[ Elaborado por Rosário Laureano ] Análise Matemática II

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1 [ Elaborado por ] Análise Matemática II

2 Seja f uma função real de duas variáveis reais x e y. Representamos a imagem de (x,y) por z, ou seja, z=f(x,y). Para entender o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a x no ponto (a,b), atenda aos diferentes elementos presentes na figura abaixo (tentando perceber a relação entre eles): (0,b,0) reta r h (a+h,b,0) (a,b,0) Thanks to Howard Anton

3 Com base na seguinte definição de derivada parcial de 1ª ordem na variável x, = derivada parcial de 1ª ordem de f em ordem a x no ponto (a,b) e na figura do slide anterior, entendemos qual o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a x no ponto (a,b): é o declive da reta t tangente à curva C no ponto P(a,b,f(a,b)). Considere a interseção (não marcada na figura) da reta tangente t com o plano xoy. Note que a reta tangente t interseta o plano xoy num ponto que também pertence à reta r que passa nos pontos (0,b,0), (a,b,0) e (a+h,b,0). Temos ainda: é a tangente do ângulo α que a reta tangente t faz com o plano xoy. Este ângulo α também é o ângulo que a reta t faz com a reta r.

4 Para entender o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a y no ponto (a,b), atenda aos diferentes elementos presentes na figura abaixo (tentando perceber a relação entre eles): superfície S do gráfico de f, definida pela equação z=f(x,y) reta T tangente à curva c no ponto P plano de equação x=a (paralelo ao plano yoz) (a,0,0) (a,b,0) (a,b+k,0) curva c sobre o plano x=a, definida pela equação z=f(x,b) k ponto P(a,b,f(a,b)) reta R reta b Thanks to Howard Anton

5 Com base na seguinte definição de derivada parcial de 1ª ordem na variável y, = derivada parcial de 1ª ordem de f em ordem a y no ponto (a,b) e na figura do slide anterior, entendemos qual o significado geométrico da derivada parcial (de 1ª ordem) de f em ordem a y no ponto (a,b): é o declive da reta T tangente à curva c no ponto P(a,b,f(a,b)). Considere a interseção (não marcada na figura) da reta tangente T com o plano xoy. Note que a reta tangente T interseta o plano xoy num ponto que também pertence à reta R que passa nos pontos (a,0,0), (a,b,0) e (a,b+k,0). Temos ainda: é a tangente do ângulo β que a reta tangente T faz com o plano xoy. Este ângulo β também é o ângulo que a reta T faz com a reta R.

6 A reta tangente t tem por vetor diretor, pois trata-se do vetor tangente à curva C no ponto (a,b,f(a,b)). A curva C é parametrizada por ou ainda,. Logo o vetor tangente em cada ponto, dado pela derivada em cada uma das (três funções) componentes, é Em particular, no ponto (a,b,f(a,b)) o vetor tangente é..

7 A reta tangente T tem por vetor diretor, pois trata-se do vetor tangente à curva c no ponto (a,b,f(a,b)). A curva c é parametrizada por ou ainda,. Logo o vetor tangente em cada ponto, dado pela derivada em cada uma das (três funções) componentes, é Em particular, no ponto (a,b,f(a,b)) o vetor tangente é..

8 A função f diz-se diferenciável no ponto (a,b) interior ao seu domínio se: 1) existe com valor finito a derivada parcial em ordem a x no ponto (a,b) 2) existe com valor finito a derivada parcial em ordem a y no ponto (a,b) 3) é nulo o limite em que a expressão de é obtida da expressão ou seja, Apenas quando 1), 2) e 3) se verificam, existe o plano tangente (único) ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)). Esse plano contém as retas tangentes t e T..,.

9 A equação desse plano tangente ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)) é: nisto que tem por vetor diretor e passa no ponto (a,b,f(a,b)). Este vetor é normal (ortogonal ou perpendicular) ao plano tangente, e é obtido como o produto externo dos vetores diretores das retas tangentes t e T, = x. Conforme é conhecido da álgebra, podemos auxiliar-nos do esquema presente na regra de Sarus (para cálculo de determinantes de ordem 3) para calcular o produto externo de dois vetores.

10 EXEMPLO: A figura apresenta o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=3-x^2-y^2 no ponto (0,0,3), o vértice do paraboloide circular. Temos e, logo, caso exista plano tangente, ele será horizontal visto que o seu vetor normal é = (0,0,-1). Como também é verificada a condição 3) da diferenciabilidade (verifique!), concluímos que existe diferenciabilidade de f no ponto (0,0) e plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,3). A equação desse plano é z=3. NOTA: Dado que a função f é polinomial, ela é diferenciável em qualquer ponto. Thanks to Waldecir Bianchini

11 A existência de plano tangente ao gráfico de f num dado ponto (a,b) interior ao seu domínio evidencia a possibilidade de ampliar esse gráfico em torno do ponto (a,b,f(a,b)) e visualizar uma superfície cada vez mais plana. Como se, a certo momento, deixássemos de ver uma superfície com curvatura e passássemos a ver um plano (na verdade, o plano tangente). i) ii) iii) iv)

12 Considere a função e o seu gráfico (figura). Esta função não é diferenciável no ponto (0,0), embora existam as derivadas parciais de f no ponto (0,0), (verifique!) Obtido o limite em 3) verificamos que é diferente de 0 (através dos limites relativos segundo retas k=mh). Logo, não existe um plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0)=(0,0,f(0,0)). Thanks to Waldecir Bianchini

13 Caso existisse plano tangente no ponto (0,0,0), ele seria horizontal visto que ambas as derivadas parciais no ponto (0,0) são nulas. Como também f(0,0)=0, a equação desse plano tangente seria z=0. i) Na verdade, falhando 3), sabemos que o plano z=0 não existe como plano tangente. As figuras seguintes mostram como isso é evidente por sucessivos s locais em torno do ponto (0,0,0) da superfície do gráfico (onde se representou também o plano z=0). ii) iii) Thanks to Waldecir Bianchini