Plano tangente e reta normal

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 15 Assunto: Plano tangente, reta normal, vetor gradiente e regra da cadeia Palavras-chaves: plano tangente, reta normal, gradiente, função composta, regra da cadeia Plano tangente e reta normal Sejam fx, y uma função diferenciável em x 0, y 0, I e J intervalos abertos com x 0 I e y 0 J e tais que x, y 0, x 0, y D f, para quaisquer x I e y J e α : I R 2 e γ : J R 2 curvas denidas por αx = x, y 0, fx, y 0 e γy = x 0, y, fx 0, y A imagem de cada uma dessas curvas pertencem ai gráco de f. Logo α x 0 e γ y 0 são vetores tangentes ao gráco de f em x 0, y 0, fx 0, y 0. α x 0 = 1, 0, x 0, y 0 e γ y 0 = 0, 1, y x 0, y 0

2 O vetor n = γ yo α x 0 é um vetor normal do gráco em x 0, y 0, fx 0, y 0. Temos que n = i j k y x 0, y 0 x 0, y 0 = x 0, y 0, y x 0, y 0, 1 O plano que passa por x 0, y 0, fx 0, y 0 e é perpendicular ao vetor n é chamado de plano tangente ao gráco de fx, y no ponto x 0, y 0, fx 0, y 0. Esse ponto é chamado de ponto de tangência entre o gráco de f e o plano tangente. A reta que passa por x 0, y 0, fx 0, y 0 e tem a direção do vetor n é chamada de reta normal ao gráco de f em x 0, y 0, fx 0, y 0. Podemos obter uma equação para o plano tangente ao gráco de fx, y em x 0, y 0, fx 0, y 0 observando que, se x, y, z é um ponto genérico desse plano, então x, y, z x 0, y 0, fx 0, y 0 n Logo, 2

3 x x 0, y y 0, z fx 0, y 0. n x x 0, y y 0, z fx 0, y 0. x 0, y 0, y x 0, y 0, 1 x 0, y 0 x x 0 + y x 0, y 0 y y 0 z + fx 0, y 0, z = x 0, y 0 x x 0 + y x 0, y 0 y y 0 + fx 0, y 0 Uma equação vetorial para a reta normal ao gráco de fx, y no ponto x 0, y 0, fx 0, y 0 é dada por x, y, z = x 0, y 0, fx 0, y 0 + λ n ; λ R ou seja, x, y, z = x 0, y 0, fx 0, y 0 + λ x 0, y 0, y x 0, y 0, 1 Exemplo 1 Determine as equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráco de fx, y = x 2 +y 2 no ponto 1, 1, 2 Resolução: Neste caso, temos que Então x 0, y 0, fx 0, y 0 = 1, 1, 2 x 0 = 1, y 0 = 1 A equação do plano tangente será Sabe-se que fx 0, y 0 = f1, 1 = = 2 z = 1, 1x 1 + 1, 1y 1 + f1, 1 y x, y = 2x 1, 1 = 2 x, y = 2y 1, 1 = 2 y y 3

4 A equação da reta normal é dada por z = 2x 1 + 2y = z = 2x + 2y - 2 x = 1 + 2λ y = 1 + 2λ λ R z = 2 λ x, y, z = 1, 1, f1, 1 + λ = 1, 1, 2 + λ2, 2, 1 =, 1 + 2λ, 1 + 2λ, 2 λ A seguir descrevemos uma utilidade do plano tangente. 1, 1, 1, 1, 1 y e Sabemos que se fx, y é diferenciável em x 0, y 0, então existem as derivadas parciais de fx, y em x 0, y 0 fx 0 + h, y 0 + k fx 0, y 0 x 0, y 0 h y x 0, y 0 k h,k 0,0 h, k Façamos a seguinte mudança de variável x = x 0 + h h = x x 0 y = y 0 + k k = y y 0 h, k 0, 0 x, y x 0, y 0 Assim, teremos que: fx, y fx 0, y 0 x 0, y 0 x x 0 y x 0, y 0 y y 0 x,y x 0,y 0 x x 0, y y 0 [ ] fx, y x 0, y 0 x x 0 + y x 0, y 0 y y 0 + fx 0, y 0 x,y x 0,y 0 x x 0, y y 0 A expressão entre colchete é justamente a equação que obtivemos do plano tangente ao gráco de fx, y em x 0, y 0. Vamos denotar por T x, y a função cujo o gráco é esse plano tangente. Assim, teremos Logo T x, y = x 0, y 0 x x 0 + y x 0, y 0 y y 0 + fx 0, y 0 x,y x 0,y 0 fx, y T x, y x x 0, y y 0 4

5 Escrevendo Ex, y = fx, y T x, y, teremos x,y x 0,y 0 Ex, y x x 0, y y 0 Isso implica que Ex, y. x,y x 0,y 0 x x 0, y y 0. Se zermos a aproximação Na verdade, Ex, y tende para zero mais rapidamente que fx, y = T x, y o erro cometido, que é a função Ex, y, tende para zero mais rapidamente que x x 0, y y 0. Além disso, podemos provar que T x, y é a única função am com essa propriedade. Vetor Gradiente Seja fx 1, x 2,..., x n uma função que tem derivadas parciais em p 0 D f. O gradiente de f em p 0 é denido por fp 0 = p 0, p 0,..., p n Se fx, y é uma funçãod e duas variáveis que tem derivadas parciais em x 0, y 0, escreveremos fx 0, y 0 = x 0, y 0, y x 0, y 0 Para uma função de três variáveis fx, y, z que admite derivadas parciais em x 0, y 0, z 0 temos 5

6 fx 0, y 0, z 0 = x 0, y 0, z 0, y x 0, y 0, z 0, z x 0, y 0, z 0 Consideremos o gradiente de f em p 0 como sendo um vetor Exemplo 2 Determinte o gradiente da função fx, y = xy 2 no ponto 2, 1 e o represente gracamente. Resolução: fx, y = x, y, x, y = y 2, 2xy y Representação gráca: f2, 1 = 1 2, = 1, 4 Sabemos que uma função de uma variável y = fx é derivável ou diferenciável em x 0 o D f se o ite abaixo, que é igual a derivada de f em x 0, existe fx 0 + h fx 0 = f x 0 h 0 h [ ] fx0 + h fx 0 f x 0 h 0 h fx 0 + h fx 0 f x 0 h h 0 h h 0 fx 0 + h fx 0 f x 0 h h 1 Consideremos agora uma função de duas variáveis fx, y que é diferenciável em x 0 o D f. Temos que 6

7 fx 0 + h, y 0 + k fx 0, y 0 x 0, y 0 h y x 0, y 0 k h,k 0,0 h, k [ ] fx 0, y 0 + h, k fx 0, y 0 x 0, y 0 h + y x 0, y 0 k h,k 0,0 h, k fx 0, y 0 + h, k fx 0, y 0 x 0, y 0, y x 0, y 0.h, k h,k 0,0 h, k fx 0, y 0 + h, k fx 0, y 0 fx 0, y 0.h, k h,k 0,0 h, k O papel que o gradiente fx 0, y 0 de f em x 0, y 0 cumpri nessa igualdade, é muito semelhante ao papel que a derivada de fx cumpri na igualdade 1. Por essa razão diremos que o gradiente fx 0, y 0 é a derivada de fx, y em x 0, y 0 e aescrevemos assim f x 0, y 0 = fx 0, y 0 Regra da Cadeia Exemplo 3 Consideremos a função fx 2 y + y 3 e a curva αt = t 2, 2t. Tanto f quanto α são funções diferenciáveis. Denotemos por F a função composta de f com α, ou seja, F t = fαt., F t é uma função diferenciável e F t = ft 2, 2t = t 2 2 α2t + 2t 3 = 2t 5 + 8t 3 F t = 10t t 2 Vamos agora observar que essa derivada também pode ser calculada pela fórmula F t = fαt.α t. Com efeito, fx, y = x, y, x, y y = 2xy, x 2 + 3y 2 ; fαt = ft 2, 2t = 2t 2.2t, t t 2 = 4t 3, t t 2 7

8 Sabe-se que α t = 2t, 2. Então: fαt.α t = 4t 3, t t 2.2t, 2 = 8t 4 + 2t t 2 = 8t 4 + 2t t 2 = 10t t 2 F t = fαt.α t A fórmula F t = fαt.α t é chamada de regra da cadeia e é proveniente do seguinte teorema Teorema 1 Sejam f : A R n R com A aberto e α : I R R n, tal que αt A, para todo t I. Se α é diferenciável em t 0 e f é diferenciável em αt 0, então F t = fαt é diferenciável em t 0 e F t = fαt 0.α t 0 Quando, no teorema anterior, n = 2, temos uma função z = fx, y e uma curva αt = xt, yt. Logo F t = fαt.α t Usando a notação de Leibniz, temos: = fxt, yt.x t, y t = xt, yt, xt, yt.x t, y t y = xt, ytx t + y xt, yty t df dt = xt, ytdx dt + xt, ytdy y dt Escrevemos essa igualdade de maneira abreviada como df dt = dx dt + dy y dt em que ca subentendido que as derivadas parciais devem ser calculadas em xt, yt Exemplo 4 Sejam z = xy 2 + 2y, x = 2t, y = sin t. Calcule dt Resolução: 8

9 1 processo: Temos então que z = xy 2 + 2y, x = 2t, y = sin t, logo z = 2tsin t sin t = 2t sin 2 t + 2 sin t dt = 2sin2 t + 2t sin t cos t + 2 cos t = 2 sin 2 t + 4t sin t cos t + 2 cos t 2 processo: Usando a notação de Leibniz Então dt = z dx dt + z dy y dt dx = y2 z 2t, sin t = sin2 t dy z = 2xy + 2 2t, sin t = 4t sin t + 2 y Sabemos que t = 2 e y = cos t, portanto t dt = sin 2 t2 + 4t sin t + 2 cos t = 2sin 2 t + 4t sin t cot +2 cos t Exemplo 5 Seja F t = f2e 3t, t 2, em que fx, y é uma função diferenciável em R 2. Calcule F 0 sabendo que = 1 2. Resolução: Temos então que : F t = dx dt + dy y dt = 2e3t, t 2 6e 3t + y 2e3t, t 2 2t F 0 = 2, = = 3 2, 02.0 y 9