LISTA Derivadas parciais. Diferenciabilidade. Plano tangente. Diferencial total.

Transcrição

1 Lista 3 Cálculo II -B Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática GMA - Departamento de Matemática Aplicada LISTA Derivadas parciais. Diferenciabilidade. Plano tangente. Diferencial total. Nos eercícios 1. a 8. determine as derivadas parciais da função dada. 1. f, ) = 3 + 3) ). f, ) = sen + ) + cos ) ) 3. f, ) = arcsen 4. f, ) = cos t dt 5. f, ) = e t 6. f,, ) = e e e dt 7. w = f,, ) = + ). 8. w = fr, s, v) = r + 3 s) cosv). 9. Mostre que se w = + + então w + w + w = + + ). 10. Calcule as derivadas parciais de f no ponto 3, π/4), onde f, ) = ln tan ). 11. Seja f, ) = 14. Calcule f f 1, 3) e 1, 3) e interprete geometricamente. 1. Dada a função = + e t dt, calcule 1, ) e 1, ). 13. Na figura 1) encontram-se os gráficos de três funções de duas variáveis: f, f/ e f/. Em c) está o gráfico de f. Identifique os outros dois gráficos. a) b) c) Figura 1: Os gráficos de f, f/ e f/ Mostre que no ponto 0, 0) a função f, ) = ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0) não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável. 15. Mostre que no ponto 0, 0) a função f, ) = ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0) não é contínua, não é diferenciável, porém tem derivadas parciais.

2 Lista 3 Cálculo II -B Mostre que no ponto 0, 0) a função f, ) = ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0) é contínua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável. 3 3) 17. Mostre que a função f, ) = + ;, ) 0, 0) é diferenciável. 0;, ) = 0, 0) Mostre que a função f, ) = ;, ) 0, 0) + é diferenciável. 0;, ) = 0, 0) 19. Determine o conjunto dos pontos onde f, ) = ;, ) 0, 0) + é diferenciável. 0;, ) = 0, 0) + ) 1 sen 0. Seja f, ) = ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0) a) Calcule f e f b) Mostre que f é derivável em R c) Mostre que f não é contínua. 1. A função f,, ) = + + é de classe C 1 em,, ) R 3? Justifique.. A função f,, ) = ln1 ) é de classe C 1 em,, ) D f? D f é o maior domínio possível de f contido no R 3 ). Justifique. 3. Diga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique as que forem verdadeiras e dê um contra-eemplo para as falsas. Assuma que f : R n R, n, o domínio D f é aberto e X 0 D f. a) Se f é contínua em X 0 então f é derivável em X 0. b) Se f é contínua em X 0 então f possui as derivadas parciais em X 0. c) Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é contínua em X 0. d) Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0. e) Se f é contínua e possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0. f) Se f é derivável em X 0 então f possui todas as derivadas parciais em X 0. g) Se f é derivável em X 0 então f é contínua em X 0. h) Se f é derivável em X 0 então todas as suas derivadas parciais são contínuas em X 0. i) Se f possui todas as derivadas parciais contínuas em X 0 então f é derivável em X 0. j) Se f não possui uma da derivadas parciais em X 0 então f não é derivável em X 0. k) f possui todas as derivadas parciais contínuas em X 0 f é derivável em X Se f, ) = arctan ), determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto, 1, f, 1)). 5. Seja f, ) = cos. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f contém a origem. 6. Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano = + 3 e tangente ao gráfico da função f, ) = +.

3 Lista 3 Cálculo II -B Seja = e. a) Calcule um valor aproimado para a variação em, quando se passa de = 1 e = 1 para = 1, 01 e = 1, 00. b) Calcule um valor aproimado para correspondente a = 1, 01 e = 1, Use uma função apropriada e calcule um valor aproimado para 0, 01) + 3, 98) +, 99). 9. A energia consumida em um resistor elétrico é dada por P = V. Se V = 100 volts e R = 10 ohms, R calcule o valor aproimado para a variação P, quando V decresce de 0, volts e R aumenta de 0, 01 ohms. 30. Em um setor circular, o ângulo central é 80 e o raio é 0 cm. Reduindo-se o ângulo de 1, qual deve ser o acréscimo no raio para que a área fique aproimadamente inalterada? Lembrete: área do setor circular = θr, θ em radianos. 31. Determine o erro relativo máimo aproimado) no cálculo do período T de um pêndulo simples, l através da fórmula T = π, sendo o erro relativo en l igual a 1 % e em g igual a 3 %. g EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3. A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula I = V R + L ω, em que I é a corrente, V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Calcule e interprete / R e / L. 33. Em um dia claro, a intensidade da lu solar às t horas após o nascente e à profundidade oceânica de metros, pode ser aproimada por I, t) = I 0 e k sen 3 π t/d), com I 0 a intensidade da lu solar ao meio-dia, D a quantidade horas do dia com lu solar e k uma constante positiva. Se I 0 = 1000, D = 1 e k = 0.10, calcule e interprete as derivadas parciais / t e / quando t = 6 horas e = 5 metros. 34. Quando um poluente tal como óido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C, ) em µ/m 3 ) do poluente em um ponto P situado a metros acima do chão e cuja projeção ortogonal sobre o chão está a quilômetros da base da chaminé pode ser representada por C, ) = a e b h) / + e b +h) / ) em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taa de emissão do poluente veja a figura). Suponha que C, ) = 00 e ) / + e ) / ). Calcule e interprete C/ e C/ no ponto P =, 5). 0 h P

4 Lista 3 Cálculo II -B RESPOSTAS DA LISTA 3 Com indicação ou resumo de algumas resoluções) { f = f = { f = cos + ) sen ). f = cos + ) + sen ) 3. f = 4 4, f = 4. f = cos, f = cos 5. f = e, f = e f = e e e, f = e+ e e ), f = 7. w = + ) ln + ) w = + ) 1, e + e e ) w = + ) 1 8. w r = cosv)r + 3s) cosv) 1 w s = 3 cosv)r + 3s) cosv) 1 w v = sen v) lnr + 3s)r + 3s) cosv) 9. Calculando as derivadas parciais, somando e simplificando, chega-se ao termo do lado direito da equação. 10. f, ) = 1 ; f 3, π/4) = 1/3; f, ) = tan sec ; f 3, π/4) = 11. f, ) = 14 ; f 1, 3) = 1 ; f, ) = 14 ; f 1, 3) = 3 Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1, 3), r no plano = 3. Como f 1, 3) < 0, o ângulo entre r e o semi-eio positivo O é maior que 90. Seja s a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1, 3), s no plano = 1. Como f 1, 3) < 0, o ângulo entre r e o semi-eio positivo O é maior que , ) = e + e ; 1, ) = e + e 5 ;, ) = e + ; 1, ) = 4e a) f/ b) f/ 14. lim f, ) definição f não é contínua em 0, 0) teorema f não é diferenciável em 0, 0). 0,0) f 0, 0) = 1 e f 0, 0). 15. lim f, ) definição f não é contínua em 0, 0) teorema f não é diferenciável em 0, 0). 0,0) f 0, 0) = 0 e f 0, 0) = lim f, ) = 0 = f0, 0) definição f é contínua em 0, 0). f 0, 0) = 1 e f 0, 0) = 0. 0,0) Verificando a diferenciabilidade de f em 0, 0): podemos aplicar o corolário de um teorema diferencíavel eistência das derivadas parciais), no cálculo do limite do erro da definição de diferenciabilidade, erroh, k) h + k = f0 + h, 0 + k) f0, 0) hf 0, 0) kf 9, 0) = h + k lim h,k) 0,0) hk h + k ) 3. hk erroh, k) corolário lim f não é diferenciável em 0, 0). h + k ) 3 h,k) 0,0) h + k erroh, k) 17. f 0, 0) = f 0, 0) = 0, lim h,k) 0,0) h + k = lim hk h 3 k 3) = 0 h,k) 0,0) h + k ) 3 corolário f é diferenciável em 0, 0). erroh, k) h Para, ) = 0, 0) : f 0, 0) = f 0, 0) = 0, lim h,k) 0,0) h + k = lim = 0 h,k) 0,0) h + k ) 3 corolário f é diferenciável em 0, 0). Para, ) 0, 0): f é diferenciável pois é quociente de funções diferenciáveis. 19. Diferenciável em R {0, 0)} pois, ) 0, 0), f é quociente de funções diferenciáveis e para, ) = 0, 0), lim f, ) definição f não é contínua em 0, 0) teorema f não é diferenciável em 0, 0). 0,0) 1 sen 0. a) f, ) = + + cos 1 ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0) 1 sen f, ) = + + cos 1 ;, ) 0, 0) + 0;, ) = 0, 0)

5 Lista 3 Cálculo II -B b), ) 0, 0), f é diferenciável, pois é quociente de funções diferenciáveis e para, ) = 0, 0), erroh, k) lim h,k) 0,0) h + k = lim h + k 1 sen h,k) 0,0) h + k = 0 corolário f é diferenciável em 0, 0). c) Tomando o limite de f, ) pela reta γt) = t, t), quando t 0, f t, t) oscila entre + e, logo lim f, ) definição f não é contínua em 0, 0).,) 0,0) 1. Não, pois f 0, 0, 0) ou f 0, 0, 0) ou f 0, 0, 0)) teorema f não é de classe C 1 em 0, 0, 0).. Sim, pois f é composta de funções de classe C a) Falsa. Contra-eemplo: f, ) = + ou eercício 16. ;, ) 0, 0) b) Falsa. Contra-eemplo: f, ) = + ou f, ) = + 0;, ) = 0, 0) c) Falsa. Contra-eemplo: função e ponto do eercício 15. d) Falsa. Contra-eemplo: funções e respectivos pontos dos eercícios 15 e 16. e) Falsa. Contra-eemplo: função e ponto do eercício 16. f) Verdadeira. É um teorema provado logo após a definição de diferenciabilidade. g) Verdadeira. É um teorema provado logo após a definição de diferenciabilidade. h) Falsa. Contra-eemplo: função e ponto do eercício 0. i) Verdadeira. É o teorema da condição suficiente para diferenciabilidade. j) Verdadeira. É a contra-recíproca do teorema: f derivável em X 0 f possui todas as derivadas parciais em X 0. k) Falsa. Vale a, que é o teorema da condição suficiente de diferenciabilidade, mas não vale a, conforme o iem h). 4. Plano tangente: = ) 1). Reta normal:,, ) =, 1, 0) + λ1,, 1), λ R. 5. A equação do plano tangente em 0, 0, f 0, 0 )), 0 0 é = 0 sen 0 + cos ) sen ) 0, que é satisfeita por,, ) = 0, 0, 0) = 3 + 3) ). 7. a) 0,06 b) 1,06 8. Sendo f,, ) = + +, então 0.01) ) +.99) = f , 4 0.0, ) 4, , 15 cm 31. % 3. R = RV, representa a taa da variação da corrente I em relação a variação da resistência R. R + L w) L = wlv, representa a taa da variação da corrente I em relação a variação da indutância L. R + L w) 3 5, 6) = 100e 0.5 e representa a taa de variação da intensidade de lu solar em relação à variação da profundidade no nível de profundidade 5 metros, após 6 horas do amanhecer. 5, 6) = 0 e representa a taa de variação da intensidade de lu solar em relação à variação do tempo t após 6 horas do amanhecer, no nível de profundidade 5 metros. C, 5) = e e 1.15) e representa a taa de variação da concentração do poluente em relação à variação da distância, quando = quilômetros e a altura é 5 metros. C, 5) =.5 e e 1.15) 0.87 e representa a taa de variação da concentração do poluente em relação à variação da altura, quando = quilômetros e a altura é 5 metros.