Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de

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1 Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática Notas de Aulas de Cálculo Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que foram elaboradas para orientar o estudo de conteúdos básicos de Matemática para o curso de Licenciatura em Matemática. Montes Claros, - 24 de março de 2012

2 Capítulo 1 Introdução 1.1 Coordenadas Cartesianas Plano Os pontos de um plano são identificados com pares ordenados de números naturais reais; P = (x, y), sendo x a abscissa de P e y a ordenada de P Espaço Os pontos do espaço são identificados com ternos ordenados de números reais; P = (x, y, z), sendo x a abscissa de P, y a ordenada de P e z a cota de P. 1

3 1.2 Vetores Plano O par ordenado (x, y) é identificado com o vetor OP, sendo O a origem do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e P o ponto de coordenadas (x, y) Espaço Os vetores no espaço são introduzidos como ternos ordenados de números reais Operações i) (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) ii) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz); iii) o oposto do vetor v = (x, y, z), é o vetor v = ( 1) v = ( x, y, z); iv) (x, y, z) (x, y, z ) = (x, y, z) + ( 1)(x, y, z ) = (x x, y y, z z ). Nota = (0, 0, 0) é chamado vetor nulo Propriedades Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e os escalares λ e β temos, i) u + v = v + u ; ii) ( u + v ) + w = u + ( v + w ); iii) u + 0 = u ; iv) u + ( u ) = 0 ; v) (λ + β) u = λ u + β u ; vi) λ( u + v ) = λ u + λ v ; vii) (λβ) u = λ(β u ); 2

4 viii) 1 u = u. Demonstração i) Sejam u = (x, y, z) e v = (x, y, z ). Então u + v = (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) = (x + x, y + y, z + z) = (x, y, z ) + (x, y, z) = v + u. As demonstrações dos outros itens ficam como exercícios Norma Geometricamente, a norma de um vetor v = OP é o comprimento do segmento geométrico OP que representa o vetor. i na reta: x = x 2 = x ii no plano: v = (x, y), v = x 2 + y 2 iii espaço: v = (x, y, z), v = x 2 + y 2 + z Produto Escalar Definimos a adição e subtração de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar. Agora iremos definir uma operação de multiplicação de dois vetores, chamada produto escalar. Definição Se v 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e v 2 = (x 2, y 2, z 2 ), então o produto escalar de v 1 e v 2 é dado por v1 v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Exemplo (2, 3, 1) (5, 1, 2) = = 11 Propriedades Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar λ temos, i) u v = v u 3

5 ii) u ( v + w ) = u v + u w iii) (λ u ) v = λ( u v ) = u (λ v ); iv) u u = u 2 As demonstrações ficam como exercícios. Nota Sobre as posições relativas de duas retas, relembremos que: 1. Consideremos as retas r 1 e r 2, cujas equações paramétricas são dadas,respectivamente, por (x, y) = t(a 1, b 1 ) e (x, y) = t(a 2, b 2 ), 2. Sabemos que r 1 e r 2 são perpendiculares se, e somente se, b 1 a 1 b 2 a 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0, ou (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = 0 = 1, ou Assim, temos a seguinte definição. Definição Dizemos que os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se, e somente se, u v = 0. Interpretação geometrica do produto escalar i) u v = u v cos α; ii) seja w o vetor projeção do vetor v sobre o vetor u, então w = v cos α. como, u v = u v cos α = u ( v cos α) = u w, temos que o produto escalar de u e v é o comprimento de u multiplicado pelo comprimento da projeção de v sobre u. 4

6 1.4 Retas no espaço Definição Dois vetores u e v são colineares ou paralelos se existe um número r tal que u = r v. i) Conhecidos um ponto e um vetor: P P 0 = t(p 1 P 0 ) P = (1 t)p 0 + tp 1. Exemplos Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P 0 = (8, 12, 6), paralela ao vetor v = (11, 8, 10). P P 0 = t v (x, y, z) (8, 12, 6) = t(11, 8, 10) (x, y, z) = (8, 12, 6) + t(11, 8, 10). 1.5 Planos no espaço Equação de um plano por um ponto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), perpendicular a um vetor v = (a, b, c). P P 0 v, isto é, v (P P0 ) = 0, ou ou Observações a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ax + by + cz + d = 0. i) Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem paralelos; ii) Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais forem perpendiculares; iii) -plano:ax + by + cz + d = 0; η (a, b, c) -plano:xy(z = 0); η = (0, 0, 1) (a, b, c) (0, 0, 1) = 0 os dois planos são perpendiculares Um plano tendo uma equação sem termo em z é perpendicular ao plano xy e, portanto, paralelo ao eixo Oz. 5

7 iv) -plano:by + cz + d = 0 Perpendicular ao plano yz e portanto paralelo ao eixo Ox. v) -plano: ax + cz + d = 0 Perpendicular ao plano xz e portanto paralelo ao eixo Oy. Exemplo Determinar a reta interseção dos planos de equações x 2y + z 1 = 0 e 3x + y 2z 3 = 0. Resolvendo o sistema de equações obtemos x = 1 + 3zey = 5z. 7 7 Assim, temos as equações parametricas, x = 1 + 3t; y = 5 t; z = t. 7 7 Trata-se da reta que passa pelo ponto P 0 = (1, 0, 0) na direção do vetor v = ( 3, 5, 1). 7 7 Faça o mesmo para os planos de equações: z = 3x + 4 e z = 2y Bola aberta Definição Sejam a um ponto no R n e r > 0 um número real. O conjunto B(a; r) = {x R n ; x a < r} denomina-se bola aberta de centro a e raio r. -reta -plano -espaço B = {x R; x x 0 < r} B = {(x, y) R 2 ; (x, y) (x 0, y 0 ) < r} B = {(x, y, z) R 3 ; (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < r} 6

8 1.7 Conjunto aberto Definição Dizemos que (x 0, y 0 ) A é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x 0, y 0 ) contida em A. Exemplo A = {(x, y) R 2 ; x 0ey 0} i) Todo (x, y) com x > 0 e y > 0 é ponto interior de A; ii) Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0 não é ponto interior de A. Definição Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior. Exemplo O conjunto A acima não é aberto. 1.8 Ponto de acumulação Definição Seja um subconjunto do R 2 e seja (a, b) R 2 ((a, b) pode pertencer ou não a A). Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) A com (x, y) (a, b) Observação (a, b) é o ponto de acumulação de A se existirem pontos de A, distintosde (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira. Exemplos (1) A = {(x, y) R 2 ; x > 0 e y > 0} (i) Toda (x, y) com x 0 e y 0 é o ponto de acumulação de A; (ii) ( 1, 1) não é ponto de acumulação de A. 2 (2) A = {(1, 2), ( 1, 0), (1, 3)} não admite ponto de acumulação. 7

9 Exercícios 1. Marcar, num sistema de coordenadas, os pontos: (a) A = (2, 3, 4), B = (3, 2, 4), C = ( 2, 1, 3); (b) D = ( 3, 2, 1), E = ( 1, 2, 3), F = ( 2, 1, 3). 2. Nos itens abaixo, os pontos dados são vertices opostos de um paralelepipedo retângulo de arestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determinadas os outros seis vértices e fazer gráficos em cada caso: (a) A = (0, 1, 1) e B = (1, 0, 3); (b) A = (1, 2, 1) e B = (0, 3, 1). 3. Calcular a norma do vetor dado: (a) u = ( 1 2 ); (b) u = (0, 1, 2). 4. Calcular a distância entre os dois pontos dados: A = ( 1 1, 1, ) e ( 1, 1, 3) Dados A = ( 4, 2, 4), B = (2, 7, 1)eC = (5, 4, 3) calcular: (a) A (B + C); (b) (2A + 3B) (4C D); (c) (A B)(C D). 6. Determinar o ponto P tal que AP = 3AB, sendo A = (10, 3, 7) e B = (2, 1, 5). 7. Determinar o ângulo entre os vetores dados: (a) u = (1, 1, 1 2 ) e v = (1, 1, 4); (b) u = ( 2, 1, 0) e v = (0, 3, 2) 8. Determinar as equações paramétricas da reta pelos pontos dados: (a) A = (1, 2, 1) e B = (4, 1, 5); (b) A = (1, 7, 3) e B = ( 1, 7, 5). 10. Determinar as equações paramétricas da reta pela origem, perpendicular ao plano de equação 2x y + 3z 6 = 0. 8

10 11. Determinar o ponto de interseção do plano de equação 2x y 3z 4 = 0 com a reta pelo ponto (0, 1, 1), na direção do vetor (1, 2, 1). 12. NOs itens abaixo determinar equações paramétricas das retas interseções dos planos dados: (a) 2x y z 1 = 0 e x + y 2z + 7 = 0; (b) 2x y + 5z = 0 e x + y 5z = 10; (c) x = 4 e y = 5; (d) x + y = 0 e y + z = Determinar a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à direção do vetor η dado: (a) (1, 1, 1) e η = (2, 1, 3); (b) ((2, 1, 1) e η = ( 2, 1, 2). 14. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado: (a) (0, 1, 1) e x + 2y z = 3; (b) (2, 1, 1) e 2x + y + 3z = Determine um vetor não nulo que seja ortogonal aos vetores u e v dados: (a) u = (1, 2, 1) e v = (2, 1, 2); (b) u = (3, 2, 1) e v = ( 1, 2, 1). 16. Trace um esboço do plano com equação: (a) 2x + 4y + 3z = 8 (b) 3x + 2y 6z = Encontre a equação do plano que contém o ponto (4, 0, 2) e é perpendicular aos planos x y + z = 0 e 2x + y 4z 5 = Verificar quais dos conjuntos abaixo são abertos em R 2 : (a) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1}; (b) {(x, y) R 2 ; x + y 1} (c) {(x, y) R 2 ; x + y > 3 e x 2 + y 2 < 16}. 9

11 19. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado: (a) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1} (b) {(x, y) R 2 ; x e y inteiros }. 10

12 Capítulo 2 Funções de várias variáveis reais a valores reais 2.1 Funções de duas variáveis reais a valores reais Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A R 2 R. O conjunto A é o domínio de f e será indicado por D f ; o conjunto Im(f) = {f(x, y) R; (x, y) D f } é a imagem de f. Exemplos (1) f(x, y) = y x + 1 y D f = {(x, y) R 2 ; y x e y 1} Imf = [0, + [ (2) f(x, y) = 5x 2 y 3x D f = R 2 Imf = R 11

13 (3) Seja a função w = f(u, v) dada por u 2 + v 2 + w 2 = 1, w 0 (i) u 2 + v 2 + w 2 = 1 w = 1 u 2 v 2 (ii) f(u, v) = 1 u 2 v 2 (iii) D f = {(u, v) R 2 ; 1 u 2 v 2 0} Imf = [0, 1] (4) f(x, y) = y x 2 D f = {(x, y) R 2 ; y x 2 0} Imf = [0, + ] 2.2 Gráfico Definição Seja f : A R 2 R. O conjunto G f = {(x, y, z) R 3 ; z = f(x, y), (x, y) A} denomina-se gráfico de f. Nota O gráfico de f pode ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, y, f(x, y)) quando (x, y) percorre o domínio de f. Exemplo f(x, y) = Curvas de nível Definição Sejam z = f(x, y) uma função e c Imf. O conjunto de todos os pontos (x, y) D f tais que f(x, y) = c denomina-se curva de nível de f correspondente ao nível z = c. Nota (i) f é constante sobre cada curva de nivel; 12

14 (ii) O gráfico de f é um subconjunto do R 3 ; uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f, portanto do R 2. Exemplos (1) f(x, y) = x 2 + y 2 (i) curvas de nível: x 2 + y 2 = c circunferência de centro na origem e raio c (ii) z = 0 origem x = 0 z = y 2 y = 0 z = x 2 (iii) Df = R 2 Imf = [0, + [ (2) f(x, y) = 25 x 2 y 2 (i) curvas de nível: 25 x 2 y 2 = c x 2 + y 2 = 25 c 2, circunferências de centro na origem e raio 25 c 2 (ii) D f = {(x, y) R 2 ; 25 x 2 y 2 0} Imf = [0, 5] (3) f(x, y) = 8 x 2 2y curvas de nível: 8 x 2 2y = c x 2 + 2y = 8 c y = 1 2 x2 + 8 c 2 - f(x, y) = x 2 + y 2 - f(x, y) = 25 x 2 y 2 13

15 - 8 x 2 2y Exercício Seja (x, y) = x+y x y. (a) Determine o domínio de f. (b) Calcule f(2, 3) e f(a + b, a b). 2. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por: (a) f(x, y) = x2 3xy+1 x 2 y 2 +1 ; (b) x + y 1 + z 2 = 0, z 0; (c) z = y x 2 + 2x y; (d) z = x y ; x (e) z = 2 +y 2 25 ; y (f) f(x, y) = x y 1 x 2 y 2 ; (g) z = x 2 + y 2, z Toda função f : R 2 R dada por f(x, y) = ax + by, sendo a e b reais, demonina-se função linear. Seja f : R 2 R uma função linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y). 4. Uma função f : A R 2 R denomina-se função homogênea de grau n se f(tx, ty) = t n f(x, y) para todo t > 0 e para todo (x, y) A tais que tx, ty A. (a) Mostre que f(x, y) = x 2 + 3xy é homogênea de grau 2. 14

16 (b) Suponha que f : R 2 R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para todo (a, b) com a 2 + b 2 = 1. Calcule f(4 3, 4) e f(0, 3). 5. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico: (a) f(x, y) = 1 x 2 y 2 ; (b) f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 ; (c) f(x, y) = x 2, 1 x 0, y 0; (d) f(x, y) = 1 x 2, x 0, y 0 e y 1; (e) f(x, y) = x, x 0; (f) f(x, y) = x + 3y; (g) g(x, y) = 1 x 2 y 2 ; (h) z = x 2 + y 2 ; 1 (i) f(x, y) = 1 x 2 y 2 6. Determine a imagem: (a) f(x, y) = x 2y; (b) z = y x 2 ; (c) z = 4x 2 + y 2. 15

17 16

18 Capítulo 3 Limite e continuidade 3.1 Limite Sejam f : A R 2 R uma função, (x 0, y 0 ) um ponto de acumulação de A e L um número real. Definimos f(x, y) = L (x,y) (x o,y 0 ) se, somente se, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) A 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ f(x, y) L < ε Observações (i) f(x, y) = L significa: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x, y) (x,y) (x 0,y 0 ) permanece em (L ε, L + ε) quando (x, y), (x, y) (x 0, y 0 ), varia na bola aberta de centro (x 0, y 0 ) e raio δ. (ii) Sempre que falarmos que f tem ite em (x 0, y 0 ) fica implícito que (x 0, y 0 ) é ponto de acumulação de D f. Exemplos (1) 2x + 3y = 0 (x,y) (0,0) Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < (x, y) (0, 0) < δ 2x + 3y 0 < ε (i) 2x + 3y 2x + 3y = 2 x +3 y 17

19 (ii) x x 2 + y 2 e y x 2 + y 2 (iii) De (i) e (ii) temos que 2x + 3y 2 x 2 + y x 2 + y 2 Assim, dado ε > 0 e tomando δ = ε 5, 0 < (x, y) (0, 0) < δ x 2 + y 2 < ε, 5 ou seja, 0 < (x, y) (0, 0) < δ 2x + 3y < 5 ε = ε 5 Logo, (2x + 3y) = 0 (x,y) (x o,y 0 ) (2) f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 tem ite (0, 0)? (i) sobre o eixo x : f(x, 0) = 1 (ii) sobre o eixo y : f(0, y) = 1 Não existe número L tal que f(x, y) permaneça próximo de L para (x, y) próximo de (0, 0); este fato indica-nos que f não deve ter ite em (0, 0). De fato, dado ε = 1 2 temos se L 0, f(x, 0) L 1 2 se L > 0, f(0, y) L 1 2 para todo x 0 para todo y 0 Teorema Se a função f tem ites diferentes quando (x, y) tende a (x 0, y 0 ) através de dois conjuntos distintos de pontos que tem (x 0, y 0 ) como um ponto de acumulação, então Exemplos f(x, y) não existe. (x,y) (x 0,y 0 ) (1) f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 (i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x Logo x 2 f(x, y) = (x,y) (0,0) x 0 x = 1 2 (ii) S 2 conjuntos de todos os pontos no eixo y y 2 f(x, y) = = 1 (x,y) (0,0) y 0 y 2 (x,y) (0,0) x 2 y 2 não existe. x 2 + y2 18

20 x 2 y (2) (x,y) (0,0) x 4 + y 2 0 (i) S 1 conjunto de todos os pontos no eixo x (x,y) (0,0) x = 0 4 (ii) S 2 conjunto de todos os pontos na reta y = x x 3 (x,y) (0,0) x 4 + x = x 2 (x,y) (0,0) x = 0 (iii) S 3 conjunto de todos os pontos na parábola y = x 2 Assim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x 2 y não existe. x 4 + y2 x 4 x 4 + x 4 = 1 2 Observação As propriedades ja conhecidads de ites continuam válidas para fuções de várias variáveis. 3.2 Continuidade Sejam f : A R 2 R e (x 0, y 0 ) A um ponto de acumulação de A. Dizemos que f é contínua no ponto (x 0, y 0 ) se, somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas, (i) f(x 0, y 0 ) existe; (ii) (iii) f(x, y) existe; (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) = f(x 0, y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Observação As propriedades já conhecidas de continuidade continuam válidas para funções de várias variáveis. Exemplos (1) f(x, y) = 2 f(x, y) = 2 = 2 = f(x 0, y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) (2) Discuta a continuidade de x 2 + y 2, se x 2 + y 2 1; f(x, y) = 0, se x 2 + y 2 < 1. 19

21 (i) f está definida em todos os pontos de R 2, assim a condição (i) é verificada em todo ponto (x 0, y 0 ) (ii) Consideremos os pontos (x 0, y 0 ) tais que x y x y 2 0 > 1, f(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) x y 2 0 < 1, f(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) x2 + y 2 = x y 2 0 = f(x 0, y 0 ) 0 = f(x 0, y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Então f é contínua em todos os pontos (x 0, y 0 ) tais que x 0 2 +y 02 1 (iii) Consideremos os pontos (x 0, y 0 ) tais que x y 2 0 mostrar que f(x, y) existe e é igual a 1). (x,y) (x 0,y 0 ) = 1(devemos Seja S 1 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x 2 + y 2 1 f(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) x2 + y 2 = x y0 2 = 1 Seja S 2 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x y0 2 < 1 f(x, y) = 0 = 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Assim f(x, y) não existe. (x,y) (x 0,y 0 ) Portanto, f é descontínua em todos os pontos (x 0, y 0 ) para os quais x y 2 0 = 1 (3) Discuta a continuidade de f(x, y) = y x 2 +y 2 25 (i) g(x, y) = y é contínua (ii) h(x, y) = x 2 + y 2 25 é contínua em todos os pontos de R 2 para os quais x 2 + y 2 > 25. Então, f é contínua em todos os pontos de R 2 para os quais x 2 +y 2 > 25 20

22 Exercícios 1. Calcule, caso exista: (a) (b) (c) (d) (e) (f) x sin 1 (x,y) (0,0) x 2 + y ; 2 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x + y x y ; xy 2 x 2 y 2 ; (x,y) (0,0) x3 + 2x 2 y y 2 + 2; (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x x2 + y 2 ; xy x 2 + y Prove, usando a definição, que: (a) (b) k = k; (x,y) (x 0,y 0 ) x = x 0. (x,y) (x 0,y 0 ) 3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f(x, y).justifique a resposta. (a) f(x, y) = 3x 2 y 2 5xy + 6; x 3y, se(x, y) (0, 0); x (b) f(x, y) = 2 +y 2 0, se(x, y) = (0, 0). (c) f(x, y) = xy sqrt16 x 2 y 2 ; (d) f(x, y) = xln(x, y; ) sin(x+y), se(x, y) (0, 0); x+y (e) f(x, y) = 1, se(x, y) = (0, 0). (f) f(x, y) = ln x y x 2 +y 2 ; (g) f(x, y) = x y 1 x 2 y 2. 21

23 4. f(x, y) = xy 2 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). é contínua em (0, 0)? Justifique. 22

24 Capítulo 4 Derivadas parciais 4.1 Derivadas parciais Tratamos uma função de n variáveis como uma função de uma variável, variando uma delas e mantendo as outras fixas; isto leva ao conceito de uma derivada parcial. Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x 0, y 0 ) D f. Fixado (y 0 ) podemos considerar a função g de uma variável dada por g(x) = f(x, y 0 ). A derivada da função g no ponto x 0, caso exista, denomina-se derivada parcial de f, em relação a x, no ponto (x 0, y 0 ) e indica-se por (x x 0, y 0 ). Assim, (x x 0, y 0 ) = g (x 0 ) e temos,, ou seja, x (x 0, y 0 ) = g (x 0 ) = x x0 g(x) g(x 0 ) x x 0 ou ainda, x (x f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) =, x x0 x x 0 x (x 0, y 0 ) = x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ). x 23

25 De modo análogo define-se derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x 0, y 0 ),, ou y (x 0, y 0 ) = y y0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0, Observações y (x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = y 0 y (i) (x, y) é a derivada, em relação a x, de f(x, y) mantendo-se y constante; x (ii) (x, y) é a derivada, em relação a y, de f(x, y) mantendo-se x constante. y Exemplos (1) f(x, y) = 2xy 4y f(x + x, y) f(x, y) (x, y) = x x 0 x 2(x + x)y 4y 2xy + 4y = x 0 x 2y x = x 0 x = 2y f(x, y + y) (f(x, y)) (x, y) = y y 0 y 2x(y + y) 4(y + ) 2xy + 4y = y 0 y 2xy + 2x y 4y 4 y 2xy + 4y = y 0 y 2x y 4 y = y 0 y 24 = 2x 4

26 - para obter (x, y) devemos olhar y como constante e derivar em x relação a x : (x, y) = 2y x - para obter (x, y) devemos olhar x como constante e derivar em y relação a y : (x, y) = 2x 4 y (2) f(x, y) = x 3 y 2 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). - se (x, y) (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente x (x, y) = 3x2 (x 2 + y 2 ) (x 3 y 2 )2x (x 2 + y 2 ) 2 = 3x4 + 3x 2 y 2 2x 4 + 2xy 2 (x 2 + y 2 ) 2 = x4 + 3x 2 y 2 + 2xy 2 (x 2 + y 2 ) 2 y (x, y) = 2y(x2 + y 2 ) (x 3 y 2 )2y (x 2 + y 2 ) 2 = 2x2 y 2x 3 2x 3 y + 2y 3 (x 2 + y 2 ) 2 - Em (0, 0) = 2x2 y 2x 3 y (x 2 + y 2 ) 2 f(x, 0) f(0, 0) (0, 0) = x x 0 x 0 x = x 0 x = 1 f(0, y) f(0, 0) (0, 0) = y y 0 y 0, que não existe. 1 = y 0 y 25

27 - Interpretação geométrica Suponhamos que z = f(x, y) admite derivadas parciais em (x 0, y 0 ) D f. O gráfico da função g(x) = f(x, y 0 ), no plano x y 0z, é a interseção do plano y = y 0 com gráfico de f. Então, (0, 0) é o coeficiente angular da reta tangente T a esta interseção x no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Observação A existência de derivada parcial num ponto não implica a continuidade da função neste ponto; por exemplo, f(x, y) = (i) f admite derivadas parciais em (0, 0): 0 x 0 x = 0 (0, 0) = y y 0 0 y 0 y = 0 xy x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). f(x, 0) f(0, 0) (0, 0) = x x 0 x f(0, y) f(0, 0) x (ii) f não é contínua em (0, 0): (a)s 1 conjunto de todos os pontos no eixo x f(x, y) = 0 = 0 (x,y) (0,0) x 0 (b)s 2 conjunto de todos os pontos na reta y = x x 2 f(x, y) = (x,y) (0,0) x 0 2x = Como a existência de derivadas parciais não implica em continuidade temos que ela não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade dado para funções de uma variável. Veremos agora qual é a boa generalização do conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis reais. Exercícios 26

28 1. Determine as derivadas parciais: (a) f(x, y) = 5x 4 y 2 + xy 3 + 4; (b) z = cos(xy); (c) f(x, y) = e x2 y 2 ; (d) z = x3 +y 2 x 2 +y 2 ; (e) f(x, y) = x+y 4 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). (f) f(x, y) = (4xy 3y 3 ) 3 + 5x 2 y; (g) z = xye xy ; (h) g(x, y) = x y. 2. Dada f(x, y) = x 3 +y 3 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). encontre: (a) (0, 0) x (b) (0, 0) y 3. Encontre a declividade da reta tangente à curva de interseção da superficie z = x 2 + y 2 com o plano y = 1 no ponto (2, 1, 5). 4. Dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto critico de f(x, y) se y (x 0, y 0 ) = 0.Determine, caso existam, os pontos críticos da função dada: (a) f(x, y) = x 2 + y 2 ; (b) f(x, y) = x 2 2xy + 3y 2 + x y; (c) f(x, y) = 2x + y 3 ; (d) f(x, y) = x 3 + y 3 3x 3y (5.) Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0. Temos, x (x2 + y 2 + z 2 ) = 1 x 2x + 2z z x = 0 27

29 (a) Calcule z y z x = 2x 2z = x y = x 1 x2 y 2, x2 + y 2 < 1 (b) Seja z = f(x, y) dada implicitamente pela equação e xyz = x 2 +y 2 +z 2. Calcule z e z. x y 28

30 Capítulo 5 Funções diferenciáveis 5.1 Diferencial f : R R Definição Definimos a diferencial de f : R R no ponto x 0 como sendo a função linear L : R R dada por Observação Em notação clássica:dy = f (x 0 )dx Interpretação geométrica equação da reta tangente: L(h) = f (x 0 )h., Y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Y = f(x 0 ) + f (x 0 )h = f(x 0 ) + L(h) L(h) = Y f(x 0 ) isto é, a diferencial é a variáção que sofre a reta tangente quando se passa do ponto x 0 ao ponto x 0 + h. Assim, a diferencial fornece uma boa aproximação para o acréscimo f(x 0 + h) f(x 0 ) quando h é pequeno. 29

31 O acréscimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para y = f(x 0 + x) f(x 0 ); o erro y dy que se comete na aproximação de y por dy será tanto menor quanto menor for x. Exemplo Calcule um valor aproximado para 1, 01 (i) y = x, dy = 1 2 x dx (ii) x = 1, dx = 0, 01 Para x = 1 e dx = 0, 01 dy = 1 0, 01 = 0, dy = 1, 005 = 1, 01 Definição Uma função f : R R é diferenciável em x 0 se, e somente se, existir um real a tal que Observação f(x 0 + h) f(x 0 ) ah h 0 h (i) f é diferenciável f é derivável = 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) ah h 0 h h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) ah h h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h = 0 = 0 = a = f (x 0 ) h=x x f(x 0 + h) f(x 0 ) ah {}}{ 0 (ii) f é diferenciável = 0 existe uma reta h 0 h passando por x 0 de equação f(x 0 ) + a(x x 0 ) tal que a distância f(x) f(x 0 ) a(x 0), entre a curva e a reta, tende a zero mais depressa que h = (x x 0 ), ou seja, esta reta é tangente à curva no ponto (x 0, f(x 0 )). 30

32 5.2 Função diferenciável Uma função f : A R 2 R é diferenciável em (x 0, y 0 ) se, e somente se, existirem reais a e b tais que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x, y) ah bk (h,k) (0,0) (h, k) - Interpretação geométrica Façamos,h = x x 0, k = y y 0 e δ = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 f é diferenciável f(x 0 + h, y y 0 + k) f(x 0, y 0 ) ah bk (h,k) (0,0) (h, k) existe um plano passando por (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) de equação Z = f(x 0, y 0 )+ a(x x 0 ) + b(y y 0 ) tal que a distância f(x, y) Z, entre a superficie e o plano, ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tende a zero mais depressa que δ, ou seja, este plano é tangente à superficie no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Observações (i) Se f for diferenciável em (x 0, y 0 ), f admitirá derivadas parciais neste ponto. Fazendo k = 0, h 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) ah h h 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) ah h h 0 f(x 0 + h, y 0 ) h Fazendo h = 0, b = y (x 0, y 0 ) (ii) A recíproca é falsa. Exemplos (1) f(x, y) = x 2 y x (x, y) = 2xy; (x, y) = x2 y = 0 = 0 = a = x (x 0, y 0 ) f(x + h, y + k) = (x + h) 2 (y + k) = (x 2 + 2xh + h 2 )(y + k) 31 = 0

33 x 2 y + x 2 k + 2xyh + 2xhk + yh 2 + h 2 k f(x + h, y + k) f(x, y) ah bk (h,k) (0,0) (h, k) x 2 y + x 2 k + 2xyh + yh 2 + h 2 k x 2 y 2xyh x 2 k (h,k) (0,0) h2 + k 2 2xhk + yh 2 + h 2 k (h,k) (0,0) h2 + k 2 [2xh k (h,k) (0,0) h2 + k + yh h 2 h2 + k + hk h 2 h2 + k ] = 0 2 Então f é diferenciável em todo (x, y) R 2. x 3, se(x, y) (0, 0); x (2) f(x, y) = 2 +y 2 ; é diferenciável em (0, 0) 0, se(x, y) = (0, 0). (h,k) (0,0) f(x, 0) f(0, 0) (0, 0) = x x 0 x 0 x 0 (0, 0) = y y 0 x x = 1 f(0, y) f(0, 0) y 0 0 = y 0 y = 0 f(0 + h, 0 + k) f(0, 0) x h2 + k 2 (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) h 3 h 2 +k 2 h h2 + k 2 h 3 h(h 2 + k 2 ) (h 2 + k 2 ) h 2 + k 2 hk 2 (h 2 + k 2 ) h 2 + k 2 S 1 conjuntos de todos os pontos no eixo h: h 0 h 3 2h 2 2h = (0, 0)h (0, 0)k y 32

34 s 2 conjunto de todos os pontos na reta k = h: que não existe. h 0 h 3 2h 2 2h 2 = h 0 Então f não é diferenciável em (0, 0). h 2 2 h, Teorema Se f for diferenciável em (x 0, y 0 ) então será continua em (x 0, y 0 ) Observação A recíproca é falsa, como mostra o exemplo abaixo. Exemplo f(x, y) = x 3 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). Mostramos no exemplo (2) acima que esta função admite derivadas parciais em (0, 0) e não é diferenciável, mas ela é continua, pois f(x, y) = x x 2 = 0 = f(0, 0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x 2 + y2 5.3 Condição suficiente para diferenciabilidade Teorema Se as derivadas parciais de f : A R 2 contínuas num aberto, então f é diferenciável nesse aberto. R existem e são Exemplo Seja f(x, y) = x 2 y; temos que (x, y) = 2xy e (x, y) = x y x2, que são contínuas em R 2 ; e mostramos na página 33 que esta função é diferenciável. 5.4 Plano tangente Definição Seja f diferenciável no ponto (x 0, y 0 ). O plano 33

35 z = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ), denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). 5.5 Reta Normal O plano tangente é perpendicular à direção do vetor η = ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 ), 1) Reta que passa pelo ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) e é paralelo ao vetor ( ) denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). A equação de tal reta é, (x, y, z) = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) + λ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 ), 1), λ R Exemplo Dada f(x, y) = 3x 2 y x, determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (1, 2, f(1, 2)). (i) x (x, y) = 6xy 1, (1, 2) = 11 x (ii) (x, y) = y 3x2, (1, 2) = 3 y (iii) f(1, 2) = 5 (iv) equação do plano tangente: T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (v) vetor normal: (11, 3, 1) (vi) equação da reta normal: z = (x 1) + 3(y 2) z = x y 6 = x + 3y 11x + 3y z 12 = 0 (x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3, 1), λ R 34

36 5.6 Diferencial Definimos a diferencial de f : R 2 R no ponto (x 0, y 0 ) como sendo a transformação linear L : R 2 R dada por, Observação Em notação clássica: dz = x Interpretação geométrica -equação do plano tangente: L(h, k) = x (x 0, y 0 )h + y (x 0, y 0 )k (x, y)dx + (x, y)dy y T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) fazendo x = x 0 + h e y = y 0 + k temos T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 )h + y (x 0, y 0 )k T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + L(h, k) L(h, k) = T (x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ), isto é, a diferencial é a variação que sofre o plano tangente quando se passa do ponto (x 0, y 0 ) ao ponto (x 0 + h, y 0 + k) Exemplo Dada f(x, y) = x 2 y, calcule um valor aproximado para a variação z quando se passa se x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01. (i) x (x, y) = 2xy, (x, y) = x2 x (ii) dx = 0, 02, dy = 0, 01 (iii) erro cometido: 0, , pois dz = 2xydx + x 2 dy dz = 4 0, , 01 dz = 0, 09 = z z = f(x + dx, y + dy) f(x, y) = (x + dx) 2 (y + dy) x 2 y = (1, 02) 2 2, 01 2 = 0,

37 Exercícios 1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis: (a) f(x, y) = xy (b) f(x, y) = x + y (c) f(x, y) = x 2 + y 2 (d) f(x, y) = x 2 y 2 2. f é diferenciável em (0, 0)? Justifique. x 2 y 2, se(x, y) (0, 0); x (a) f(x, y) = 2 +y 2 (b) f(x, y) = (c) f(x, y) = 0, se(x, y) = (0, 0). x 2 y x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). x 4 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). 3. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável: xy, se(x, y) (0, 0); x (a) f(x, y) = 2 +y 2 (b) f(x, y) = (c) f(x, y) = 0, se(x, y) = (0, 0). x 3 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). xy 3 x 2 +y 2, se(x, y) (0, 0); 0, se(x, y) = (0, 0). 4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto: (a) f(x, y) = 2x 2 y em (1, 1, f(1, 1)); (b) f(x, y) = x 2 + y 2 em (0, 1, f(0, 1)); 36

38 (c) f(x, y) = 3x 3 y xy em (1, 1, f(1, 1)); (d) f(x, y) = xy em ( 1 2, 1 2, f(1 2, 1 2 )) 5. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule (1, 1) e (1, 1) x y 6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x 2 + y 2, no ponto (1, 1, 2) 7. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x 2 + xy, no ponto ( 1, 1, 0) 8. Calcule a diferencial: (a) z = x 3 y 2 (b) z = sin(xy) 9. Seja z = xe x2 y 2 (a) Calcule a diferencial de z (b) Calcule um valor aproximado para a variação z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002 (c) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, Seja z = x + 3 y (a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8); (b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 7, 9 37

39 38

40 Capítulo 6 Gradiente 6.1 Vetor gradiente Definição Seja z = f(x, y) uma função que admite derivdas parciais em (x 0, y 0 ). O vetor,, f(x 0, y 0 ) = ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 )) denomina-se gradiente de f em (x 0, y 0 ). -Interpretação geométrica Seja f(x, y) = x 2 + y 2, então f(x, y) = (2x, 2y). f( 2 2, 2 2 ) = ( 2, 2) f(1, 0) = (2, 0) Assim, temos que o vetor gradiente é um vetor normal à curva de nível. Observações (i) O gradiente não é perpendicular ao gráfico, e nem poderia, pois f R 2 ; já vimos que o vetor normal ao gráfico é ( (x x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ), 1). 39

41 (ii) Para funções de uma variável real temos, dy = f (x 0 )dx para funções de duas variáveis reais, temos dz = x (x 0, y 0 )dx + y (x 0, y 0 )dy = ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 )) (dx, dy) Assim, se f é diferenciável em (x 0, y 0 ) definimos a derivada de f em (x 0, y 0 ) por Exercícios f (x 0, y 0 ) = ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 )) = f(x 0, y 0 ) 1. Calcule o gradiente de f; (a) f(x, y) = x 2 y (b) f(x, y) = e x2 y 2 (c) f(x, y) = x y 40

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