Q r o ponto de interseção dos círculos C e C r situado no primeiro quadrante. Se L r é a interseção da reta P r Q r com o eio O, o que acontecerá com L r, quando C r encolher arbitrariamente? 2. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. Determine, se eistir, o valor de L R para que cada uma das funções abaio sejam contínuas. sin( sin( + 2, se = 0, a. f ( = L, se = b. f ( = 2, se = 0 L, se = 0. MAT 0 (205 2 de 6

3 2. Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaio. sin( , se > 2 a. f ( = , se = 3, se < 2 b. f ( = 3 2, se = 3. 5, = 2. c. f ( = + ( 0, se é irracional e 0 < <, sin(π d. f ( = 2 q, se = p q, com mdc(p, q =. Obs.: é o maior inteiro menor ou igual a. 3. Seja I R um intervalo. Mostre que se f : I R é continua e bijetora, então sua inversa também é contínua. O que acontece se I não é um intervalo? 4. Construa uma função f : R R que é contínua em um único ponto. 5. Construa uma função f : R R que é contínua somente em dois pontos. 3. DERIVADAS f (, se a,. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h( = g(, se < a. Mostre que h é derivável em a se e somente se f (a = g(a e f (a = g (a. Construa contraeemplos removendo uma das condições de cada vez. 2. Verifique se cada uma das funções abaio é contínua e se é derivável no ponto 0 indicado. a. f ( = 0; c. f ( = ( 2 + cos (, se = 0 0, se = 0 2 sin (, se = 0 0, se = 0, 0 = b. f ( =, 0 = 0; d. f ( = 3. Construa uma função f : R R derivável num único ponto. sin (, se = 0 0, se = 0 sin, se = 0, se = 0, 0 = 0., 0 = 0; tan(3 + 2 tan 9 4. Calcule lim Calcule f (0, sendo f ( = g( sin (, se = 0 0, se = 0 e g(0 = g (0 = Eplicite as derivadas de a. f ( = tan ; b. f ( = cot ; c. f ( = sec ; d. f ( = cosec 7. Derive: a. f ( = b. f ( = ( c. f ( = sin ( d. f ( = 2 cos ( 4 + tan 2 ( + 2 e. f ( = sec(tan f. f ( = (sin (cos g. f ( = ( + a5 5 b 5 h. f ( = sen ( sen i. f ( = cot( MAT 0 (205 3 de 6

4 8. Seja f : R R tal que f ( 3 + 2, para todo R. Mostre que f é derivável em 0 = 0. f ( f (a 9. Sabendo-se que f : R R é derivável em a ]0, + [, calcule lim a a de f (a. em termos 0. Considere a função f ( =. Decida se f é derivável em 0 = 0 e calcule f (0 em caso afirmativo.. Decida em que pontos as funções a seguire são deriváveis. a. f ( = ; b. f ( = Sejam f : R R derivável em 0 = 0 tal que f (0 = f (0 = 0 e g : R R uma função limitada (não necessariamente derivável em X 0 = 0. A função h( = f (g( é derivável em 0 = 0? Eiba h (0 em caso afirmativo. 3. Responda, justificando: a. Se f + g é derivável em 0, é verdade que necessariamente que f e g também são deriváveis em 0? b. Se f g é derivável em 0, quais condições sobre f garantem diferenciabilidade de g em 0? 4. Prove que: a. Se f é derivável em 0 então f ( é derivável em 0, desde que f ( 0 = 0. Dê contraeemplo no caso em que f ( 0 = 0. b. Se f, g são duas funções deriváveis em 0 então as funções h ( = ma f (, g(} e h 2 ( = min f (, g(} são deriváveis em 0, desde que f ( 0 = g( 0. Dê contraeemplo no caso em que f ( 0 = g( Encontre uma função g( tal que g ( = f ( quando a. f ( = a n n + a n n a + a 0. b. f ( = b 2 + b b 3 k. k c. Ache mais uma g para cada um dos itens acima. d. Eiste alguma função da forma f ( = a n n + a n n a + a 0 + b + b b b k k tal que f ( =? Justifique. 6. Dizemos que 0 é uma raiz dupla de uma função polinomial f se f ( = ( 0 2 g(, para alguma outra função polinomial g. a. Mostre que 0 é raiz dupla de f se e somente se 0 é raiz tanto de f quanto de f. b. Quando f ( = a 2 + b + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente. 7. Seja f uma função derivável em 0 e considere a função d( = f ( f (a( a f (a. Calcule d(a e d (a. 8. Suponha que f ( = g(, onde g é uma função contínua em 0 = 0. Mostre que f é derivável em 0 = 0 e calcule f (0 em termos de g. 9. Suponha que f é uma função derivável em 0 = 0 e que f (0 = 0. Mostre que f ( = g( para alguma função g que é contínua em 0 = 0. Dica. O que acontece se você tentar escrever g( = f (? 20. Prove que é impossível escrever = f (g( com f, g deriváveis tais que f (0 = g(0 = 0. Dica. Que tal derivar? MAT 0 (205 4 de 6

5 2. Interprete geometricamente os resultados obtidos no eercício Determine todos os pontos ( 0, y 0 sobre a curva y = tais que a tangente à curva em ( 0, y 0 seja paralela à reta 6 y + 5 = Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a 2, (a = 0 tem como interseção um ponto que esta numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 24. Seja y = f ( uma função dada implicitamente pela equação 2 = y 3 (2 y. Admitindo que f é derivável, determine a reta tangente ao grafico de f no ponto (,. 25. Seja f : I R derivável, onde I é um intervalo aberto contendo =. Suponha que f 3 ( f 2 ( + f ( = 2, para todo I. Encontre f ( e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f (. 4. TAXAS RELACIONADAS. Um objeto circular varia de tamanho de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando seu raio é 6m, a taa de variação deste é 4m/s. Determine a taa de variação da área do objeto no instante em que seu raio é 6m. 2. Suponha agora que o objeto circular do eercício é, na verdade, uma seção de um objeto esférico. Determine a taa de variação do volume do objeto e de sua área, quando no instante em que o raio é 6m. Dica. Você pode epressar o volume em termos do raio da esfera, ou então a partir da área 3. A área entre dois círculos concêntricos variáveis é constante igual a 9πm 2. A taa de variação da área do círculo maior é de 0πm 2 /s. Qual a taa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 6π? 4. A partícula A se move ao longo do semi-eio positivo O e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função f ( = 3, 0. Num certo instante, a partícula A está no ponto (5, 0 e move-se a com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem é 3 unidades, movendo-se com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taa de variação da distância entre A e B nesse instante? 5. Num certo instante t 0, a altura de um triangulo cresce à razão cm/min e sua área aumenta à razão de 2cm 2 /min. No instante t 0, sabendo que sua altura á 0cm e sua área é 00cm 2, qual a taa de variação em relação ao tempo da base do triângulo? 6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de.2m, a taa de variação com que a areia é despejada é de 0, 08m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? 7. Uma lâmpada está acesa no solo a 5m de um edifício. Um homem de.8m de altura anda a partir da luz em direcão ao edifício a.2m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele esta a 2m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. 8. Num motor à combustão, um bastão de 7cm tem uma de suas etremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3cm. Na outra etremidade do bastão está um pistão que se move quando a manivela gira. Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taa constante de 200 rotacões por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é π/3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco. MAT 0 (205 5 de 6

6 9. Uma escada de 25m está encostada na parede de uma casa e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7m da parede e sua velocidade é de 2m/s. a. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante? b. Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7m da parede. c. Calcule a taa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7m da parede. 0. Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro 2m e comprimento 3m. A figura a representa uma seçãoo transversal do tanque no instante t. O ângulo θ varia de zero (tanque vazio a π (tanque cheio. No instante em que a altura h do líquido é de 0.5m, a vazão é de 0.9m 3 /min. Determine a taa de variação do ângulo θ nesse instante. Determine também a taa de variação da altura h do neste mesmo instante.. Num filtro com formato de cone, como na figura b, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8cm, a altura h do líquido da parte superior é 0cm e h está diminuindo a uma taa de variação instantânea de 2cm/min. Calcule a taa de variacão de H em relação ao tempo nesse instante. 0cm 30cm r h θ(t h(t H 30cm R (A Tanque 0cm (B Filtro FIGURA. Figuras para as questões 0 e. 5. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f, também seja derivável. Mostre que ( f ( = f ( f (. 2. Calcule a derivada das seguintes funções: a. f ( = arctan(; b. f ( = arcsin(; c. f ( = arccos(. 3. Derive: a. f ( = cos ( arctan( ; b. f ( = tan(3 arctan(3 ; c. f ( = 2 arcsin(;. MAT 0 (205 6 de 6