3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

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1 CAPÍTULO 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções F : Dom(F) R n R m, que são as funções reais de várias variáveis reais. Neste caso, temos que m = e n 2, i.e. o domínio é um subconjunto de R n, n 2, enquanto que o contradomínio é um subconjunto da reta. DEFINIÇÃO 3..: DadoDom(f) R n, umafunção real f de várias variáveis reais éuma correspondência, f : Dom(f) R n R, queacadapontox = (, 2,..., n ) Dom(f), associa um e apenas um = f(x) R. Eemplo 3..: Abaio temos alguns eemplos de funções reais de várias variáveis, com n = 2 ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)). a) f(,) = 4 ( ), (,) R 2. b) g(,) =, (,) R 2. c) h(,,) = + +, (,,) R 3. d) w(,,) = , (,,) R3 \{(0,0,0)}. Conforme mencionado, o conjunto Dom(f) é chamado de domínio da função f. Além disso, continuaremos abusando da linguagem, conforme mencionado nas aulas anteriores. Isto é, quando a função f for dada por sua epressão e fiermos a pergunta: qual é o domínio da função f? Estaremos de fato perguntando: qual é o maior subconjunto de R n, no qual f está bem definida?, ou seja, qual é o maior subconjunto Dom(f) R n, tal que f(x) é um elemento de R, para todo X Dom(f)? 3

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Operações com Funções Reais de Várias Variáveis Reais Definiremos a seguir as usuais operações de soma, diferença, produto e quociente, da mesma forma que fiemos para funções reais de uma variável. DEFINIÇÃO 3.2.: Considere as funções f,g : D R n R e a constante k R. Neste caso, definimos as seguintes funções: a) a função f +g : D R n R, chamada de soma de f e g, dada por (f +g)(x) = f(x)+g(x), X D; b) a função f g : D R n R, chamada de diferença entre f e g, dada por (f g)(x) = f(x) g(x), X D; c) a função kf : D R n R, chamada de produto de f pela constante k, dada por (kf)(x) = kf(x), X D; d) a função fg : D R n R, chamada de produto de f pela função g, dada por (fg)(x) = f(x)g(x), X D; e) se g(x) 0, X D, a função f g : D Rn R, chamada de quociente de f pela função g, dada por ( ) f g (X) = f(x), X D. g(x) Caso eista X D, tal que g(x) = 0, mas o conjunto D = {X D g(x) 0} seja não vaio, podemos definir a função quociente no conjunto D, i.e. ( ) f (X) = f(x) g g(x), X D. Vamos inicialmente nos concentrar em funções reais de apenas duas variáveis reais. 3.3 Funções Reais de Duas Variáveis Reais Vamos trabalhar nesta seção apenas com funções reais de duas variáveis reais. Isto é, vamos trabalhar com funções f da forma f : Dom(f) R 2 R (,) f(,).

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Vamos iniciar identificando e esboçando o domínio de algumas funções de duas variáveis reais. Eemplo 3.3.: Determine e esboce o domínio das funções definidas pelas epressões abaio. a) f (,) = +. b) f 2 (,) = +. c) f 3 (,) = 2 2. d) f 4 (,) = 2 2. e) f 5 (,) =. f) f 6 (,) = ln( ). Solução: a) Neste caso, como o termo aparece no denominador da epressão de f, devemos ter 0. Desta forma, segue que Dom(f ) = {(,) R 2 }. Temos portanto, que o domínio da função é todo plano, ecetuando a reta = (figura ao lado). b) Neste caso, para podermos calcular as duas raíes que aparecem na epressão de f 2, devemos ter 0 e 0. Portanto, segue que Dom(f 2 ) = {(,) R 2 e }. Ao lado, temos um esboço de Dom(f 2 ), que é a região acima da reta = e abaio da reta =.

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise c) Neste caso, para podermos calcular a rai que aparece na epressão def 3, devemos ter Além disso, como o termo 2 2 está no denominador da função f 3, é necessário ter Portanto, segue que Dom(f 3 ) = {(,) R > 0}. Como 2 2 > 0 2 < 2 < < <, temos que Dom(f 3 ) = {(,) R 2 < < }. Ao lado, temos um esboço do domínio da função f, que é a região compreendida entre = e =. d) Neste caso, para podermos calcular a rai que aparece na epressão de f 4, devemos ter Portanto, segue que Dom(f 4 ) = {(,) R }. Ao lado, temos um esboço de Dom(f 4 ), que é a região do plano determinada pela hipérbole 2 2 = que não contém a origem. e) Neste caso, como o termo aparece no denominador da epressão de f 5, devemos ter 0. Desta forma, segue que Dom(f 5 ) = {(,) R 2 }. Temos portanto, que o domínio da função é todo plano, ecetuando a reta = (figura ao lado). f) Neste caso, como o termo aparece como argumento do logaritmo natural na epressão de f 6, devemos ter > 0. Desta forma, segue que Dom(f 6 ) = {(,) R 2 > }. Ao lado, temos um esboço de Dom(f 6 ), que é a região do plano determinada pela hipérbole = que não contém a origem.

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplos Alguns Tipos de Funções Reais de Duas Variáveis Reais Veremos a seguir eemplos de alguns tipos de funções reais de duas variáveis reais. Eemplo 3.4.: (Função Polinomial) Uma função polinomial de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R 2 R dada por f(,) = a mn n m, m+n p onde p é um natural fio e os coeficientes a mn são números reais dados. A soma é estendida a todas soluções (m,n), m e n naturais, da inequação m+n p. Eemplo: f(,) = Eemplo 3.4.2: (Função Afim) Uma função afim de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R 2 R dada por f(,) = a+b +c, onde a, b e c são números reais dados. A função afim é um caso particular de uma função polinomial. Observe que o gráfico de uma função afim de duas variáveis reais é um plano. Eemplo: f(,) = Eemplo 3.4.3: (Função Linear) Uma função linear de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R 2 R dada por f(,) = a+b, onde a e b são números reais dados. A função linear é um caso particular de uma função afim. Observe que o gráfico de uma função linear de duas variáveis reais é um plano que contém a origem. Eemplo: f(,) = Eemplo 3.4.4: (Função Racional) Uma função racional de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : Dom(f) R 2 R dada por f(,) = p(,) q(,),

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise onde p e q são funções polinomiais dadas. Temos, neste caso, que Dom(f) = {(,) R 2 q(,) 0}. Eemplo: f(,) = Observe que + Dom(f) = {(,) R 2 ( +) 0} = {(,) R 2 0 e } Temos portanto, que o domínio da função é todo plano, ecetuando as retas = 0 e = (figura ao lado). 3.5 CurvasdeNíveldeFunçõesReais deduas Variáveis Seja f : Dom(f) R 2 R. Conforme já sabemos, dado k Im(f), temos que o conjunto de nível da função f correspondente ao nível k é o subconjunto do domínio dado por C k (f) = {(,) Dom(f) f(,) = k}. No caso em questão, que é o das funções reais de duas variáveis reais, os conjuntos de nível de f são curvas. Por este motivo, os conjuntos de nível de funções reais de duas variáveis reais são chamados de curvas de nível. Em alguns casos, para certos valores de k, pode acontecer das curvas de nível se degenerarem em pontos, conforme veremos nos eemplos. Conforme mencionado, as curvas de nível são muito úteis para se ter uma visão do comportamento da função. Isto porque, elas nos fornecem todos os pontos do domínio que possuem a mesma imagem. Desta forma, se, para valores significativos de k na imagem da função, conhecêssemos suas curvas de nível k, poderíamos ter uma boa ideia do gráfico de f, pelo menos de uma forma discretiada. Para isto, pegaríamos as curva de nível de f referentes a k e as colocaríamos no plano = k. Observação 3.5.: Como sabemos que f é constante ao longo das curvas de nível, observe que duas curvas de nível de uma função f correspondentes aos níveis k e k 2, onde k k 2, não podem se interceptar. Vamos agora faer alguns eemplos. Eemplo 3.5.: Determine e esboce as curvas de nível das funções dadas abaio.

7 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise a) f (,) = +. b) f 2 (,) = c) f 3 (,) = 2 2. d) f 4 (,) = e (2 + 2). e) f 5 (,) = 2. f) f 6 (,) =. g) f 7 (,) = ln( ). Solução: a) Neste caso, observe que Dom(f ) = R 2 e que Im(f ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f é dado por C k (f ) = {(,) R 2 + = k}. Ou seja, as curvas de nível k de f são retas + = k. Por eemplo, para k = 0, temos a reta = ; para k =, temos a reta = +; para k = 2, temos a reta = +2; para k =, temos a reta = ; para k = 2, temos a reta = 2. As curvas de nível de f encontram-se esboçadas abaio. A curva de nível k = 0 está esboçada em aul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. b) Neste caso, observe que Dom(f 2 ) = R 2 e que Im(f 2 ) = { R 0}. Desta forma, temos que, para todo k 0 real, o conjunto de nível k de f 2 é dado por C k (f 2 ) = {(,) R = k}. Observe que, para k = 0, temos apenas o ponto (0,0), i.e. C 0 (f 2 ) = {(0,0)}. Já para k > 0, temos que as curvas de nível k > 0 de f 2 são circunferências = k, i. e. circunferências de raio k e centro na origem. Por eemplo, para k =, temos a circunferência = ; para k = 2, temos a circunferência = 2; para k = 3, temos a circunferência = 3; para k = 4, temos a circunferência = 4. As curvas de nível de f 2 encontram-se esboçadas abaio. A curva de nível k = 0 (a

8 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise origem) está esboçada em aul e as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde. c) Neste caso, observe que Dom(f 3 ) = R 2 e que Im(f 3 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f 3 é dado por C k (f 3 ) = {(,) R = k}. Observe que, para k = 0, temos que 2 2 = 0 2 = 2 = = ou =, i.e. as curvas de nível ero são as retas = e =. Já para k > 0, temos que as curvas de nível k > 0 de f 3 são as hipérboles 2 2 = k > 0, i. e. hipérboles cujos focos estão no eio. Contudo, para k < 0, temos que as curvas de nível k < 0 de f 3 são as hipérboles 2 2 = k < 0, i. e. hipérboles cujos focos estão no eio. Por eemplo, para k = 0, temos as retas = e = ; para k =, temos a hipérbole 2 2 = ; para k = 2, temos a hipérbole 2 2 = 2; para k =, temos a hipérbole 2 2 = ; para k = 2, temos a hipérbole 2 2 = 2. As curvas de nível de f 3 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 (retas) estão esboçadas em aul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. d) Neste caso, observe que Dom(f 4 ) = R 2. Quanto à imagem de f 4, note que ( ) 0, (,) R 2. Desta forma, tomando a eponencial de ambos os lados da inequação, encontramos que e (2 + 2), (,) R 2. Além disso, como a função eponencial é sempre maior

9 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise do que ero, temos que 0 < e (2 + 2), (,) R 2. Concluímos assim que, Im(f 4 ) = (0,]. Portanto, se k (0,], o conjunto de nível k de f 4 é dado por { } C k (f 4 ) = (,) R 2 e ( 2 + 2) = k Observe que e (2 + 2) = k ( ) = lnk = lnk. Desta forma, para k =, temos que de modo que e, para k (0,), temos que C k (f 4 ) = = ln = 0 = 0 e = 0, C (f 4 ) = {(0,0)} { (,) R = lnk = ln }, k isto é, as curvas de nível k de f 4, para k (0,) são circunferências de centro na origem e raio lnk= ln k. Vejamos a seguir eemplos de algumas curvas de nível de f 4. Para k =, temos o ponto (,) = (0,0); para k = /2, temos a circunferência = ln 2 = ln2; para k = /6, temos a circunferência = ln 6 = ln6; para k = /0, temos a circunferência = ln 0 = ln0. As curvas de nível de f 4 encontram-se esboçadas abaio. Observe que precisamos faer pequenas manipulações para encontrar a imagem de f 4. Caso tivéssemos tido alguma dificuldade em descobrir que 0 < e (2 + 2) <,

10 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise (,) R 2, um procedimento que podemos adotar é supor que k é um elemento na imagem da função e partir para a descoberta dos conjuntos de nível. No caso, apenas suporíamos que k Im(f 4 ) e tentaríamos resolver a equação e (2 + 2) = k. Durante o processo, as restrições sobre k se evidenciariam. De fato, constatamos que só há soluções (,) Dom(f 4 ) = R 2 para a equação e (2 + 2) = k = lnk, quando lnk 0. Desta forma, devemos ter lnk 0 lnk 0 0 < k. Oquefiemosdeumaformareversafoidescobrirquesolucionamosaequaçãoe (2 + 2) = k, (,) R 2 se e somente se 0 < k. Isto equivale a dier que Im(f 4 ) = (0,]. e) Neste caso, observe que Dom(f 5 ) = R 2. Quanto à imagem de f 5, como 2 0, (,) R 2, temos que 2 0, (,), ou seja, 2, (,). Desta forma, temos que Im(f 5 ) = (,]. Portanto, se k (,],o conjunto de nível k de f 5 é dado por { } C k (f 5 ) = (,) R 2 2 = k. Desta forma, para k =, temos que } C (f 5 ) = {(,) R 2 = 0 e para k (,), temos que C k (f 5 ) = {(,) R 2 } = k ou = k. Ou seja, o conjunto de nível k = de f 5 é o eio e o conjunto de nível k de f 5, para k (,) é formado pelas retas = k e = k. Vejamos a seguir eemplos de algumas curvas de nível de f 5. Para k =, temos a reta = 0; para k = /2, temos as retas = para k = /6, temos as retas = para k = /0, temos as retas = e = 2 ; para k = /20, temos as retas = 5 0 = ; e = ; e = 5 0 ; As curvas de nível de f 5 encontram-se esboçadas abaio. Os conjuntos de nível k = 0 estão esboçadas em aul, os conjuntos de nível 0 < k < estão esboçadas em verde e

11 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise os conjuntos de nível < k < 0 estão esboçadas em rosa. Se tivéssemos tido dificuldade em encontrar a imagem de f 5, poderíamos ter utiliado a sugestão dada no item anterior. Isto é, apenas suporíamos que k Im(f 5 ) e tentaríamos descobrir as curvas de nível k de f 5. Desta forma, teríamos que solucionar 2 = k. Neste processo, ao tentarmos resolver a equação 2 = k, constatamos que só há soluções (,) Dom(f 5 ) = R 2 para a equação 2 = k 2 = k, quando k (,]. A tradução deste resultado é de que Im(f 5 ) = (,]. f) Neste caso, observe que Dom(f 6 ) = {(,) R 2 } e que Im(f 6 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f 6 é dado por C k (f 6 ) = {(,) Dom(f 6 ) = k( )}, ou seja, as curvas de nível k de f 6 são retas = k( ). Por eemplo, para k = 0, temos a reta = 0; para k =, temos a reta = ; para k = 2, temos a reta = 2 2; para k =, temos a reta = +; para k = 2, temos a reta = 2+2. As curvas de nível de f 6 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 (semi-retas) estão esboçadas em aul, as curvas de nível k > 0 (semi-retas) estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 (semi-retas) estão esboçadas em rosa.

12 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise g) Neste caso, observe que Dom(f 7 ) = {(,) R 2 > } e que Im(f 7 ) = R. Desta forma, temos que, para todo k real, o conjunto de nível k de f 7 é dado por C k (f 7 ) = {(,) Dom(f 7 ) ln( ) = k}. Como ln( ) = k = e k = +e k, temos que as curvas de nível k de f são as hipérboles = +e k. Por eemplo, para k = 0, temos a hipérbole = 2; para k =, temos a hipérbole = +e; para k = 2, temos a hipérbole = +e 2 ; para k =, temos a hipérbole = = + e ; para k = 2, temos a hipérbole = = + e 2. As curvas de nível de f 7 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 estão esboçadas em aul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. Vamos agora passar aos gráficos de funções reais de duas variáveis. Portanto, é interessante que você faça uma revisão de planos, cilindros, esferas, superfícies de revolução e superfícies quádricas em geral. No Apêndice, temos uma revisão destes tópicos. Não deie de estudá-los. 3.6 Gráficos de Funções Reais de Duas Variáveis Seja f : Dom(f) R 2 R. Conforme já sabemos, temos que o gráfico da função f é o subconjunto de R 3 dado por Gr(f) = {(,,f(,)) R 3 (,) Dom(f)}.

13 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise No caso em questão, que é o das funções reais de duas variáveis reais, atente para o fato de que os gráficos destas funções estão em R 3. A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis é uma tarefa que pode ser muito difícil. Por isto, em alguns casos nos contentamos em visualiar as curvas de nível. Vamos agora faer alguns eemplos que não estão entre os mais difíceis. Eemplo 3.6.: Determine e esboce os gráficos das funções dadas abaio. Use as curvas de nível encontradas no Eemplo 3.5., se achar necessário. a) h (,) = +. b) h 2 (,) = c) h 3 (,) = 2 2. d) h 4 (,) = e (2 + 2). e) h 5 (,) = 2. f) h 6 (,) =. g) h 7 (,) = ln( ). Solução: a) Temos que o gráfico de h é dado por Gr(h ) = {(,,+) R 3 (,) R 2 }. Temos portanto, que o gráfico da função é o plano = +, que é o plano que contém a origem e é perpendicular aos vetores (,, ) e (,,) (figura ao lado). b) Temos que o gráfico de h 2 é dado por Gr(h 2 ) = {(,, ) R 3 (,) R 2 }. Temos portanto, que o gráfico da função é o parabolóide = (figura ao lado).

14 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise c) Temos que o gráfico de h 3 é dado por Gr(h 3 ) = {(,, 2 2 ) R 3 (,) R 2 }. Temos portanto, que o gráfico da função é o parabolóide hiperbólico = 2 2 (figura ao lado). d) Temos que o gráfico de h 4 é dado por {( ) } Gr(h 4 ) =,,e (2 + 2 ) R 3 (,) R 2. Neste caso, observe que, as variáveis e só aparece na forma ( ) 2. Estamos portanto diante de uma superfície de revolução. Desta forma, para descobrir a função = f() (ou = g()), cuja rotação do gráfico resultou na superfície em questão, vamos substituir o termo ( ) na epressão de h 4 por 2 (ou por 2 ). Encontramos assim, a função = f() = e 2 ( ou a função = g() = e 2 ). Temos então, que o gráfico de h 4 é a superfície gerada pela rotação da curva = e 2, no plano, em torno do eio (ou, oque dá no mesmo, a rotação da curva = e 2, no plano, em torno do eio ) (figura ao lado). e) Temos que o gráfico de h 5 é dado por Gr(h 5 ) = {(,, 2) R 3 (,) R 2}. Neste caso, observe que, no plano, a equação = 2, é a equação de uma parábola. Portanto, em R 3, a equação = 2 é a equação de um cilindro cuja diretri é a parábola = 2, no plano, e cuja geratri é paralela ao eio. Este cilindro é chamado de cilindro parabólico (figura ao lado).

15 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise f) Temos que o gráfico de h 6 é dado por {( ) } Gr(h 6 ) =,, R 3. Lembre-se que vimos, no Eemplo 3.3. (e), que Dom(h 6 ) = {(,) R 2 }. Na figura ao lado, temos o gráfico esboçado pelo Maple V. Embora seja difícil visualiar, procure observar que a reta dada pela interseção dos planos = e = 0 (reta paralela ao eio que contém o ponto (,0,0)) não pertence ao gráfico da função. Mais ainda, temos que o gráfico de h 6 não intercepta o plano = e, quanto mais o valor daabscissa depontos(,)dodomínioseaproimamde =, maior, em módulo, será a imagem deste ponto. Imagine mais ou menos uma vareta infinita sobre o eio, transpassada pelo eio paralelo ao eio que contém o ponto (,0,0), de forma que consiga girar em torno deste. Então, imagine a vareta girando em sentido anti-horário, ao mesmo tempo que vai subindo ao longo do eio de rotação. Quanto mais a vareta estiver se aproimando do plano =, mais afastada ela irá ficando do plano. Por outro lado, imagine a vareta girando em sentido horário, ao mesmo tempo que vai descendo aolongodo eio derotação. Quantomais a vareta também estiver se aproimando do plano =, mais afastada ela irá ficando do plano. Mais distante do plano estará, quanto mais estiver se aproimando do plano =. Note que o processo de colocar as curvas de nível k na altura = k, facilita a visualiação do gráfico. g) Temos que o gráfico de h 7 é dado por Gr(h 7 ) = {(,,ln( )) R 3 (,) Dom(h 7 )}. Lembre-se que vimos, no Eemplo 3.3. (f), que Dom(h 7 ) = {(,) R 2 > }. Na figura ao lado temos o esboço do gráfico da função realiado pelo Maple V. Apesar de ser de difícil visualiação, observe que o processo de colocar as curvas de nível k na altura = k, fa com que o gráfico de h 7 esboçado pareça bastante raoável.

16 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Vamos agora nos concentrar em funções reais de três variáveis reais. 3.7 Funções Reais de Três Variáveis Reais Vamos estudar agora com mais detalhes as funções reais de três variáveis reais. Isto é, funções f da forma f : Dom(f) R 3 R (,,) f(,,). Vamos iniciar identificando e esboçando o domínio de algumas funções de três variáveis reais. Eemplo 3.7.: Determine e esboce o domínio das funções definidas pelas epressões abaio. a) f (,,) = b) f 2 (,,) =. c) f 3 (,,) =, 0, 0 e 0. Solução: a) Neste caso, para podermos calcular a rai de 2 2 2, que aparece na epressão de f, devemos ter Desta forma, segue que Dom(f ) = {(,,) R }. Temos portanto, que o domínio da função é a esfera = e seu interior (figura ao lado). b) Neste caso, para podermos calcular a rai de que aparece na epressão de f 2, devemos ter 0. Portanto, segue que Dom(f 2 ) = {(,,) R 3 }. Temos portanto, que o domínio da função f 2 é a região do espaço abaio do plano =, incluindo o próprio plano =.

17 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise c)nestecaso, parapodermoscalculararaide que aparecena epressão def 3, devemos ter 0. Alémdisso, comootermo estáno denominadordafunçãof 3, énecessário ter 0. Portanto, segue que Dom(f 3 ) = {(,,) R 3 ++ <, 0, 0 e 0}. Temos portanto, que o domínio da função f 3 é a região do primeiro octantelimitada pelo do plano ++ =, ecluindo o próprio plano + + =. 3.8 Eemplos de Funções Reais de Três Variáveis Reais Veremos a seguir eemplos de alguns tipos de funções reais de três variáveis reais. Eemplo 3.8.: (Função Polinomial) Uma função polinomial de três variáveis reais a valores reais é uma função f : R 3 R dada por f(,,) = a mnk n m k, m+n+k p onde p é um natural fio e os coeficientes a mnk são números reais dados. A soma é estendida a todas soluções (m,n,k), m, n e k naturais, da inequação m+n+k p. Eemplo: f(,,) = Eemplo 3.8.2: (Função Afim) Uma função afim de três variáveis reais a valores reais é uma função f : R 3 R dada por f(,,) = a+b +c +d, onde a, b, c e d são números reais dados. 5 Eemplo: f(,,) = Eemplo 3.8.3: (Função Linear) Uma função linear de três variáveis reais a valores reais é uma função f : R 3 R dada por f(,,) = a+b +c,

18 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise onde a, b e c são números reais dados. Eemplo: f(,,) = Eemplo 3.8.4: (Função Racional) Uma função racional de três variáveis reais a valores reais é uma função f : Dom(f) R 3 R dada por f(,,) = p(,,) q(,,), ondepeq sãofunçõespolinomiaisdadas. Temos, nestecaso, quedom(f) = {(,,) R 3 q(,,) 0}. Eemplo: f(,,) = Neste caso, observe que + Dom(f) = {(,,) R 3 + 0} = {(,,) R 3 ( +) 0} = {(,,) R 3 0 e + 0}. Portanto, o domínio de f é todo R 3, menos o plano = 0 e plano + = Superfícies de Nível de Funções Reais de Três Variáveis Seja f : Dom(f) R 3 R. Conforme já sabemos, dado k Im(f), temos que o conjunto de nível da função f correspondente ao nível k é o subconjunto do domínio dado por S k (f) = {(,,) Dom(f) f(,,)) = k}. No caso em questão, que é o das funções reais de três variáveis reais, os conjuntos de nível de f são superfícies. Por este motivo, os conjuntos de nível de funções reais de três variáveis reais são chamados de superfícies de nível. Em alguns casos, temos que superfícies de nível podem se degenerar em curvas e até em pontos. Observação 3.9.: Como sabemos que f é constante ao longo das superfícies de nível, observe que duas superfícies de nível de uma função f correspondentes aos níveis k e k 2, onde k k 2, não podem se interceptar. Vamos agora faer alguns eemplos.

19 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 3.9.: Determine e esboce as superfícies de nível das funções dadas abaio. a) h (,,) =. b) h 2 (,,) = c) h 3 (,,) = d) h 4 (,,) =, 0, 0 e 0. e) h 5 (,,) = Solução: a) Neste caso, observe que Dom(h ) = R 3 e que Im(h ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, as superfícies de h correspondentes ao nível k são dadas por S k (h ) = {(,,) R 3 = k}, ou seja, as superfícies de nível de h são planos paralelos ao plano. Por eemplo, para k = 0, temos o plano = 0; para k =, temos o plano = ; para k = 2, temos o plano = 2; para k =, temos o plano = ; para k = 2, temos o plano = 2. As superfícies de nível de h encontram-se esboçadas ao lado. b) Neste caso, observe que Dom(h 2 ) = R 3 e que a imagem de h 2 é Im(h 2 ) = {k R k 0}. Desta forma, temos que para todo k 0, as superfícies de nível de h 2 correspondentes ao nível k são dadas por S k (h 2 ) = {(,,) R = k}. Observe que para k = 0, temos que a superfície de nível de h 2 é da forma = 0, o que corresponde ao eio. Já para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 2 correspondente ao nível k é da forma = k > 0, o que corresponde a cilindros circulares retos concêntricos (figura ao lado). De fato, por eemplo para k = 0, temos = 0 = 0 e = 0, que é a reta (,,) = (0,0,), R; para k =, temos o cilindro = ; para k = 2, temos o cilindro = 2; para k = 3, temos o cilindro = 3.

20 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise c) Neste caso, observe que Dom(h 3 ) = R 3 e que a imagem de h 3 é Im(h 3 ) = {k R k 0}. Desta forma, temos que para todo k 0, as superfícies de nível de h 3 correspondentes ao nível k são dadas por S k (h 3 ) = {(,,) R = k}. Observe que para k = 0, temos que a superfície de nível de h 3 se degenera em apenas um ponto, que é a origem (0,0,0). Já para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 3 correspondente ao nível k é da forma = k > 0, o que corresponde a elipsóides concêntricos (figura ao lado). De fato, por eemplo para k = 0, temos = 0 = 0, = 0 e = 0, que é a origem (0,0,0); para k =, temos o elipsóide = ; para k = 2, temos o elipsóide = 2; para k = 3, temos o elipsóide = 3. d) Neste caso, observe que e que a imagem de h 4 é Dom(h 4 ) = {(,,) R <, 0, 0, 0} Im(h 4 ) = {k R k }. De fato, como + + <, 0, 0, 0, temos que < < 0 0 <, de modo que e, portanto,. Desta forma, temos que, para todo k, as superfícies de nível de h 4 correspondentes ao nível k são dadas por { } S k (h 4 ) = (,,) Dom(h 4 ) = k { } = (,,) Dom(h 4 ) = k { = (,,) Dom(h 4 ) = } k { 2 = (,,) Dom(h 4 ) + + = } k 2

21 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Portanto, temos que as superfícies de nível de h 4 correspondentes ao nível k (k ) são da forma + + = k2, o que corresponde a planos paralelos ao plano + + =, contidos no tetraedro + + <, 0, 0, 0 (ecetuando a face + + = ) (figura abaio). Por eemplo, para k =, temos + + = 0 = 0, = 0 e = 0, pois 0, 0, 0; para k = 2, temos o plano + + = 4 ; para k = 3, temos o plano + + = 9 ; para k = 4, temos o plano + + = 6. Se tivéssemos tido dificuldade em encontrar a imagem de h 4, poderíamos utiliar a forma reversa utiliada para funções reais de duas variáveis, que consiste em apenas supor que k Im(h 4 ) e tentar descobrir as superfícies de nível k de h 4, esperando que, neste processo, as restrições sobre k se tornem claras. Desta forma, teríamos que solucionar = k, k Im(h 4 ). Sendo assim, temos que = k,k > 0 = k,k > 0 = = k2, k > 0 e < = + + = k2, k > 0 e <. Neste processo, constatamos que só há soluções para (,,) Dom(h 4 ) para a equação = k se

22 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise k 2 ( = + + ) <, k > 0 k 2 < 0, k > 0 0 < k 2, k > 0 k 2, k > 0 k Isto significa que Im(h 4 ) = [, ). e) Neste caso, observe que Dom(h 5 ) = R 3 e que Im(h 5 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, as superfícies de nível de h 5 correspondentes ao nível k são da forma S k (h 5 ) = {(,,) R = k}. Portanto, vamos ter três casos diferentes: para k = 0, temos que as superfície de nível de h 5 é o cone = 0; para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 5 correspondente ao nível k é da forma = k. Temos assim, que as superfícies de nível de h 5 são hiperbolóides de uma folha; para cada k < 0, temos que a superfície de nível de h 5 correspondente ao nível k é da forma = k. Temos assim, que as superfícies de nível de h 5 são hiperbolóides de duas folhas. 3.0 Gráficos de Funções Reais de Três Variáveis

23 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Seja f : Dom(f) R 3 R. Conforme já sabemos, temos que o gráfico da função f é o subconjunto de R 4 dado por Gr(f) = {(,,,f(,,)) R 4 (,,) Dom(f)}. No caso em questão, que são o das funções reais de três variáveis reais, atente para o fato de que os gráficos destas funções estão em R 4, de modo que não é possível esboçálos. Eemplo 3.9.: Determine o gráfico da função f(,,) = Solução: Gr(f) = {(,,, ) R 4 (,,) R 3 }. 3. Eercícios Eercício 3..: Determine e esboce as curvas de nível da função f(,) = e 2. Resposta: Temos que Dom(f) = R 2 e Im(f) = (0, ). As curvas de nível k, para k > 0, são dadas por C k (f) = {(,) R 2 e 2 = k} = {(,) R 2 2 = lnk}. Observe que se k =, temos que 2 = 0 = 0 ou = 0. Portanto, as curvas de nível de f são os eios coordenados. Se 0 < k < ou se k >, as curvas de nível de f são dadas pela equação = lnk. Note que se 0 < k <, lnk < 0, de modo que as 2 curvas estão abaio do eio e se k >, lnk > 0, de modo que as curvas estão acima do eio. Abaio temos um esboço das curvas de nível. Ascurvasdenível k = (eioscoordenados)estãoesboçadasemaul, ascurvasdenível k > estão esboçadas em verde e as curvas de nível 0 < k < estão esboçadas em rosa.

24 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eercício 3..2: Determine e esboce as curvas de nível da função f(,) = +. Resposta: Inicialmente, observe que Dom(f) = {(,) R 2 } e que Im(f) = R. Desta forma, temos que, para todo k real, o conjunto de nível k de f é dado por { } C k (f) = (,) Dom(f) + = k. Para k = 0, temos que as curvas de nível ero de f são as semi-retas = 0 e = 0, (,) (0,0). Já se k 0, temos que = k = k(+) ( k) = k, +. Portanto, a curva de nível k 0 de f é o gráfico das função g k () = k k, k, retirando os pontos que pertencem à reta = (pois estes pontos não pertencem ao domínio de f). Para descobrir que pontos do gráfico de g k devem ser retirados, procedemos com a seguir. e = k k k k 2 k k 0. Desta forma, então temos que as curvas de nível ero de f são as semi-retas = 0 e = 0, (,) (0,0) e que as curvas de nível k 0 de f são formadas pelos gráficos das função g k () = k, k, retirando-se a origem. k Abaio, temos eemplos de curvas de nível de f relativas a diferentes valores de k escolhidos. Para k =, a curva de nível de f é dada por =, com 0. Para k = 2, a curva de nível de f é dada por que = 2, com 0. 2 Para k = 3, a curva de nível de f é dada por que = 3, com 0. 3 Para k =, a curva de nível de f é dada por que =, com 0. + Para k = 2, a curva de nível de f é dada por que = 2, com Para k = 3, a curva de nível de f é dada por que = 3, com Algumas curvas de nível de f encontram-se esboçadas abaio.

25 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eercício 3..3: Determine e esboce o gráfico e as curvas de nível da função { 4 f(,) = , se ( ), se ,. Eercício 3..4: Determine e esboce as curvas de nível da função f(,) = Solução: f) Neste caso, observe que Dom(f 6 ) = R 2 \{(0,0)}. Como a imagem de f 6 não é imediata, diferente do que aconteceu nos eemplos anteriores, vamos deiar para determiná-la mais tarde. Supondo então conhecida a imagem de f 6, temos que, para todo k Im(f 6 ), o conjunto de nível k de f 6 é dado por C k (f 6 ) = { (,) Dom(f 6 ) = k Observe que k = 0 Im(f 6 ), e que o conjunto de nível 0 de f 6 é dado por }. C 0 (f 6 ) = {(,) Dom(f 6 ) = 0 ou = 0}. Vamos supor agora que k 0 é um elemento da Im(f 6 ). Desenvolvendo então a

26 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise igualdade = k, para 0 k Im(f 6), temos que = k 2 = k 2 +k 4 k 2 2 +k 4 = 0. Resolvendo a equação acima em, segue que = 2 ± 2 4k 2. 2k De posse da equação anterior, temos que, dado real, 0, para obtermos real, devemos ter que 4k 2 0,k 0 k 2 4,k 0 k 2 [,k 0 k 2 ) (,0 0, ]. Sendo assim, para k [ 2 ) ( 2,0 0, ], temos que o conjunto de 2 nível k de f 6 é dado por C k (f 6 ) = { ( )} ± 4k (,) Dom(f 6 ) = 2 2, 2k ou seja, as curvas de nível k (k 0) de f 6 são as parábolas = 2 ( ± 4k 2 com (,) (0,0). Por eemplo, para k = /2, temos a parábola = 2, (,) ( (0,0); para k = /3, temos as parábolas = 2 3+ ) 5 2 e = 2 ( 2k ), 3 ) 5, (,) 2 (0,0); para k = /4, temos as parábolas = 2( 2+ 3 ) e = 2( 2 3 ), (,) (0,0); para k = /2, temos a parábola = 2, (,) (0,0); para k = /3, temos as parábolas = 2 ( ) e = 2 ( 3 ) 5, 2 (,) (0,0); para k = /4, temos as parábolas = 2( 2+ 3 ) e = 2( 2 3 ), (,) (0,0); As curvas de nível de f 6 encontram-se esboçadas abaio. Observe que, de acordo com as observações anteriores, [ só encontramos soluções 2 e reais para a equação = k quando k , ]. Isto significa que 2 Im(f 6 ) = [ 2, 2 ].

27 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eercício 3..5: Faça os eercícios da Lista.