UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática

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1 UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico é apresentado ao lado. Para cada um dos itens a seguir, indique um domínio D R adequado em que uma função com a lei de formação dada possa ser definida e esboce o gráfico desta função. (a) f () = (f()) (b) f () = f( ) (c) f () = f() (d) f () = f( ) Questão. Encontre uma transformação de coordenadas de modo que as assíntotas da curva = 0 coincidam com os novos eios coordenados. Questão. Considere um cubo ABCDEF GH, de aresta a. Considere o triângulo ABG, cujos lados são: AB, aresta do cubo; BG, diagonal da face do cubo; AG, diagonal do cubo. (a) Determine os cossenos dos três ângulos internos de ABG. (b) Determine a área de ABG, em função de a. Questão. Considere h : R R a função definida por: h() = Faça um esboço do gráfico de h e determine (caso eistam): (a) todas as soluções reais da equação h() = 0; { 5 se se > (b) todos os pontos fios de h (isto é, os pontos R tais que h() = ); (c) os pontos R em que h é descontínua; (d) os pontos R em que h não é derivável; (e) os pontos R em que h () = 0; (f) os máimos e mínimos locais de h ; (g) as equações das retas tangentes ao gráfico de h nos pontos =, = 5 e =.

2 Questão 5. Considere a função g : R \ {} R definida por g() = ln. Faça um esboço do gráfico de g e determine (caso eistam): (a) os limites lim g() e lim g() ; + (b) os limites lim g() e lim g() ; + (c) as assíntotas horizontais e verticais de g ; (d) os máimos e mínimos locais e absolutos de g ; (e) os intervalos em que g é crescente e os intervalos em que g é decrescente; (f) os pontos de infleão de g ; (g) os intervalos em que a concavidade de g é voltada para cima e os intervalos em que a concavidade de g é voltada para baio. Questão 6. Considere a região plana limitada R, determinada no primeiro quadrante entre a curva = e e sua reta tangente em =. (a) Faça um esboço da região R. (b) Determine a área de R. (c) Determine o volume do sólido determinado pela rotação de R em torno da reta = e. Questão 7. O Teorema de Weierstrass afirma que: Seja f : I R R uma função contínua, em que I é um intervalo fechado e limitado. Então, eiste 0 I tal que f( 0 ) f() I. Responda as questões a seguir, justificando rigorosamente suas respostas. (a) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que f é contínua? (b) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que o domínio I é fechado? (c) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que o domínio I é limitado? (d) Podemos afirmar que o ponto 0 no enunciado do Teorema de Weierstrass é único? Questão 8. Use o Teorema de Weierstrass para demonstrar o seguinte resultado: Seja f : R R uma função contínua tal que f() > 0 R e lim f() = 0. Então 0 R tal que f( 0 ) f(), R. lim f() = +

3 UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Gabarito Questão. (a) Faz sentido definir f nos mesmos elementos em que f está definida. Assim, podemos definir f : [, ] R. O gráfico de f tem o aspecto mostrado abaio. (b) Como f é definida como f () = f( ), para que seja possível calcular f em um elemento, é preciso que pertença ao domínio de f, isto é que [, ]. Isto ocorre se e só se [, ]. Assim, podemos definir f : [, ] R. O gráfico de f tem o aspecto mostrado abaio. (c) Faz sentido definir f nos mesmos elementos em que f está definida. Assim, podemos definir f : [, ] R. O gráfico de f tem o aspecto mostrado abaio. (d) Como f é definida como f () = f( ), para que seja possível calcular f em um elemento, é preciso que pertença ao domínio de f, isto é que [, ]. Isto ocorre se e só se [, ]. Assim, podemos definir f : [, ] R. O gráfico de f tem o aspecto mostrado abaio (b) f (c) f (d) f (a) f

4 Questão. A curva por ser reescrita da seguinte forma: = 0 ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) = Assim, consideremos a seguinte mudança de coordenadas: { = = No sistema de coordenadas, a curva adquire a forma: =. hipérbole cujas assíntotas coincidem com os eios. Portanto, a curva é uma Questão. (a) Como a aresta AB é perpendicular à face BCGF, em particular esta aresta é perpendicular à diagonal BG. Como AB e BG são lados do triângulo ABG, concluímos que este triângulo é retângulo em B. Portanto: cos ˆB = 0 Como os lados BG e AG correspondem, respectivamente, à diagonal da face do cubo e à diagonal do cubo, temos que: BG = a e AG = a. Logo: cos  = AB AG = a a = cos Ĝ = BG AG = a a = 6 (b) Como ABG é retângulo em B, temos que sua área é dada por: S = AB BG = a a = a Questão. A função é definida como h() = 5 em A = { R } = [0, ] e como h() = em B = { R > } = ], 0[ ], + [. Logo, seu gráfico tem o aspecto: (a) Fazendo 5 = 0, obtemos = 5 como solução. Como A, este ponto é solução de h() = 0. Fazendo = 0, obtemos = e = como soluções. Como B, mas B, concluímos que, destes, apenas é solução de h() = 0. Logo, as soluções de h() = 0 são = e = 5, o que também pode ser constatado pela análise do gráfico ao lado. (b) Fazendo 5 =, encontramos = e = 5, ambos pertencentes a A. Analisemos os possíveis pontos fios de h em B. Como o trecho do gráfico correspondente a ], 0[ está contido no o quadrante, não pode haver pontos fios de h neste intervalo. Além disso, verificamos que h() = > e que h() é estritamente crescente para >. Portanto, não pode haver pontos fios de h em ], + [. Logo, os únicos pontos fios de h são e 5.

5 (c) Nos interiores dos conjuntos A e B, a função é certamente contínua, pois cada uma das epressão algébricas são obtidas por meio de composição de funções contínuas. Portanto, os únicos candidatos a descontinuidades são os pontos de fronteira deste conjuntos, = 0 e =. Verificamos que: lim h() = 0 lim h() = lim h() = lim h() = + Logo, a única descontinuidade de h ocorre em = 0. (d) São candidatos a pontos em que a função não é derivável os pontos de fronteira do intervalo, = 0 e =, e os pontos em que as epressões modulares se anulam, = e = 5. A função é certamente diferenciável nos demais pontos R. Como a função é descontínua em = 0, certamente não é derivável neste ponto. Para verificar a diferenciabilidade nos outros três pontos, como h está definida na vizinhança de cada um deles, podemos calcular os limites laterais de h : lim h () = lim = lim h () = lim = lim lim h () = lim 5 5 ( ) = lim lim h () = lim = + + h () = lim + +( ) = 5 h () = lim = Logo, h é derivável em = e não é derivável em = nem em = 5. Os pontos em que h não é derivável são e 5. (e) De acordo com o argumento do item anterior, h está definida no domínio D = R \ {, 5 }. Neste domínio, h é dada por: h () = se < se < < 0 se 0 < < 5 se 5 < se > Eaminando as epressões algébricas acima juntamente com os respectivos intervalos de definição, concluímos que não eistem pontos D em que h () = 0. (f) Analisando a epressão algébrica e o gráfico de h, vemos que a função: admite (, 0) e ( 5, 0) como mínimos absolutos; não admite outros mínimos locais; não admite máimos absolutos; admite (0, 5) como máimo local. (g) A função não é derivável em = 5, logo não eiste reta tangente neste ponto. Para determinar a reta tangente em =, observamos que, como a definição de h no intervalo 0 < < 5 coincide com a reta = + 5, então está é também a reta tangente ao gráfico de h em =. Como h() = e h () =, a reta tangente em = é dada por = ( ), ou seja, = 5.

6 Questão 5. Temos que: g() = ln = { ln( ) se > ln( ) se < Para analisar o sinal de g, consideremos separadamente os casos > e < : Para >, temos: Para <, temos: Então A derivada primeira de g é dada por: g() > 0 > > g() = 0 = = g() < 0 0 < < < < g() > 0 > < 0 g() = 0 = = 0 g() < 0 0 < < 0 < < g() > 0 < 0 ou > g() = 0 = 0 ou = g() < 0 0 < <, Isto é: g () = se > se < Então: g () = R \ {} A derivada segunda de g é dada por: Então: g () > 0 > g () = 0 = 0 g () < 0 <, 0 g () = 6 ( ) ( ) = + ( ) g () > 0 < < 0 g () = 0 = ou = 0 g () < 0 <, 0 < < ou >

7 (a) Como = 0 para =, temos que: lim g() = lim g() = + (b) Quando ±, temos que ±. Logo: lim g() = lim g() = + + (c) Dos itens (a) e (b), concluímos que g não admite assíntotas horizontais e possui uma assíntota vertical em =. (d) Da análise do sinal da derivada primeira, concluímos que g não admite máimos ou mínimos locais ou absolutos. (e) Da análise do sinal da derivada primeira, concluímos que: g é crescente para > ; g é decrescente para <. (f) Da análise do sinal da derivada segunda, concluímos que g possui pontos de infleão em (0, 0) e (, ln ). (g) Da análise do sinal da derivada segunda, concluímos que: g possui concavidade voltada para cima para < < 0; g possui concavidade voltada para baio para <, para 0 < < e para >. Da análise acima, concluímos que o gráfico de g tem o seguinte aspecto:

8 Questão 6. (a) Temos que () = () = e. Portanto, a reta tangente à curva em = é dada por e = e ( ), ou seja: = e Logo, a região R tem o seguinte aspecto: e (b) Observando o esboço acima, vemos que a área da região pode ser calculada como a área sob o gráfico de = e, para 0, menos a área do triângulo de vértices (0, 0), (, 0) e (, e). S = 0 e d e = e e = e (c) O volume pedido pode ser calculado da seguinte forma: V = 0 S() d em que S() é a área da seção gerada pela rotação do segmento determinado entre a curva = e e a reta = e, para 0. Observando o esboço acima, vemos que esta seção é um anel circular com raios interior r () e eterior r () dados por: Logo: r () = e e r () = e e S()=π r() π r() =π [(e e ) (e e ) ] =π [(e e e + e ) (e e e + e )] =π [ e + e + e e ] [ V ()=π e + e + e e ] d 0 ] =π [ e + e + e e 0 =π [ e e e + ] + e ( e 5 =π 6 e e + )

9 Questão 7. (a) Não. Basta considerar como contra-eemplo a função f : [0, ] R definida por: { se f() = 0 se = Então, f está definida em um domínio limitado e fechado, mas não admite um máimo. (b) Não. Basta considerar como contra-eemplo a função f : ]0, [ R definida por f() =. Então, f é contínua, está definida em um domínio limitado, mas não admite um máimo. (c) Não. Basta considerar como contra-eemplo a função f : [0, + [ R definida por f() =. Então, f é contínua, está definida em um domínio fechado, mas não admite um máimo. (d) Não. Basta considerar como contra-eemplo a função f : [0, π] R definida por f() = sen. Então, f satisfaz as hipóteses do Teorema Weierstrass, mas o máimo não é único. Questão 8. Fiemos um elemento R qualquer. Pela definição de limite no infinito, aplicada ao número f( ) > 0, temos que: como lim f() = 0, então eiste a R tal que f() f( ) a; como lim f() = 0, então eiste b R tal que f() f( ) b. Podemos supor, + sem perda de generalidade, a < b. Por outro lado, pelo Teorema de Weierstrass, eiste [a, b ] tal que f() f( ) [a, b ]. Assim, basta escolhermos 0 tal que f( 0 ) = ma{f( ), f( )} (isto é, 0 será o elemento dentre ou que tiver a maior imagem). Então, dado R, temos que: se a ou b, então f() f( ) f( 0 ); se a b, então f() f( ) f( 0 ).