UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ. Observação: Faça os exercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27

Transcrição

1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 3a Lista de Eercícios - Limites Prof. Wellington D. Previero Observação: Faça os eercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, Eplique com suas palavras o significado da equação f() = 5 É possível, diante da equação anterior, que f(2) = 7? Eplique. 2. Eplique o que significa para você dizer que f() = 3 e + f() = 7 Nessa situação é possível que f() eista? Eplique. 3. Eplique o significado de cada uma das notações a seguir. (a) f() = (b) f() = + 4. Para a função representada, determine se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. (a) f(1) (b) (c) f() f() + (d) f() (e) f(2) (f) f() (g) f() + (h) f() (i) f() 5. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as seguintes condições: f() = 4, f() = 2, f() = 2, f(3) = 3 e f( 2) = Dê um eemplo no qual f() eiste, mas f() não eiste. 1

2 7. Seja f : R R uma função tal que f() > 0 para todo 2 e f(2) = 3. Verifique se as afirmativas abaio são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-eemplo. (a) f() não eiste (b) f() = 3 (c) Se eistir, f() é positivo. f() f(1) 8. Para cada uma das funções abaio, calcule os ites 1 f(1 + h) f(1) e. h 0 h (a) f() = 2 (b) f() = 3 (c) f() = 9. Considere as funções f() = e g() = + 3 (a) As funções f e g são diferentes. Por quê? (b) Apesar de f e g serem diferentes, ainda é verdade Por quê? 10. Determine os ites abaio: = ( + 3) (a) (c) (b) (d)

3 2 (e) 2 ( 2 4) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 1 + h h + 1 h Seja g(t) = 2 + ( 4)( + 2) { t 2, 0 t 2, < 0. (a) Esboce o gráfico da função. (b) g(t) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) () (1 + 1 ) y y 7 + 6y ( ) (y) ( 2 ) (z) (c) g(t) + (d) g(t) 12. Determine o ite da função trigonométrica (se eistir). (a) + cos 1 (c) sen() 5 θ (b) θ 0 cos θ 3 (d) π 2 cos() π 2

4 sen() sen(π) (e) π π sen()(1 cos()) (f) 2 2 sen(3t) (g) t 0 2t sen(2) (h) sen(3) sen 2 () (i) tg 2 () (j) sen(t) (k) t π + t π 13. Use o Teorema do Confronto para mostrar que 50π cos = Use o teorema do confronto para encontrar o ite: (a) cos 1 (b) 2 sen Encontre as assíntotas verticais (se houver) do gráfico da função. (a) f() = 1 2 (b) f() = (c) g(t) = t 1 t 2 +1 (d) f() = tg(2) (e) f() = (f) f() = 8 ( 10) Ache um valor para a constante k que torne { sen(3), 0 f() = k, = 0 contínua em = Encontre todos os valores de c tais que f seja contínua em (, + ). { 1 f() = 2, c, > c 4

5 18. Verifique se as funções definida a seguir são contínuas nos pontos específicos: 3 27 (a) f() = 3, 3, no ponto = 3. 3, = 3 { (b) f() = , > 2 2, no ponto = , Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado: 2 1 (a) f() = 1, 1, no ponto = 1. a, = (b) f() =, > 4 4, no ponto = 4. 2 a, Mostre que a função f() = sen() é contínua para todos os números reais. 21. Em cada parte, ache o ite fazendo a substituição indicada. (a) (b) sen 1 + Sugestão: t = 1. (1 cos 1 ) Sugestão: t = A função maior inteiro f() = [[]] é definida por [[]] = maior inteiro n tal que n. Por eemplo, [[2, 5]] = 2 e [[ 2, 5]] = 3. (a) Faça o gráfico da função f() = [[]]. (b) f() + (c) f() 23. De acordo com a teoria da relatividade, a massa m de uma partícula depende de sua velocidade v. Isto é m = 5 m 0 1 v2 c 2

6 onde m 0 é a massa quando a partícula está em repouso e c é a velocidade da luz. Encontre o ite da massa quando v tende a c. 24. Um carro de polícia está estacionado, com a sirene ligada, a 50 pés de um longo galpão. A lâmpada móvel no topo do carro gira a uma taa de 1/2 volta por segundo. A taa na qual o raio de luz se move pela parede é r = 50π sec 2 θ pés/sec (a) Encontre a taa r quando θ é π 6. (b) Encontre a taa r quando θ é π 3. (c) Encontre o ite de r quando θ ( π 2 ) 25. Para escapar do campo gravitacional da Terra, um foguete deve ser lançado com uma velocidade inicial chamada de velocidade de escape. Um foguete lançado da superfície da Terra tem velocidade v (em quilómetros por segundo) dada por: 2GM v = + v0 2 2GM v r F r onde v 0 é a velocidade inicial, r é a distância do foguete ao centro da Terra, G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra e R é o raio da Terra. (a) Encontre o valor v 0 para o qual você obtém um ite infinito para r quando v tende a zero. Esse valor v 0 é a velocidade de escape da Terra. 26. Suponha que o número médio de minutos M que leva para um novo empregado montar uma unidade de um produto seja dado por M = t 2t + 1 onde t é o número de dias no trabalho. Esta função é contínua (a) para todos os valores de t? (b) em t = 14? (c) para todos os t 0? 6

7 (d) qual é o domínio para esta função? 27. Nos ítens abaio determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, eplique o motivo ou dê um eemplo que mostre que é falsa. (a) = 1 sen() (b) = 1 π (c) Se f() = g() para todo número real eceto = 0, e f() = L, então g() = L (d) Se f() = L, então f(c) = L. c (e) f() = 3, onde f() = { 3, 2 0, > 2 (f) Se f() < g() para todo a, então a f() < a g(). 28. O custo em milhões de dólares para uma agência governamental apreender % de uma droga ilegal é C = , 0 < 100. (a) Encontre o custo para apreender 25% da droga. (b) Encontre o custo para apreender 75% da droga. (c) Encontre o ite de C quando 100 e interprete o seu significado. 29. Considere a função f() = + 1. Encontre o valor de δ tal que se 0 < 2 < δ então f() 3 < 0, Considere a função f() = 2. Encontre o valor de δ tal que se 0 < 4 < δ então f() 16 < 0, Encontre o ite L da função. Então, use a definição por ɛ e δ para provar que o ite é L. (a) (3 2) (b) ( ) 7

8 32. Um torneiro mecânico deve fabricar um disco de metal circular com área de 1.000cm 2. (a) Qual o raio do disco produzido? (b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância de erro de ±5cm 2 na área do disco, quão próimo o raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio? (c) Em termos de definição de ɛ, δ e a f() = L, o que é? O que é f()? O que é a? O que é L? Qual o valor de ɛ dado? Qual o valor correspondente de δ? Respostas (a) f(1) = (b) (c) f() = + f() = 1 2 (d) f() = (e) f(2) = 0 (f) f() = + (g) f() = 0 (h) f() = (i) f() = (a) 2 (b) 3 (c) (a) 3 4 (b) 8 (Dica: decomponha o numerador) (c) 0 (d) 6 (e) 2 4 (Dica: multiplica o nu- 8

9 merador e denominador por ( + 2) (f) + (g) 1 8 (h) 27 (Dica: use a substituição = y 3 ) (i) (j) 4 5 (k) 0 (l) + (m) 4 (n) (o) + (p) (q) + (r) 3 2 (s) 5 (Dica: divida o numerador e numerador por e use a igualdade = 2 ) (t) 6 6 (u) (v) (w) () 1 (y) 0 (z) (a) (b) -2 (c) 0 (d) 12. (a) 1 (b) 0 (c) 1 5 (d) -1 (Dica: faça a substituição y = π) 2 (e) -1 (f) 0 (g) 3 2 (h) 2 3 (i) 0 (j) 0 (k) (a) 0 (b)

10 (a) = 0 (b) = 1 e = 2 (c) Não há assíntota vertical (d) = π 4 + k π 2, k Z (e) = 1 e = 2 (f) = k = c = 1± (a) Não é contínua em = 3. (b) É contínua em = (a) a = 2 (b) a = (a) 0 (b) (a) (b) f() = 2 + (c) f() = (a) 1 (200π) pés/sec 3 (b) (200π) pés/sec (c) 25. v Km/s 26. (a) Não (b) Sim 27. (a) F (b) F (c) Sim (d) t 0, t R (c) V (d) F (e) F (f) V 28. (a) C(25) = 176 (b) C(75) = 1584 (c) C() = δ = 0, 4 10

11 30. δ = (a) cm π (b) Dentro de aproimadamente 0,0445cm (c) Raio; área; ; 1.000; 5; 0,0445 π 11