CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE:

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1 CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 9.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em X 0 Domf), definimos o vetor gradiente de f em X 0, denotado por fx 0 ), como ) f f f fx 0 ) = X 0 ), X 0 ),... X 0 ). 1 n Vamos agora nos restringir ao caso em que f é uma função diferenciável e apresentar a interpretação geométrica do gradiente de uma função de duas e de três variáveis. 9. Vetor Gradiente de uma Função de Duas Variáveis: Interpretação Geométrica Considere a função f : Domf) R R X =, ) fx) = f, ) Suponha que f é de classe C 1 no aberto A Domf) R e seja 0, 0 ) A um ponto pertencente à curva de nível k de f. Suponha ainda que f 0, 0 ) 0, 0). Considere agora uma curva arbitrária C, que contém o ponto 0, 0 ), e está inteiramente contida na curva de nível k de f. Não se preocupe agora com a eistência desta curva. Mais tarde, veremos que as condições anteriormente impostas garantem isto). Além disso, suponha que C é parametriada pela função γ : Domγ) R R t γt) = t), t)) 17

2 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise e que γ é diferenciável no intervalo aberto I Domγ), onde I é um intervalo que contém t 0, onde t 0 é tal que γt 0 ) = 0, 0 ) e γt) A, para todo t I. Além disso, vamos supor que γ t 0 ) 0, 0). Observe que dier que C está inteiramente contida na curva de nível k de f se tradu em afirmar que fγt)) = k, t Domγ) e, em particular, que fγt)) = k, t I Domγ) 1) Derivando os dois lados da equação 1), obtemos que que, pela regra da cadeia, fornece que d dt fγt))) = d k), t I, dt fγt)) γ t) = 0, t I. Desta forma, em particular, temos que fγt 0 )) γ t 0 ) = 0. ) Lembrando que γ t 0 ) fornece o vetor tangente à curva C no ponto γt 0 ) = 0, 0 ), como supusemos que f 0, 0 ) 0, 0) e γ t 0 ) 0, 0), a Equação ) acima afirma que f 0, 0 ) é perpendicular à curva C, no ponto 0, 0 ). Como C é uma curva arbitrária contida na curva de nível k de f, concluímos que O vetor gradiente de f no ponto 0, 0 ) é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto 0, 0 ). Diemos assim, que f 0, 0 ) é um vetor normal à curva de nível k de f, no ponto 0, 0 ). A equação cartesiana da reta que contém o ponto 0, 0 ) e é paralela ao vetor f 0, 0 ) é chamada de reta normal à curva de nível k de f no ponto 0, 0 ). A equação desta reta é dada por, ) = 0, 0 ) + λ f 0, 0 ), λ R. Além disso, a reta que contém o ponto 0, 0 ) e é perpendicular a f 0, 0 ) é chamada de reta tangente à curva de nível k de f no ponto 0, 0 ). A equação desta reta é dada por f 0, 0 ) [ 0 ), 0 )] = 0. Lembre-se que já vimos Capítulo ) que se C é uma curva parametriada pela função γ, então a equação paramétrica da reta tangente a esta curva no ponto γt 0 ) = 0, 0 ) é dada por, ) = 0, 0 ) + λ γ t 0 ), λ R.

3 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise O que acabamos de ver, portanto, foi uma nova forma de encontrar a reta tangente de uma curva, no caso especial em que esta curva está contida na curva de nível de uma função. Eemplo 9..1: A curva C, parametriada pela função γ : Domγ) R R, é uma curva que contém o ponto 1, ) e é tal que fγt)) =, t Domγ), onde f, ) = +. Seja t 0 I aberto ) Domγ), tal que γt 0 ) = 1, ) e γ t 0 ) 0, 0). Determine as equações da reta normal e da reta tangente a C no ponto 1, ). Solução: Como a curva C é tal que fγt)) =, t Domγ), temos que C está contida na curva de nível de f. Sendo assim, como sabemos que o gradiente de uma função é perpendicular as suas curvas de nível, vamos determinar o gradiente de f no ponto 1, ), pois, desta forma, teremos determinado um vetor perpendicular a C no ponto 1, ). Neste caso, temos que f, ) = + +, ) + f1, ) = 10, ). Sendo assim, a equação da reta perpendicular a C no ponto 1, ) é dada por, ) = 1, ) + λ f1, ), λ R, ) = 1, 10 ) + λ, ), λ R, e a equação da reta tangente a C no ponto 1, ) é dada por f1, [ ), ) 1, )] = 0 10, ) 1, ) = 0. Nas figuras abaio, temos um esboço do gráfico de f, do plano =, da curva C e da reta tangente e da reta normal a C no ponto 1, ). Veja que, como fγt)) =, t Domγ), a interseção do gráfico de f com o cilindro cuja diretri e a curva C e

4 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise cuja geratri é paralela ao eio, está contida no plano =. 9. Vetor Gradiente de uma Função de Três Variáveis: Interpretação Geométrica Vamos agora repetir o mesmo raciocínio para o caso em que n =. Para isto, considere a função f : Domf) R R X =,, ) fx) = f,, ) Suponha que f é de classe C 1 no aberto A Domf) R e seja 0, 0, 0 ) A um ponto pertencente à superfície de nível k de f. Suponha ainda que f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0). Considere agora uma curva arbitrária C, que contém o ponto 0, 0, 0 ), e está inteiramente contida na superfície de nível k de f. Além disso, suponha que C é parametriada pela função γ : Domγ) R R t γt) = t), t), t)) e que γ é diferenciável no intervalo aberto I Domγ). Vamos supor ainda que o ponto t 0 I Domγ) tal que γt 0 ) = 0, 0, 0 ) possui a propriedade de que γ t 0 ) 0, 0, 0). Observe que dier que C está inteiramente contida na superfície de nível k de f se tradu em afirmar que fγt)) = k, t Domγ). e, em particular, que fγt)) = k, t I Domγ) ) Derivando os dois lados da equação ), obtemos que d dt fγt))) = d dt k), t I

5 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise que, pela regra da cadeia, fornece que fγt)) γ t) = 0, t I. Desta forma, em particular, temos que fγt 0 )) γ t 0 ) = 0. Como supusemos que f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0) e γ t 0 ) 0, 0, 0), a equação acima afirma que f 0, 0, 0 ) é perpendicular à curva C, no ponto 0, 0, 0 ). Como C é uma curva arbitrária contida na superfície de nível k de f, concluímos que O vetor gradiente de f no ponto 0, 0, 0 ) é perpendicular à qualquer curva que contém este ponto e está inteiramente contida na superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ). Portanto, o gradiente de f no ponto 0, 0, 0 ) é perpendicular à superfície de nível de f que contém este ponto. Diemos assim que f 0, 0, 0 ) é um vetor normal à superfície de nível k de f, no ponto 0, 0, 0 ). A equação da reta que contém o ponto 0, 0, 0 ) e é paralela ao vetor f 0, 0, 0 ) é chamada de reta normal à superfície de nível k de f no ponto 0, 0, 0 ). A equação desta reta é dada por,, ) = 0, 0, 0 ) + λ f 0, 0, 0 ), λ R. Além disso, o plano que contém o ponto 0, 0, 0 ) e é perpendicular a f 0, 0, 0 ) é chamado de plano tangente à superfície de nível k de f no ponto 0, 0, 0 ). A equação deste plano é dada por f 0, 0, 0 ) [ 0 ), 0 ), 0 )] = 0. Eemplo 9..1: Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície S dada por =, no ponto 1, 1, ). Solução: Considere a função f dada por f,, ) = ;,, ) R. Neste caso, temos que a superfície S é a superfície de nível 0 de f. Desta forma, como o gradiente é perpendicular às superfícies de nível da função, o gradiente de f no ponto 1, 1, ) é perpendicular à superfície S. Sendo assim, vamos calcular o gradiente de f. f,, ) = +, +, + ) f1, 1, ) = 1, 5, 8).

6 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Portanto, o plano tangente à superfície S no ponto 1, 1, ) é dado por f1, 1, ) [,, ) 1, 1, )] = 0 1, 5, 8) 1, + 1, ) = ) + 8 ) = 0. Nas figuras abaio temos um esboço da superfície S e do plano tangente à superfície S no ponto 1, 1, ). Concluímos que o gradiente de uma função de duas variáveis é perpendicular às curvas de nível desta função e que o gradiente de uma função de três variáveis é perpendicular às superfícies de nível desta função. Da mesma forma, de um modo geral, temos que o gradiente de uma função de várias variáveis é perpendicular aos conjuntos de nível desta função. A seguir, vamos faer uma observação envolvendo a equação de plano tangente à superfície de nível que acabamos de aprender com a equação de plano tangente a gráfico de função, vista no capítulo de diferenciabilidade. Observação 9..1: Seja g : Domg) R R uma função de classe C 1 no aberto A Domg). Considere o ponto 0, 0 ) A e seja 0 = g 0, 0 ). Vimos na aula de derivada Parte 7) que, como g é derivável em 0, 0 ) pois é de classe C 1 no aberto A que contém 0, 0 )), então o gráfico de g possui plano tangente no ponto 0, 0, 0 ) = 0, 0, g 0, 0 )), o qual é dado por = g 0, 0 ) + 0, 0 ) 0 ) + 0, 0 ) 0 ). Considere agora a função f definida por f,, ) = g, ),,, ) Domg) R. Com a definição da função f, observe que o gráfico da função g dado de forma eplicita pela equação = g, ), também pode ser dado de forma implícita através da equação f,, ) = 0; ou seja, o gráfico de g é a superfície de nível 0 de f. Portanto, toda curva C inteiramente contida no gráfico de g, também está inteiramente contida na superfície

7 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise de nível 0 de f. Além disso, note que, se 0, 0, 0 ) pertence à superfície de nível 0 de f, então 0 = f 0, 0 ). Desta forma, temos que f 0, 0, 0 ) também é normal ao gráfico de g no ponto 0, 0, 0 ). Sendo assim, utiliando a equação do plano tangente à superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ), também deveríamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto 0, 0, 0 ). De fato, é isto que acontece. Realmente, uma ve que f 0, 0, 0 ) = 0, 0 ), ) 0, 0 ), 1, segue que a equação do plano tangente à superfície de nível de f que contém o ponto 0, 0, 0 ) é dada por f 0, 0, 0 ) [ 0 ), 0 ), 0 )] = 0 0, 0 ), ) 0, 0 ), 1 [ 0 ), 0 ), g 0, 0 ))] = 0 0, 0 ) 0 ) + 0, 0 ) 0 ) g 0, 0 )) = 0 = g 0, 0 ) + 0, 0 ) 0 ) + 0, 0 ) 0 ), conforme se esperava. Eemplo 9..: Considere a superfície S dada por = + +. Determine a equação do plano tangente a S no ponto 1,, 11), pela duas formas mencionadas acima. Solução: 1 a forma: Neste caso, vamos trabalhar com a função g dada por g, ) = + +,, ) R e utiliar a fórmula de plano tangente ao gráfico de uma função, pois S é o gráfico de g. De fato, Grg) = {,, + + ) R, ) R }, o que significa que o gráfico de g é determinado pela equação = + +. Sendo assim, temos que o plano tangente ao gráfico da função g no ponto 1,, 11) é dado por Desta forma, como g 1, ) = 11 e = g 1, ) + 1, ) 1) + 1, ) )., ) = + 1, ) = 5, ) = + 1, ) = 1 Portanto, o plano tangente ao gráfico da função g no ponto 1,, 11) é dado por = ) + 1 ). a forma: Neste caso, vamos trabalhar com a função f dada por f, ) = + +,,, ) R e utiliar a fórmula de plano tangente à superfície de nível

8 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise de uma função, pois S é a superfície de nível 0 f. De fato, S 0 f) = {,, ) R + + = 0}, o que significa que a superfície de nível 0 de f é determinada pela equação = + +. Sendo assim, temos que o plano tangente a superfície de nível 0 de f no ponto 1,, 11) é dada por f 1,, 11) [,, ) 1,, 11)] = 0. Vamos então calcular o gradiente de f. f,, ) = +, +, 1 ). f 1,, 11) = 5, 1, 1). Portanto, a equação do plano tangente pedida é dada por 5, 1, 1) [,, ) 1,, 11)] = 0 5, 1, 1) 1,, 11) = 0 5 1) + 1 ) 1 11) = 0. Observação 9..: No eemplo anterior, vimos um caso em que o gráfico de uma função g coincidia com uma superfície de nível de uma função f. Também podemos determinar o plano tangente ao gráfico de uma dada função g, utiliando o procedimento de determinar o plano tangente a uma superfície de nível de uma nova função f criada, desde que o gráfico de g esteja contido em uma superfície de nível da nova função, pois, neste caso, também teremos que toda curva C inteiramente contida no gráfico de g, também estará inteiramente contida na superfície de nível em questão. Confira o eemplo a seguir. Eemplo 9..: Considere a função g dada por g, ) = Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g, no ponto )), 1, g, 1, pela duas formas mencionadas acima. Solução: 1 a forma: Neste caso, vamos trabalhar com a função g dada e utiliar a fórmula de plano tangente ao gráfico de uma função. Sendo assim, temos que o plano tangente ao gráfico da função g no ponto, 1, g ) = g, 1 +, 1, 1 )) é dado por ) ) + ), 1 1).

9 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise ) Desta forma, como g, 1 = 5 e, ) = 15, ) = ), 1 = ), 1 = 10 Portanto, o plano tangente ao gráfico da função g no ponto por = 5 5 ) 10 1). )), 1, g, 1 é dado a forma: Neste caso, elevando a equação = ao quadrado, ficamos com = Fiemos isto para evitar a rai. Considere então a função f dada por f,, ) = Observe que o gráfico da função g está contido na superfície de nível 0 da função f. Utiliando então o fato de que o gradiente de uma função é perpendicular a suas superfícies de nível, temos que o gradiente de f no ponto, 1, 5 ) é perpendicular à superfície de nível 0 de f neste ponto. Desta forma, a equação do plano tangente à superfície de nível 0 de f no ponto, 1, 5 ) é dada por f, 1, 5 ) [,, ), 1, 5 )] = 0. Porém, como o gráfico da função g está contido na superfície de nível 0 da função f, a equação acima também é a equação do plano tangente ao gráfico da função g no ponto, 1, 5 ). Vamos então calcular o gradiente de f. f,, ) = 450, 00, 7). f, 1, 5 ) = 00, 00, 0). Portanto, a equação do plano tangente pedida é dada por [ 00, 00, 0),, ), 1, 5 )] = 0 15, 10, ), 1, 5 ) = 0 15 ) ) + 5 ) = 0.

10 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Nas figuras abaio temos um esboço da superfície S e do plano tangente à superfície S no ponto, 1, 5 ). Observação 9..: Considere duas superfícies S 1 e S dadas, respectivamente, pelas equações f 1,, ) = 0 e f,, ) = 0, onde f 1 e f são supostas de classe C 1 no aberto A R. Suponha que 0, 0, 0 ) A é um ponto pertencente a S 1 e a S e que f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 ) 0, 0, 0). Considere agora uma curva C, parametriada pela função γ : Domγ) R R, contida na interseção das superfícies S 1 e S. Seja t 0 I aberto ) Domγ) e suponha que γt 0 ) = 0, 0, 0 ) e γ t 0 ) 0, 0, 0). Desta forma, como o vetor γ t 0 ) é tangente à curva C no ponto γt 0 ) = 0, 0, 0 ), temos que ele é perpendicular a ambos os vetores f 1 0, 0, 0 ) e f 0, 0, 0 ), uma ve que f i 0, 0, 0 ) é perpendicular a qualquer curva contida em S i, pois S i é uma superfície de nível de f i i = 1, ). Portanto, o vetor γ t 0 ) é paralelo ao vetor f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 ) em R, podemos ter, no máimo, três vetores linearmente independentes). Sendo assim, a equação da reta tangente à C no ponto γt 0 ) = 0, 0, 0 ) é dada por,, ) = 0, 0, 0 ) + λ f 1 0, 0, 0 ) f 0, 0, 0 )), λ R. Eemplo 9..4: A curva C, imagem da função γ : Domγ) R R, está contida na interseção das superfícies S 1, dada pela equação + + = 4, e S, dada pela equação ++ =. Sabe-se que t 0 I aberto ) Domγ) é tal que γt 0 ) = 1, 1, 1) e γ t 0 ) 0, 0, 0). a) Determine a reta tangente à curva C no ponto γt 0 ). b) Determine uma curva C nas condições acima. Solução:

11 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise a) Considere as funções f e g dadas por e f,, ) = + + 4;,, ) R g,, ) = + + ;,, ) R Neste caso, temos que a superfície S 1 é a superfície de nível 0 de f e a superfície S é a superfície de nível 0 de g. Desta forma, como o gradiente de uma função é perpendicular as suas superfícies de nível, f1, 1, 1) é perpendicular à superfície S 1 no ponto 1, 1, 1) e g1, 1, 1) é perpendicular à superfície S no ponto 1, 1, 1). Como a curva C está contida na interseção das superfícies S 1 e S, f1, 1, 1) e g1, 1, 1) são ambos perpendiculares à curva C no ponto γt 0 ) = 1, 1, 1). Isto significa que f1, 1, 1) e g1, 1, 1) são ambos perpendiculares ao vetor tangente à curva C no ponto γt 0 ) = 1, 1, 1), o qual é dado por γ t 0 ). Portanto, conforme já observado, γ t 0 ) é paralelo ao produto vetorial f1, 1, 1) e g1, 1, 1), de modo que a equação da reta tangente à C no ponto γt 0 ) = 1, 1, 1) é dada por,, ) = 1, 1, 1) + λ f1, 1, 1) g1, 1, 1)), λ R. Sendo assim, vamos calcular os gradientes de f e de g no ponto 1, 1, 1). f,, ) =, 4, 1) e g,, ) =, 1, 1) f1, 1, 1) =, 4, 1) e g1, 1, 1) =, 1, 1). Desta forma, temos que f1, 1, 1) g1, 1, 1) = i j k =, 0, ).,, ) = 1, 1, 1) + λ, 0, ), λ R. b) Como a curva C está contida na interseção das superfícies S 1, dada pela equação + + = 4, e S, dada pela equação + + =, os pontos,, ) C satisfaem as duas equações. Desta forma, isolando nas equações das superfícies, temos que Portanto = 4 e = 4 = 1 = 0 = 1 ± = 1 ou = 1. Como a curva C contém o ponto 1, 1, 1), a única opção é = 1. substituindo = 1 nas equações de S 1 e/ou S, segue que Sendo assim, + = =.

12 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Portanto, faendo = u, temos que uma parametriação β para a curva C é dada por βu) = u, 1, u ), u R. Observe que utiliando esta parametriação, temos que a equação da reta tangente a C no ponto βu 0 ) = 1, 1, 1) é dada por,, ) = 1, 1, 1) + λ β u 0 ), λ R = 1, 1, 1) + λ1, 0, ), λ R, que coincide com a equação encontrada no item a). Nas figuras abaio temos um esboço das superfícies S 1, S, da curva C e da reta tangente à curva C no ponto 1, 1, 1).