Matemática para Engenharia I. Lista Derivadas. 2. Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição:

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1 Matemática para Engenharia I Lista Derivadas. Usando que ( ) ( ) encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto p(0,y 0 ). a) ( ) ( ) b) ( ), ( ) c) ( ), ( ) d) ( ), ( ( )) e) ( ), ( ) f) ( ), ( ( )) 2. Calcule a derivada das funções abaio nos pontos dados usando a definição: a) ( ) b) ( ) ) ( ) d) ( ) ; e) cos(); f) ( ) 3. calcule a derivada da função abaio definição, considerando c R, n,m N e b ] 0, + [- {}. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) e) ( ) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) k) ( ) l) ( ) m) ( ) n) ( ) o) ( ) p) ( ) q) ( ) r) ( ) 4. Usando as regras de derivação calcule a derivada das funções abaio: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) = + i) ( ) = j) ( ) ( ) k) ( ) ( ) l) ( ) m) ( ) = ( ) n) ( ) = ( ) o) ( ) p) ( ) = ( ) ( ) q) ( ) r) ( ) s) ( ) t) ( ) u) ( ) v) ( ) w) ( ) ) f() = ( ) ( ) y) ( ) z) f() =

2 2 5. Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto indicado. (a) f() = tg, = 5π 4 (b) f() = ( 2 ) e, P (2, 2e 2 ) (c) f() = +, P (, 0) 6. Nas funções f abaio, calcule f e f, se eistirem. (a) f() = (b) f() = 37 + (c) f() = (d) f() = (2 + 7)( 2 2) (e) f() = 3 + (f) f() = 5 2 ( + ) (g) f() = (h) f() = e 2 (i) f() = 2 e 2 (j) f() = sen( 2 + ) (k) f() = cos (2 ) (l) f() = e 2 sen( + ) (m) f() = ln( 2 + ) (n) f() = ln(e 2 ) (o) f() = cos (ln()) (p) f() = sen + cos sen cos (q) f() = tg cotg (r) f() = arcsen Derivada como taa de variação 7. O potencial eletrostático gerado por uma carga positiva de valor q é dada pela equação V = q 4π(r r 0 ), onde (r r 0 ) é a distância entre a carga q em r 0 e um ponto qualquer do espaço r (eceto em r = r 0 ). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor e colocada em r sente é proporcional à taa de variação do potencial em relação ao ponto r, i.e., F = e dv dr. a) Calcule a força que a carga q eerce sobre e em função de r. b) Se o potencial fosse dado por V = q e m(r r 0) (potencial de Yukawa), calcule a força 4π(r r 0 ) que a carga q eerceria sobre e em função de r. 8. Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela epressão r(t) = 3 3 t + 8 seguintes grandezas em t = 8: a) raio do balão r(t) para 0 t 0. Determine a taa de variação em relação ao tempo das

3 3 b) área da superfície do balão A(t) c) volume do balão V (t), onde a área da superfície do balão é dada por A = 4πr 2, e o volume do balão é V = 4 3 πr3. 9. A Lei de Boyle para os gases afirma que P V = c, onde P é a pressão, V o volume e c uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da epressão P (t) = (20 + 2t)g/cm 3 para 0 t 0. Se o volume em t = 0 é 45cm 3, determine: a) a constante c, b) a taa de variação do volume em função do tempo, c) a taa de variação do volume em t = Carregando um capacitor num circuito RC. Um circuito RC (figura acima) é caracterizado pela associação em série de uma fonte de tensão (bateria) ɛ, um resistor R e um capacitor C. A carga q no capacitor é dado em função do tempo por ( q(t) = Cɛ e t/rc). Uma vez que a corrente no circuito é definida como i(t) = dq(t), calcule a corrente elétrica dt em a) t = 0, b) t = e c) t = 0 se ɛ = 2V, C = F e R = 2Ω. d) A corrente no circuito aumenta ou diminui com o tempo? Qual a corrente no limite t? Obs. Os símbolos V, F e Ω são usados para designar as unidades de potencial eletrostático volt, capacitância Faraday e resistência elétrica ohm.

4 4 Derivação implícita. Supondo que cada equação abaio defina uma função implícita tal que y = f(), determine y. (a) y 2 = 0 (b) 4 3 2y 3 = (c) (y 2 9) 4 = ( ) 2 2. Em cada eercício abaio ache a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no ponto indicado: (a) y + 6 = 0 ; P ( 2, 8) (b) y = 5 ; P (, 3) Taas relacionadas 3. Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 3m/s, com que velocidade o topo da escada desliza parede abaio quando está a 3m do chão? 4. Quando duas resistências elétricas R e R 2 são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por R = +. Se R e R 2 aumentam à taa de 0, 0 Ω/s e 0, 02 Ω/s, respectivamente, R R 2 determine: a) a taa de variação de R em função do tempo, b) a taa de variação de R no instante em que R = 30 Ω e R 2 = 90 Ω. Linearização e diferenciais 5. Por meio de diferenciais, calcule a área de um anel de espessura t, i.e., um anel de raio interno r e raio eterno r + dr = r + t. Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproimada no lugar da eata?

5 5 6. (a) Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio eterno r + dr = r + t. (b) Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproimada no lugar da eata? (c) Suponha r = 20cm e t = cm e calcule o volume aproimado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio R é V = 4 3 πr3 ). 7. Use diferenciais para aproimar (Sugestão: faça y = f() = 3 com = 64 e =. Considere f( + ) f() + y). 8. Segundo a Teoria da Relatividade Especial, a energia de uma partícula que se move com velocidade v é dada por E(v 2 ) = mc 2 v 2 /c 2, onde c é a velocidade da luz e m sua massa. Se a velocidade v da partícula é muito pequena se comparada a c, i.e., v 2 c 2, podemos linearizar a epressão da energia e identificar que as primeira contribuições a E(v 2 ) são a energia de repouso E 0 e a energia cinética newtoniana E cin (v 2 ). Usando esse fato, determine E(v 2 ) para v 2 c 2. (Sugestão: faça = v 2 /c 2 e linearize a função f() = através da epressão f() f(0) + f (0) substituindo = = v 2 /c 2 ). Respostas. (a) y = 2 + (b) y = (c) y = (d) y = 3 2 (e)y = (f) y = (a) 0 (b) (c) 9 (d) 25 3 (e) 2 (f) 6

6 6 (a) 0 (b) (c) 2 (d) (e) n n (f) cos (g) sen (h) (i) ln 0 (j) (k) ln b 2 (l) 2 (m) 2 3 (n) n n+ (o) 2 3 /3 (p) m ( n m/n (q) e b h ) (r) lim b h 0 h 4. (a) 0 (b) (c) 2 (d) 3 4 (e) n n (f) c c (g) (h) π 5 6π 4 (i) (j) cos (k) sen (l) sec 2 (m) sec.tg (n) cot.cossec (o) cos + sen (p) 2sec 2 5sec.tg (q) (r) ln 0 (s) (t) e (u) ln b + e (v) e e ( ( + ) (w) ) () sen 2 + cos 2 ln ln (y) ln ( e ) e ( (z) cos + sen sen ) ln ln ln 5. (a) y = π 2 (b) y = (5 8)e 2 (c) y = ( + ) 2 6. (a) f () = 2 + 2, f () = 2 (b) f () = , f () = (c) f () = 2, f () = 4 3/2 (d) f () = , f () = (e) f () = (f) f () = ( + ) 2/3 3, f 2 () = 9( + ) 5/3 (3 + 2) 5[ 2 ( + )] 4/5, f () = 22 ( ) 25[ 2 ( + )] 9/5 (g) f () = ( + 2) 3/2, f () = ( + 2) 5/2 (h) f () = 2 3 e, f () = ( ) 4 (i) f () = 2(2 ) e e 2, f () = 2( ) 4 e 2 (j) f () = 2 cos( 2 + ), f () = 2[cos( 2 + ) 2 2 sen( 2 + )]

7 7 (k) f cos 2 () = 2 2sen 2, f () = 2 3 [( 24 ) cos sen 2 ] (l) f () = e 2 [cos( + ) + 2sen( + )], f () = e 2 [4 cos( + ) + (4 2 + )sen( + )] (m) f () = 2 2 +, f () = 2(2 ) ( 2 + ) 2 (n) f () = + 2, f () = 2 2 (o) f sen(ln ) () = (p) f 2 () = (q) f () = 4csc 2 2, (r) f () = 7. (a)f = 8. (a) 4 3 4, f () = [sen(ln ) cos(ln )] 2 4(cos + sen ) sen2, f () = (cos sen ) 3 f () = 8csc 4 (2) sen(4) 2 arcsen, f () = 2 2 ( 2 ) 3/2 qe 4π(r r 0 ) 2, (b) 6π (a) 900 g.cm (b) e m(r r0) (b)f = qe 4π(r r 0 ) 2 [ + m(r r 0)]. dv (t) dt (c) 36π = 450(0 + t) 2 (c) 2 cm 3 /s 0. (a) 6A (b) 3, 6A (c) 4, A (d) 0.. (a) y = 8 y (b) y = 22 6y 2 (c) y = (8 + 3)( ) 4y(y 2 9) 3 2. (a) y = (b) y = m/s 4. (a)r = R2 R 2 + R2 2 R (R + R 2 ) 2 = 0, 0 R R2 (R + R 2 ) 2 Ω/s (b) 44 Ω/s 6, Ω/s onde R = dr dt. 5. A 2πrt, erro= πt 2 6. (a) V 4πr 2 t, (b) erro= 4πrt 2 + 4π 3 t3, ( (c) V 600πcm 3, erro= ) π 8πcm , E(v 2 ) E 0 + E cin = mc 2 + mv2 2