variáveis reais Cálculo II Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 1 / 36

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1 Representação de funções reais de várias variáveis reais Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 1 / 36

2 Função real de várias variáveis reais Função real de n variáveis reais Seja D um subconjunto não vazio de R n. Uma função real de n variáveis reais definida em D é uma correspondência que a cada X = (x 1,..., x n ) D associa um e um só número real f (x 1,..., x n ). Representamos a função f por: f : D R n R X = (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) O domínio de f é o conjunto D. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 2 / 36

3 Função real de variável real: dois exemplos Exemplos 1 f (x) = mx + b domínio D f = R considera, por exemplo, f (x) = x f (x) = y 0 + r 2 (x x 0 ) 2 domínio D f = {x : x 0 r x x 0 + r} considera, por exemplo, f (x) = 4 (x 1) 2 D f = {x : 1 x 3} Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 3 / 36

4 Imagem ou Contradomínio de uma f.r.v.v.r. O contradomínio ou imagem de f é o conjunto dos valores que f toma em R, isto é, é o conjunto CD f = {f (x 1,..., x n ) : (x 1,..., x n ) D}. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 4 / 36

5 Imagem ou contradomínio: exemplos 1 1 CD 1 = {mx + b : x R} é uma reta que pode ser representada pela Equação vetorial da reta X = X 0 + t u, t R, que passa pelo ponto X 0 e tem a direção do vetor u, não nulo. 2 CD 2 = {y 0 + r 2 (x x 0 ) 2 : x 0 r x x 0 + r} é uma semicircunferência que pode ser representada pela Equação vetorial da circunferência X = X 0 + r(cos t, sin t), t R, de centro em X 0 R 2 e raio r > 0. (Nota que aqui uma única função permite obter a circunferência toda, que é o que está agora representado.) Não esquecer as equações paramétricas. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 5 / 36

6 Imagem ou contradomínio: exemplos 2 1 O contradomínio {Ax + By + C : (x, y) R 2 } é um plano que tem como Equação vetorial X = X 0 + t 1 u + t 2 v, (t 1, t 2 ) R 2, que passa pelo ponto X 0 e tem a direção dos vetores u e v, não nulos e não colineares. 2 O contradomínio {(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 : (x, y) R 2 } é um parabolóide (eĺıtico) de revolução que tem como Equação vetorial X = (x, y, (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ), (x, y) R 2, ou X = (x 0, y 0, 0) + r(cos t, sin t, r), t R. Não esquecer as equações paramétricas. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 6 / 36

7 Gráfico de uma f.r.v.v.r. O gráfico de f é o subconjunto de R n+1 G f = {(x 1,..., x n, f (x 1,..., x n )) R n+1 : (x 1,..., x n ) D}, ou seja, sendo z = f (x 1,..., x n ), G f = {(x 1,..., x n, z) : (x 1,..., x n ) D}. Nota: No caso de funções com três variáveis o gráfico será um subconjunto de R 4, que não pode ser visualizado, mas, como iremos ver, neste caso temos as superfícies de nível que nos dão alguma informação sobre f. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 7 / 36

8 Gráfico da função: exemplo 1 A reta no plano é o gráfico da função y = mx + b, x R, esta é a equação reduzida da reta de declive m R e ordenada na origem b R, i.e. passa no ponto (0, b) R 2. b y = x + 2 Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 8 / 36

9 Gráfico da função: exemplo 2 A semicircunferência no plano é o gráfico da função y = y 0 + r 2 (x x 0 ) 2, x 0 r x x 0 + r, equação da semicircunferência superior da circunferência de centro em (x 0, y 0 ) R 2 e raio r > 0. Se o centro é C = (1, 0) e r = 2 para 1 x 3 temos C Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 9 / 36

10 Conjuntos de nível Conjunto de nível Seja f : D R R, e k R. Chama-se conjunto de nível k da função f ao conjunto N k = {(x 1, x 2,..., x n ) D : f (x 1, x 2,..., x n ) = k}. Nota: Considerar apenas valores k CD f. Casos particulares Curvas de nível, quando n = 2 Superfícies de nível, quando n = 3 Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 10 / 36

11 Curvas de nível Curva de nível Seja f : D R 2 R X = (x, y) f (x, y) uma função real de duas variáveis reais e k um número real pertencente ao contradomínio de f. A curva de nível de f de valor k é N k = {(x, y) D : f (x, y) = k}, isto é, é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. A curva de nível de f de valor k é a projecção ortogonal, sobre o plano xoy, da interseção do plano z = k com o gráfico de f. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 11 / 36

12 Curvas de nível: exemplos As equações cartesianas podem ser usadas para obter conjuntos de nível de funções 1 A equação cartesiana da reta, Ax + By + C = 0, é o conjunto de nível 0 da função f (x, y) = Ax + By + C, (x, y) R 2. 2 A equação cartesiana da reta, Ax + By + C = 0, é o conjunto de nível C da função f (x, y) = Ax + By, (x, y) R 2. 3 A equação cartesiana da circunferência, (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2, é o conjunto de nível 0 da função f (x, y) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 r 2, (x, y) R 2. 4 A equação cartesiana da circunferência, (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2, é o conjunto de nível r 2 da função f (x, y) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, (x, y) R 2. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 12 / 36

13 Curvas de nível: exemplos 5 as elipses 2x 2 + y 2 = k, com k R + 0, são curvas de nível k da função f (x, y) = 2x 2 + y 2, (x, y) R 2 6 as hipérboles x 2 y 2 = k, com k R, são curvas de nível k da função f (x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2 7 as curvas (parábolas) y 1 x = k, com k R, são curvas de nível k da função f (x, y) = y 1, (x, y) R2 x Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 13 / 36

14 Gráfico e curva de nível 1 O plano (não vertical) é o gráfico da função z = Ax + By + C, (x, y) R 2. A curva de nível 0 da função f (x, y) = Ax + By + C é a interseção do seu gráfico com o plano x0y, é {(x, y) R 2 : Ax + By + c = 0}. 2 O parabolóide (eĺıtico) de revolução é o gráfico da função z = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, (x, y) R 2. A curva de nível r 2 da função f (x, y) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 é a interseção do seu gráfico com o plano de cota r 2, z = r 2, considerada (por projeção) no plano x0y, é {(x, y) R 2 : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 }. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 14 / 36

15 Superfícies de nível Superfície de nível Seja f : D R 3 R X = (x, y, z) f (x, y, z) uma função real de três variáveis reais e k um número real pertencente ao contradomínio de f. A superfície de nível de f de valor k é N k = {(x, y, z) D : f (x, y, z) = k}, isto é, é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 15 / 36

16 Superfícies de nível: exemplos As equações cartesianas podem ser usadas para se obterem superfícies - conjuntos de nível - de funções 1 A equação cartesiana do plano Ax + By + Cz + D = 0 é o conjunto de nível 0 da função f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D, (x, y, z) R 3. 2 A equação cartesiana do parabolóide z = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 é o conjunto de nível 0 da função f (x, y, z) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 z, (x, y, z) R 3. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 16 / 36

17 Superfícies de nível: exemplos 1 Parabolóide eĺıtico as elipses 2x 2 + y 2 = k são curvas de nível k da função f (x, y) = 2x 2 + y 2, (x, y) R 2 que nos permitem obter o parabolóide eĺıtico z = 2x 2 + y 2 que é uma superfície de nível 0 da função g(x, y, z) = 2x 2 + y 2 z, (x, y, z) R 3 2 Parabolóide hiperbólico as hipérboles x 2 y 2 = k são curvas de nível k da função f (x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2 que nos permitem obter o parabolóide hiperbólico z = x 2 y 2 que é uma superfície de nível 0 da função g(x, y, z) = x 2 y 2 z, (x, y, z) R 3 Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 17 / 36

18 Gráficos e conjuntos de nível: exemplos 1 Parabolóide ciĺındrico (eĺıtico) f (x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2. gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 18 / 36

19 Gráficos e conjuntos de nível: outros exemplos 2 Parabolóide hiperbólico f (x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2. gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 19 / 36

20 Gráficos e conjuntos de nível: outros exemplos 3 Cilindro parabólico f (x, y) = x y 2, (x, y) R 2. gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 20 / 36

21 Exemplo f (x, y) = x y + 1 Domínio de f : D f = R 2. Contradomínio de f : R. Gráfico de f : {(x, y, f (x, y)) : (x, y) R 2 } = {(x, y, z) R 3 : z = f (x, y) = x y + 1}, ou seja, é o plano de equação x + y + z = 1. Para k R (contradomínio de f ), a curva de nível k da função f é: C k = {(x, y) R 2 : x y + 1 = k} = {(x, y) R 2 : y = x + 1 k} que é uma recta de declive 1 e ordenada na origem 1 k. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 21 / 36

22 Exemplo (cont.) gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 22 / 36

23 Exercícios Determina o domínio e descreve as curvas de nível das funções: 1 f (x, y) = x 2 y 2 2 f (x, y) = y x f (x, y) = 16 x 2 y 2 4 f (x, y) = 9 x 2 y 2 5 f (x, y) = ln(x 2 + y 2 ) 6 f (x, y) = e (x2 +y 2 ) Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 23 / 36

24 Exercícios Indica o gráfico e as curvas de nível das funções: 1 f (x, y) = sin( x 2 + y 2 ); 2 f (x, y) = x 2 y 2 e x2 y 2 ; 3 f (x, y) = 1 x 2 +4y 2 ; 4 f (x, y) = x 3 3xy 2 ; 5 f (x, y) = sin(x) sin(y); 6 f (x, y) = sin 2 (x) y 2. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 24 / 36

25 Exercício f (x, y) = sin( x 2 + y 2 ) gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 25 / 36

26 Exercício f (x, y) = x 2 y 2 e x 2 y 2 gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 26 / 36

27 Exercício f (x, y) = 1 x 2 +4y 2 gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 27 / 36

28 Exercício f (x, y) = x 3 3xy 2 gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 28 / 36

29 Exercício f (x, y) = sin(x) sin(y) gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 29 / 36

30 Exercício f (x, y) = sin 2 (x) y 2 gráfico curvas de nível Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 30 / 36

31 Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 31 / 36

32 Lugar geométrico Lugar geométrico em R n O lugar geométrico consiste no conjunto de pontos de R n que gozam de uma determinada propriedade. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 32 / 36

33 Curvas como lugar geométrico em R 2 (no plano) 1 No plano a equação y = mx + b corresponde à equação cartesiana da reta Ax + By + C = 0 u 2 x + u 1 y + u 2 x 0 u 1 y 0 = 0 que passa pelo ponto X 0 e tem a direção do vetor u, não nulo. 2 No plano a equação cartesiana da circunferência é (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 de centro em X 0 R 2 e raio r > 0. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 33 / 36

34 Superfícies como lugar geométrico em R 3 (no espaço) 1 No espaço a equação cartesiana do plano é Ax + By + Cz + D = 0 2 A equação cartesiana do parabolóide (eĺıtico) de revolução é z = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 34 / 36

35 Função real de variável real Considera a função real de variável real f : R R x y Explorámos várias maneiras de representar uma curva em R 2 I. como gráfico de uma função II. III. como imagem de uma aplicação/função como lugar geométrico e conjunto de nível Sendo f : R R, Curva é a representação em R 2 dos pontos (x, y) tais que y = f (x). Intuitivamente Curva é um objeto geométrico que tem uma dimensão e goza de propriedades de continuidade e conectividade. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 35 / 36

36 Função real de duas variáveis reais Considera a função real de duas variáveis reais f : R 2 R (x, y) z Explorámos várias maneiras de representar uma superfície em R 3 I. como gráfico de uma função II. III. como imagem de uma aplicação/função como lugar geométrico e conjunto de nível Sendo f : R 2 R, Superfície é a representação em R 3 dos pontos (x, y, z) tais que z = f (x, y). Intuitivamente Superfície é um objeto geométrico que tem duas dimensões e goza de propriedades de continuidade e conectividade. Cálculo II Representação de f.r.v.v.r. 36 / 36