I. Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente

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1 1. MAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PARA ECONOMIA a LISTA DE EXERCÍCIOS I. Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: y ) a) f, y) = arctg b) f, y) = ln1 + cos y 3 )) ) Dada a função f, y) = + y ) 3 e sen y), ache 1, 0). Sugestão: Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação. 3) Verifique que a função u, y) = ln + y é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = 0. y 4) Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y4 0, se, y) = 0, 0). a) Mostre que as derivadas parciais e eistem em todos os pontos. b) f é contínua em 0,0)? c) f é diferenciável em 0,0)? 3 ) Seja f, y) = + y, se, y) = 0, 0); 0, se, y) = 0, 0). a) Mostre que f é contínua em 0,0). b) Calcule 0, 0) e 0, 0). c) É f diferenciável em 0, 0)? d) São e contínuas em 0, 0)? 6) Seja g, y) = y 4. Mostre que g é de classe C 1 em R. 7) Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: a) f, y) = y 3 b) f, y) = y c) f, y) = e 4 +y 4 d) f, y) = cos + y ) 8) Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: a) z = e +y, no ponto 0, 0, 1) b) z = e ln y ), no ponto 3,, 0) 9) Mostre que os gráficos das funções f, y) = + y e g, y) = y ) + se intersectam no ponto 3, 4, ) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto. 10) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos 0, 1, ) e 0, 0, 6) e é tangente ao gráfico de g, y) = 3 y. Eiste um só plano? 11) Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f, y) = ln + ky ) no ponto, 1, f, 1)) seja perpendicular ao plano 3 + z = 0. 1) Seja f : R ) R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = f passam pela origem. y 1

2 13) As superfícies abaio são os gráficos de uma função f : R R e de suas derivadas parciais. Identifique cada superfície e justifique sua resposta. a) b) e c) 14) A superfície abaio e a direita mostra o gráfico de uma função f : R R dada por y, se, y) 6= 0, 0); f, y) = + y 0, se, y) = 0, 0). A figura a esquerda mostra este mesmo gráfico e o gráfico do plano z = 0. a) verifique que f é contínua em 0, 0); b) verifique que as derivadas parciais 0, 0) e 0, 0) eistem e são nulas; c) verique que o plano z = 0 não é tangente ao gráfico de f em 0, 0, 0). II. Regra da Cadeia w w e pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de t u aplicação das regras de derivação parcial. a) w = + y ; = t + u, y = tu. b) w = ; = t cos u; y = t sen u. + y 1) Calcule MAT ) de 7

3 ) Sejam f : R R, diferenciável em R, com f, ) = a, 4) e gt) = f t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = ) Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,, f 0, ) ). Seja gu, v) = u f sen u v 3 ), u v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto 1, 1, g1, 1) ) seja paralelo ao vetor 4,, a). 4) Sejam f e g funções de R em R, deriváveis até a ordem. a) Mostre que u, t) = f + ct) + g ct) satisfaz a equação u t b) Mostre que u, y) = f + y) + yg + y) é solução da equação u u + u = 0. = c u. ) Seja u = u, y) função de classe C em R e defina vr, θ) = ur cos θ, r sen θ). Verifique que v r r, θ) + 1 v r r r, θ) + 1 v r r, θ) = ur cos θ, r sen θ), θ sendo u, por definição, dado por u = u + u yy. 6) Seja f = f, y) função de classe C em R. Se us, t) = f e s cos t, e s sen t), mostre que [ ] [ ] [ ) u ) ] u es cos t, e s sen t) + es cos t, e s sen t) = e s s, t) + s, t) s t e que [ f es cos t, e s sen t) + es cos t, e s sen t) = e s ] u s s, t) + u s, t). t 7) Seja f = f, y) uma função de classe C e seja g : R R dada por gu, v) = u f u v, u + v). Sabendo que 3 + y = z + 6 é uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1, 4, f 1, 4)), f 1, 4) = 1, 4) = 1 e 1, 4) = 1, calcule g, 3). u v 8) Seja Fr, s) = Ge rs, r 3 coss)), onde G = G, y) é uma função de classe C em R. Determine F G 1, 0) sabendo que r t + 1, t + 1) = t t + 3. III. Vetor Gradiente e suas aplicações 1) Se f, y) = + 4y, ache o vetor gradiente f, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto, 1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. ) Seja r a reta tangente à curva 3 + 3y + y = 18 no ponto 1, ). Determine as retas que são tangentes à curva + y + y = 7 e paralelas à reta r. MAT ) 3 de 7

4 3) Seja f : R R uma função diferenciável em R. Fiado um certo P = 0, y 0 ) R, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0, y 0, f 0, y 0 ) ) tem equação + y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaio, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P: a) γt) = 1t ) ) t, t ; b)γt) =, t t ; c) γt) = t, t 3 + t). 4) Considere uma função f : R R de classe C 1. Suponha que: i) a imagem da curva plana γt) = cotgt), sec t)), para t ]0, π/[, esteja contida numa curva de nível de f. ii) a imagem da curva no espaço σu) = 3 u, u + 1, u3 3 ) u + 1, com u > 0, esteja contida no gráfico de f. a) Determine f 1, ). b) Calcule 3 v 1, ), onde v = 1, ). c) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,, f 1, )). ) O gradiente de f, y) = + y 4 é tangente à imagem da curva γt) = t, t) em um ponto P = γt 0 ) com t 0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto P. 6) Sejam f : R R uma função diferenciável e γt) = t, t, t ), t R, uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto, 8). Sabendo que a reta r contém o ponto 1, 4), determine o vetor gradiente de f no ponto, 8) e a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto, 8, f, 8)). 7) Seja f : R R uma função diferenciável e seja π o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0, y 0, f 0, y 0 )) e seja γt) = t, t), t = 0 uma parametrização para a curva de nível 1 de f. Suponha que γt 0 ) = 0, y 0 para algum t 0. Determine uma equação para o plano π sabendo que ele contém os pontos 1, 1, 1 ) e 4, 1, ). 8) Mostre que f, y) = 3 y é contínua em 0, 0) e tem todas as derivadas direcionais em 0, 0). A função f é diferenciável em 0, 0)? 9) Ache a derivada direcional máima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f, y) = e y + 3y, 1, 0); b) f, y) = ln + y ), 1, ); 10) Determine todos os pontos de R nos quais a direção de maior variação da função f, y) = + y 4y é a do vetor 1, 1). 11) Seja f uma função diferenciável em R tal que γt) = t + 1, t ), t R é uma curva de nível de f. Sabendo que 1, 4) =, determine a derivada direcional de f no ponto 1, 4) e na 3 direção e sentido do vetor u =, 4 ). 1) Sabe-se que f : R R é diferenciável em R e que o gráfico de f contém as imagens de ambas curvas γt) = t, t, t ) e σu) = u + 1, u, u ), u = 0. Determine ) 1 u u, 1, onde ) u =,. MAT ) 4 de 7

5 IV. Polinômio de Taylor 1) Seja f, y) = ln + y). Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto 1, 1 ). Mostre que para todo, y) com + y > 1, ln + y) + y 1) < 1 + y 1). ) Sejam f, y) = 3 + y 3 + 4y e P 1, y) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto 1, 1). Mostre que para todo, y) R com 1 < 1 e y 1 < 1, f, y) P 1, y) < 1) + 6y 1). Usando P 1, y), calcule um valor aproimado para f 1, 001, 0, 99) e estime o erro cometido com essa aproimação. 3) Seja a função f, y) = 3 + y 3 3y + 8. a) Determine o polinômio de Taylor P 1, y) de ordem 1 de f, em torno do ponto 1, 1). b) Escreva a Fórmula de Taylor para o resto E 1, y) = f, y) P 1, y). c) Usando o ítem b), mostre que, para todo, y) R, com > 1/ e y > 1/, vale que E 1, y) 3 y). V. Mais Alguns Eemplos y 1) Considere f, y) =, se, y) = 0, 0); + y4 0, se, y) = 0, 0). a) Mostre que f é diferenciável em 0, 0). b) As derivadas parciais e são contínuas em 0, 0)? y 3 ) Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). a) Verifique que 0, y) = y para todo y, e que, 0) = 0, para todo. b) Verifique que 0, 0) = 0 e que 0, 0) = ) Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). a) Calcule o gradiente de f no ponto 0, 0). b) Mostre que d dt f γt) ) = f γt) ) γ t) em t = 0, onde γt) = t, t). c) Seja u = m, n) um vetor unitário isto é, m + n = 1). Use a definição de derivada direcional para calcular 0, 0). u d) É f diferenciável em 0, 0)? Justifique. MAT ) de 7

6 3 y 4) Seja f, y) = 4, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). Mostre que eistem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto 0, 0) e que 0, 0) = f 0, 0), u para todo vetor unitário u. A f é diferenciável em 0, 0)? u Respostas Parte I. I.1) a), y) = y + y ; e, y) = + y ; b), y) = y3 sen y 3 ) 1 + cos y 3 e ), y) = 3y sen y 3 ) 1 + cos y 3. ) I.) I.4) b) Não é contínua em 0,0) c) Não é diferenciável em 0,0). I.) b) 0, 0) = 1 e 0, 0) = 0. c) Não. d) Nenhuma das derivadas parciais é contínua em 0, 0). I.7) a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y =. b) f não é diferenciável nos pontos da forma a, 0) com a = 0. c) f é diferenciável em R pois é de classe C 1 em R. d) O mesmo que o item c). I.8) a) z = 1 e a reta X = 0, 0, 1) + λ0, 0, 1), λ R. d) e 3 y z e 3 = 0 e a reta X = 3,, 0) + λ0, e 3, ), λ R. I.10) 6 y z + 6 = 0 sim, só um) I.11) k = 8 Respostas Parte II II.) a = 3 II.3) a = 4 II.7) 1 II.8) F r = s e rs G + 6r e rs s cos s G + 9r4 cos s G + s ers G G + 6r cos s ; 0. Respostas Parte III. III.1) f, 1) = 4, 8) e a reta é + y 4 = 0. III.) 4 1) + y ) = 0 e 4 + 1) + y + ) = 0. III.3) c) III.4) a) f 1, ) = 1, 1 ) ; b) + 3 e c) + y z = III.) X = 4, 1 ) + λ 1, 1), λ R. III.6) f, 8) = 1, 1) e 1 y z = 1 III.7) + y z = 1 III.8) f não é diferenciável em 0, 0). III.9) a) e 1, ); b) III.10) Em todos os pontos da reta y + 1 = 0. III.11) 4 e III.1) 3 1, ). MAT ) 6 de 7

7 Respostas Parte IV IV.) P 1, y) = 3 + 7y ; f 1, 001; 0, 99) = 4, 931 ; O erro é de IV.3) a) P 1, y) = 7; Respostas Parte V V.1) A não é contínua em 0,0), mas a o é. b) E 1, y) = 3 c 1) 1)y 1) + dy 1) ), para algum ponto c, d) interno ao segmento que une, y) a 1, 1). V.3) a) f 0, 0) = 1, 0) c) u 0, 0) = m d) f não é diferenciável em 0, 0). V.4) f não é diferenciável em 0, 0). Bibliografia - 1) James Stewart; Cálculo, vol., cap. 10.1, 10., 10., 1.1, 1., 1.3, 1., 1.6, 13 e 14. ) Hamilton L. Guidorizzi; Um Curso de Cálculo, vol. cap Avaliação - A média final MF1) será a média de 3 provas: P1, P e P3. Haverá uma prova substitutiva SUB) apenas para quem deiar de fazer uma das provas P1, P, ou P3. MF1 e frequência 70% indica aprovação, 3 MF1 < e frequência 70% dará direito a uma prova de recuperação REC), MF1 < 3 ou frequência < 70% indica reprovação. Àqueles que fizerem a REC terão uma segunda média final MF) que será a média de MF1 e REC. MF indica aprovação e MF < indica reprovação. Prova Data P1 13/09/17 P 3/10/17 P3 9/11/17 SUB 04/1/17 Fechada REC a ser marcada MAT ) 7 de 7