Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba epartamento Acadêmico de Matemática Prof: Lauro César Galvão Cálculo II Entrega: junto com a a parcial ATA E ENTREGA: dia da a PROVA (em sala de aula) Atividades Práticas Supervisionadas (APS) (EXERCÍCIOS: 0% da a parcial) Conteúdo: erivadas, Integrais uplas e Triplas. Imprimir esta lista FRENTE/VERSO. Entregar os eercícios com preenchimento manual. Escrever de forma clara e objetiva. e preferencia, utilizar lapis ou lapiseira. Aluno:... Número:... Turma:... Curitiba PARANÁ

2 a APS Cálculo II erivadas 1. f (, ) Considerando a função f (, ) calcule o que se pede:. f (, ) 4. f (,1) 4. f (,1) 4 5. Encontre f se f (, ) sin( ). (u v ) sin() cos( ).

3 a APS Cálculo II 6. Encontre f e f se f (, ). cos 6- f sin e ( cos ) f cos ( cos ) 7. Encontre f e f se f (, ) tan w. f 1 sec (tan ) e f tan ln(tan )

4 a APS Cálculo II 8. Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções: (a) f (, ) 1 6- (b) f (, ) f (, ) 1 e f (, ) 1 (c) f (, ) e / f (, ) ( ) e f (, ) ( ) (d) f (, ) tan ( ) / f e (, ) e f e (, ) / f (, ) [ sec ( )]( ) e f (, ) [ sec ( )]( ).

5 a APS Cálculo II ada a função f (, ) e f (a) (, ), calcule: f (b) (, ) f (, ) 8 e f (, ) 7 e (c) Verifique a igualdade seguinte: f f. f f =18 e

6 a APS Cálculo II 10. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 5t 10t h T t, h 10, então calcule: (a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante t 1 horas, num ponto de altitude h0 100 metros? (b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante t 1 horas, num ponto de altitude h0 100 metros?

7 a APS Cálculo II 11. e acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a fórmula: P V k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 cm e a temperatura seja 90 0 e k 8. (a) Encontre a taa de variação instantânea de P por unidade de variação em T, se V permanecer fio em P Logo, quando T 90 e V 100, 0,08 é a resposta desejada. T (b) Use o resultado de (a) para aproimar a variação de pressão se a temperatura aumentar para 9 0 C. 0,16 N / m (c) Encontre a taa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fio em V 15 = P 9 (d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar a variação aproimada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b). 9 0

8 a APS Cálculo II O volume V de um cone circular é dado por V 4 4s, onde s é o comprimento da geratriz e o diâmetro da base. (a) Encontre a taa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor 16, enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taa de variação no instante em que s 10 cm. V 0 cm / cm s 9 (b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de s 10 cm. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taa de variação do volume em relação ao diâmetro quando 16 cm. V 16 cm / cm 9 Nos eercícios a seguir, verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem, isto é, ( 0, 0 ) (0,0). 1. f (, ). Logo, f não é diferenciável na origem.

9 a APS Cálculo II, se (, ) ( 0, 0) 14. f (, ). 0, se (, ) ( 0, 0) 6-8 Logo, f não é diferenciável na origem. etermine, se eistir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados. 15. w + nos pontos: a) P 1 (0,0,0); b) P (1,1,).

10 a APS Cálculo II w nos pontos: a) P 1 (0,0,0); b) P (1,1, ). 17. ada a função w +. a) etermine uma aproimação para o acréscimo da variável dependente quando (, ) passa de (1,1) para (1,001;1,0). w 0,01. b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). w 0,0181 c) Calcular o erro obtido da aproimação de dw como w. 18. Calcule a diferencial total da função: w z e. 0,00081 dw ( z z e ) d ( z z e ) d e z dz

11 a APS Cálculo II Nos itens a) e b), calcule o valor aproimado para a variação da área na figura quando os lados são modificados de: a) 4cm e cm para 4,01cm e,001cm, num retângulo; 4 b) cm e 1cm para,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo. 0,04cm. 1 0,495cm. 0. Calcular o valor aproimado de (1,001),0. (1,001),0 1,00.

12 a APS Cálculo II 1. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de 0, pol em cada medida, respectivamente, 1 pol e 8 pol. Qual é, aproimadamente, o máimo erro possível no cálculo do volume? 6-11 H dv 16,8 pol 1. ada a superfície z, se no ponto 4,, e são acrescidos de, qual é 10 a variação aproimada de z? z 0,01075

13 a APS Cálculo II. As dimensões de uma caia são 10 cm, 1 cm e 15 cm. Essas medidas têm um possível erro de 0,0 cm. Encontre, aproimadamente, o máimo erro no cálculo do volume. 6-1 z Logo: V 9 cm. 4. A altura de um cone circular é de h 100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg. O raio da base é de r 50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg. Com que velocidade está variando o volume, quando h 100 pol e r 50 pol? h r Portanto, o volume cresce à taa de 6180 pol / seg no dado instante

14 a APS Cálculo II 5. Use a lei do gás ideal com k 10 para encontrar a taa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é 10 cm e o gás está sob uma pressão de 8 din / cm, se o volume cresce à taa de cm / seg e a pressão decresce à taa de 0,1 din / cm ( din, unidade de força) por segundo. 6-1 A temperatura cresce à taa de 0,4 graus por segundo no dado instante. 6. Sabendo que z f (, ) é definida por 4 z z 5, determine z z e. z 4 z 1 e z ( ) z 1 4

15 a APS Cálculo II 7. Quais as dimensões de uma caia retangular sem tampa com volume 4 m e com a menor área de superfície possível? z 6-14 (,, z ) (,,1).

16 a APS Cálculo II Integrais uplas e Triplas 8. Seja a região delimitada pelos gráficos das equações, 18 e 0. Se f é uma função contínua arbitrária em, epresse a integral dupla f (, )da em termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema. (a) Teorema 1 1 (6,0) (9,) 18 (b) Teorema (6,0) (9,) Calcular I 9. e dd, onde é a região do plano delimitada entre 4 e Região : 4 9 Região : 0 r r r

17 a APS Cálculo II e 4 e 0. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z 4, inferiormente pela região delimitada por, 0, 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de. z 4 (0,, ) 1 7 (,0,) 1 1 (,1,1) 15 V unidades de volume. 4

18 a APS Cálculo II 1. Calcular a área da região delimitada por 1 e. Calcular pelas duas formas: a) (Teorema 1) b) (Teorema ) 1 Por (7), A da u.a. (unidades de área)

19 a APS Cálculo II. Calcular I T dv, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro 5, pelo z 8 e pelo plano. z T 5 z0 z I 4

20 a APS Cálculo II. Calcular I T 7-19 ( )dv, onde T é a região delimitada pelo plano, pelo parabolóide z e pelo cilindro a. z a T a a a z 0 A região T é limitada inferiormente por z 0 e superiormente por z que, em coordenadas cilíndricas, tem equação z r. Observação: Levando-se em conta que a região T se enquadra no caso (i), pode-se escrever a equação (1) representada pela (1). ' h ( r, ) h ( r, ) 1 f ( rcos, rsin, z)dz rdrd (1) Onde h 1 e h delimitam T inferior e superiormente. é a projeção de T sobre o plano descrita em coordenadas polares. a 6 I

21 a APS Cálculo II 4. Calcular I T e inferiormente pelo cone 7-0 zdv, onde T é a região limitada superiormente pela esfera z 16 z. T Esféra 4 Cone f 4 I

22 a APS Cálculo II 5. eterminar o centro de massa da chapa homogênea da figura abaio. a 7-1 R a a a a 19a (, ) 0, 15

23 a APS Cálculo II 7-6. Calcular a integral I e dd. 7. Calcular I I e sin da onde é a região delimitada por 0, e. 8 I

24 a APS Cálculo II 7-8. Calcular I da onde é o triângulo OAB da figura a seguir. 1 B A I 8

25 a APS Cálculo II 9. Usando coordenadas polares, escrever na forma de uma integral iterada, a integral I f (, ) dd onde é a região delimitada por a 0, a I 0 asin 0 f ( r cos, rsin ) r drd 40. Calcular I dd, sendo a região delimitada por a 0, a 0.

26 a APS Cálculo II 7-5 I Calcular I dd, sendo a região limitada pelas curvas:, 4, e I

27 a APS Cálculo II 4. Calcular I ( ) dd, sendo o paralelogramo limitado pelas retas: 0, 1, e

28 a APS Cálculo II Calcular I ) ( ) I ( dd, onde é a região delimitada pela circunferência ( ) ( ) 4. Obs.: Aconselha-se o uso de duas transformações: 1 a : u e v ; a : coordenadas polares.

29 a APS Cálculo II 7-8 I Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por z e pelo cilindro que contorna a região delimitada por e. z Sólido 1 1 Região V unidades de volume 60

30 a APS Cálculo II 45. Calcular o volume do sólido abaio do plano delimitado por z 9. z V 81

31 a APS Cálculo II 46. Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros 16 e z z V 18 unidades de volume

32 a APS Cálculo II 47. Calcular o volume do tetraedro dado na figura abaio. 7-1 z 1 V 1 unidade de volume

33 a APS Cálculo II 48. Calcule a área da região delimitada por, e A 4 unidades de área