MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 a Lista de Exercícios

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1 MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Eercícios Seja f (, y) = + y + 4 e seja γ(t) = (t cos t, t sen t, t + 4), t 0. (a) Mostre que a imagem de γ está contida no gráfico de f. (b) Faça um esboço da imagem de γ.. Sejam g(, y) = ( ) + (y 3) + 1 e γ(t) = ( t, 3 + t, z(t)), t R. Sabendo que a imagem de γ está contida no gráfico de g, determine z(t). Determine uma equação para a reta tangente à imagem de γ no ponto (1, 4, 3). Esboce a imagem de γ. 3. Seja f (, y) = + 4y + y + 1. Seja γ : [0, π] R 3 dada por γ(t) = (sen t, cos t, z(t)). Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f, determine o vetor tangente à imagem de γ em γ( π 3 ). 4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: ( y ) (a) f (, y) = arctg (b) f (, y) = ln(1 + cos (y 3 )) 5. Dada a função f (, y) = ( + y ) 3 e sen ( y), ache (1, 0). Sugestão: Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação. 6. Verifique que a função u(, y) = ln + y é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = Sejam f e g funções de R em R, deriváveis até a ordem. (a) Mostre que u(, t) = f ( + ct) + g( ct) satisfaz a equação u t = c u. (b) Mostre que u(, y) = f ( + y) + yg( + y) é solução da equação u u + u = 0.

2 y 8. Seja f (, y) =, se (, y) = (0, 0); + y4 0, se (, y) = (0, 0). (a) Mostre que as derivadas parciais e (b) f é contínua em (0,0)? (c) f é diferenciável em (0,0)? 3 9. Seja f (, y) =, se (, y) = (0, 0); + y 0, se (, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é contínua em (0,0). (b) Calcule (0, 0) e (0, 0). (c) É f diferenciável em (0, 0)? eistem em todos os pontos. (d) São e contínuas em (0, 0)? ( ) ( 10. Considere f (, y) = + y 1 ) sen, se (, y) = (0, 0); + y 0, se (, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é diferenciável em (0, 0). (b) As derivadas parciais e são contínuas em (0, 0)? sen ( ( + y ) ) 11. Seja f (, y) = + y, se (, y) = (0, 0); 0, se (, y) = (0, 0). (a) Verifique que f é contínua em (0, 0). (b) Determine (, y), para todo (, y) R. (c) A função é contínua em (0, 0)? Justifique sua resposta. (d) A função f é diferenciável em (0, 0)? Justifique sua resposta.

3 y y 1. Seja f (, y) =, se (, y) = (0, 0); + y 0, se (, y) = (0, 0). (a) Verifique que (0, y) = y para todo y, e que (, 0) =, para todo. (b) Verifique que (0, 0) = 1 e que (0, 0) = Seja f (, y) = ( + y ) 3. Mostre que f é de classe C 1 em R. 14. Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: (a) f (, y) = y 3 (b) f (, y) = y (c) f (, y) = e 4 +y 4 (d) f (, y) = cos( + y ) 15. Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: (a) z = e +y, no ponto (0, 0, 1) (b) z = ln( + y), no ponto ( 1, 3, 0) (c) z = y, no ponto ( 3,, 5) (d) z = e ln y, no ponto (3, 1, 0) 16. Determine o plano que passa por (1, 1, ) e ( 1, 1, 1) e é tangente ao gráfico de f (, y) = y. Eiste mesmo só um? 17. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 5) e (0, 0, 6) e é tangente ao gráfico de g(, y) = 3 y. 18. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f (, y) = ln( + ky ) no ponto (, 1, f (, 1)) seja perpendicular ao plano 3 + z = Seja f :( R ) R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = f passam pela origem. y 0. Mostre que não eiste nenhuma função diferenciável f : R R cujo gradiente é dado por: f (, y) = ( y, y ), (, y) R. 1. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição u seguida de aplicação das regras de derivação parcial. (a) w = + y ; = t + u, y = tu. (b) w = ; = t cos u, y = t sen u. + y

4 . Sejam f : R R, diferenciável em R, com f (, ) = (a, 4) e g(t) = f (t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = Seja v(r, s) uma função de classe C em R e defina u(, t) = v( + ct, ct), onde c é constante. (a) Verifique que u tt (, t) c u (, t) = w( + ct, ct), onde w(r, s) = 4c v rs (r, s). (b) Mostre que se u(, t) é uma solução da equação u tt = c u então eistem funções F e G de R em R tais que u(, t) = F( + ct) + G( ct).[ ] [*Observação: O item (b) deste eercício foge do conteto desta lista, mas foi introduzido para completar o enunciado do resultado. Entretanto você pode resolver o item (b) com o conhecimento de cálculo que você tem! Reveja também o Eercício 7(a).] 4. Seja u = u(, y) função de classe C em R e defina v(r, θ) = u(r cos θ, r sen θ). Verifique que v r (r, θ) + 1 v r r (r, θ) + 1 v r (r, θ) = u(r cos θ, r sen θ), θ sendo u, por definição, dado por u = u + u yy. 5. Seja f = f (, y) função de classe C em R. Se u(s, t) = f (e s cos t, e s sen t), mostre que [ ] [ ] [ ( u ) ( ) ] u (es cos t, e s sen t) + (es cos t, e s sen t) = e s (s, t) + (s, t) s t e que [ f (es cos t, e s sen t) + (es cos t, e s sen t) = e s ] u s (s, t) + u (s, t). t

5 6. Seja f = f (, y) uma função de classe C e seja g : R R dada por (a) Determine g u v g(u, v) = u f (u v, u + v) em função das derivadas parciais de f. (b) Sabendo que 3 + 5y = z + 6 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto f (1, 4, f (1, 4)), (1, 4) = (1, 4) = 1 e (1, 4) = 1, calcule g (, 3). u v 7. Seja F(r, s) = G(e rs, r 3 cos(s)), onde G = G(, y) é uma função de classe C em R. (a) Calcule F (r, s) em função das derivadas parciais de G. r (b) Determine F G (1, 0) sabendo que r (t + 1, t + 1) = t t Se f (, y) = + 4y, ache o vetor gradiente f (, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto (, 1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 9. Seja r a reta tangente à curva 3 + 3y + y = 18 no ponto (1, ). Determine as retas que são tangentes à curva + y + y = 7 e paralelas à reta r. 30. Seja f : R R uma função diferenciável em R. Fiado um certo P = ( 0, y 0 ) R, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, y 0, f ( 0, y 0 ) ) tem equação + y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaio, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P: (a) γ(t) = ( 1t ) ( t 5 ), t ; (b)γ(t) = 5, t t ; (c) γ(t) = (t, t 3 + t). 31. Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,, f (0, ) ). Seja g(u, v) = u f ( sen (u v 3 ), u v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1, 1, g(1, 1) ) seja paralelo ao vetor (4,, a). 3. Seja f : R R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas γ(t) = (, t, t ) e µ(t) = (t, t, t 4 ) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (, 1).

6 33. O gradiente de f (, y) = + y 4 é tangente à imagem da curva γ(t) = (t, t) em um ponto P = γ(t 0 ) com t 0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto P. 34. Sabe-se que a curva γ(t) = (t + 1, t 3 + t + t) é uma curva de nível da função diferenciável f : R R, com f (γ(t)) =, t R. Admita que eistem pontos ( 0, y 0 ) Imγ com a propriedade de que o plano tangente ao gráfico de f em ( 0, y 0, ) é paralelo ao plano + y z = 0. Encontre esses pontos. 35. Ache a derivada direcional máima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a) f (, y) = e y + 3y, (1, 0); (b) f (, y) = ln( + y ), (1, ); 36. Seja f uma função diferenciável em R e considere os pontos A(1, 3), B(3, 4), C(, 4) e D(6, 15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AB/ AB é 3 5 e que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AC/ AC é 8. Encontre o vetor gradiente f (1, 3) e a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AD/ AD. 37. Mostre que f (, y) = 3 y é contínua em (0, 0) e tem todas as derivadas direcionais em (0, 0). É f diferenciável em (0, 0)? 38. Seja f uma função diferenciável em R tal que γ(t) = (t + 1, t ), t R é uma curva de nível de f. Sabendo que ( 1, 4) =, determine a derivada direcional de f no ponto ( 1, 4) e na direção e sentido do vetor u = (3/5, 4/5). 3 + y Seja f (, y) =, se (, y) = (0, 0); + y 0, se (, y) = (0, 0). (a) Calcule o gradiente de f no ponto (0, 0). (b) Mostre que d dt f ( γ(t) ) = f ( γ(t) ) γ (t) em t = 0, onde γ(t) = ( t, t). (c) Seja u = (m, n) um vetor unitário (isto é, m + n = 1). Use a definição de derivada direcional para calcular (0, 0). u (d) É f diferenciável em (0, 0)? Justifique.

7 40. Sabe-se que f : R ( R é diferenciável em R e que o gráfico de f contém as imagens de ambas curvas γ(t) = t, t, t ) ( e σ(u) = u + 1, u, u ), u = 0. Determine u ( ) ( ) 1 u, 1, onde u =,. 3 y 41. Seja f (, y) = 4, se (, y) = (0, 0); + y 0, se (, y) = (0, 0). Mostre que eistem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0, 0) e que (0, 0) = f (0, 0), u para todo vetor unitário u. É f diferenciável em (0, 0)? u 4. A curva de nível 1 da função diferenciável f : R R pode ser parametrizada por γ(t) = (t, t ), t R. A curva σ(u) = ( u, u 3, u 6 u 5 u 4 + 1), u R tem sua imagem contida no gráfico de f. (a) Determine o vetor tangente à curva σ no ponto (, 8, 1). (b) Determine o vetor tangente à curva γ no ponto (, 8). (c) Calcule o gradiente de f em (, 8). EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES Para resolver o eercício a seguir você vai precisar da Regra da Cadeia, do Teorema Fundamental do Cálculo e do seguinte resultado: Teorema: Seja f : R R uma função de classe C 1 e defina a função Φ : R R por b b Φ() = f (, t) dt. Então a função Φ é derivável e vale que Φ () = (, t) dt. a 1. Seja F : R R dada por F() = b() a() f (, t) dt sendo a, b : R R funções deriváveis e f : R R uma função de classe C 1. Mostre que F () =. Calcule F () para: (a) F() = (c) F() = 0 cosh cos b() a() (, t) dt + f (, b() ) b () f (, a() ) a () e t dt (b) F() = sen ( t ) dt 1 0 a + t dt

8 RESPOSTAS. z(t) = t + 1; X = (1, 4, 3) + λ( 1, 1, 4), λ R. 3. γ ( π 3 ) = ( 1, 3, 3 ) 4. (a) (, y) = y +y ; (, y) = +y (b) Não é contínua em (0,0). (c) Não é diferenciável em (0,0). 9. (b) (0, 0) = 1 e (0, 0) = 0. (c) Não. (d) Nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0, 0). 10. (b) Não { (b) y( +y ) cos(( +y )) ysen (( +y ) ) (, y) = se (, y) = (0, 0), ( +y ) 0 se (, y) = (0, 0). (c) Sim. (d) Sim. 14. (a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y =. (b) f não é diferenciável nos pontos da forma (a, 0) com a = 0. (c) f é diferenciável em R pois é de classe C 1 em R. (d) O mesmo que o item (c). 15. (a) z = 1; X = (0, 0, 1) + λ(0, 0, 1), λ R. (b) + y z 1 = 0; X = ( 1, 3, 0) + λ(, 1, 1), λ R. (c) 6 4y + z + 5 = 0; X = ( 3,, 5) + λ(6, 4, 1), λ R. (d) e 3 y z e 3 = 0; X = (3, 1, 0) + λ(0, e 3, 1), λ R y z 3 = 0 (sim, só um) y z + 6 = k = 8. a = 3 6. (b) 1 7.(a) F r = s e rs G + 6r e rs s cos s G + 9r4 cos s G + s ers G G + 6r cos s ; (b) f (, 1) = (4, 8) e a reta é + y 4 = X = (±1, ±) + λ(5, 4), λ R. ( 30. (c) 31. a = 4 3. (1, 4) 33. X = 14, ) 1 + λ( 1, 1), λ R. 34. (, 1) e (10/9, 7/7). 35. (a) ( 5, (1, ); (b), 15, 5 5). 36. f (1, 3) = (11, 7) e a derivada direcional pedida é 9/ f não é diferenciável em (0, 0) /5 39. (d) Não é f não é diferenciável em (0, 0) 4.(c) f (, 8) = (96, 1)