Matemática A - 10 o Ano

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1 Matemática A - 10 o Ano Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Nuno Miguel Guerreiro I Chave da Escolha Múltipla CCDBA 1. Tem-se quanto à proposição p: F A + AO + }{{ OB } 1 DC A + AB 1 AB 5 }{{}}{{ 5 } AB 1 5 AB 4 5 AB AF A + AF Repare-se que F A + AF, isto é, AF F A, pelo que p é uma proposição verdadeira. Tem-se quanto à proposição q: D A + AD A + BC A + C B A + (, 4 (4, A + (, E tem-se que A B + BA B + 5 BF, tal que: A (4, + 5 (F B (4, + 5 ( (3, 1 (4, (4, + 5 ( 1, 1 (4, + ( 5, 5 ( 1, 3 E então: Pelo que q é uma proposição verdadeira. Analisando as opções tem-se: p q V V V p q V V V p q V V V F F q p V V F V V D ( 1, 3 + (, ( 3, 1 Resposta Correcta: (C. A circunferência de centro em (1, 1 e que passa em (3, 1 tem raio e a sua equação cartesiana pode ser: (x 1 + (y 1 (x 1 + (y 1 4 Repare-se que se C e B pertencem à circunferência e à reta x, tem-se que eles serão os pontos de interseção da circunferência com a reta x, vindo: ( 1 + (y (y 1 4 (y 1 3 (y 1 ± 3 y 1 ± 3 Tal que y C e y B 1 3, vindo que CB ( A altura do triângulo é a distância da reta x à abcissa do ponto F, x F 3, pelo que h 1. A área do triângulo [BFC] é então: A [BFC] CB h Resposta Correcta: (C SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Matemática A - 10 o Ano 1

2 3. A reta r tem vetor diretor u r (1, 4a, pelo que o declive de r é m r 4a 1 4a. A reta s tem vetor diretor u s (, a, pelo que o declive de s é m s a. Como r e s são retas paralelas, estas têm o mesmo declive, vindo que: m r m s 4a a 4a a 1 1 a ± a ± 1 a ± Resposta Correcta: (D 4. Tem-se que: ( u + b e 1 6 e (a e 1 + b e }{{} +b e 1 6 e (a + b e 1 + b e 6 e (a + b e 1 + (b 6 e u E sabendo que ( u + b e 1 6 e 1 e 1, vem que: (a + b e 1 + (b 6 e 1 e 1 { a + b 1 b 6 0 { a b 6 { a 6 b 3 { a 3 b 3 Resposta Correcta: (B 5. Repare-se que o vetor u ± v é um vetor com o dobro da norma de v e colinear a este, pelo que se v (1,, então u (, (, 4, ou u (, ( (, 4. Método Alternativo: Sabe-se que o vetor u é colinear ao vetor v e tem o dobro da norma de v, vindo que: v Se u (u 1, u é colinear a v (1,, tem-se que: u 1 1 u u u 1 E então: u u 1 + u u 1 + (u 1 u 1 + 4u1 5u 1 5 u 1 5 u 1 E sabendo que u v 5, tem-se: 5 u1 5 u u 1 u 1 Pelo que como u u 1, vem que: u (, (, 4, ou u (, ( (, 4. Resposta Correcta: (A FIM GRUPO I SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Matemática A - 10 o Ano

3 II 1. Considere-se a elipse a circunferência representadas na figura Tem-se que a equação cartesiana da elipse é: x a + y b 1 Tal que a b + c, em que c é a distância focal, a o lado maior e b o lado menor. Repare-se que se F 1 e F são os focos da elipse: c F 1 F c 4 3 c 4 3 c 3 A circunferência de centro em (0, 1 passa na origem, logo tem raio r 1, e no vértice da elipse, sendo que o segmento que liga a origem a esse vértice vale b r 1, tal que b 4. Desta forma: a b + c a 4 + ( 3 a 4 + ( 3 a a 16 A equação da elipse é então: x 16 + y Uma condição que pode definir a região a sombreado na figura é: x 16 + y 4 1 (x 1 + (y 1 1 y 0 x Tem-se que AB AF1 + AF, pelo que pela desigualdade triangular vem que: AF1 + AF AF1 + AF E de acordo com a propriedade da elipse: d(a, F 1 + d(a, F AF1 + AF a Vindo então: AF1 + AF a 1.4. O segmento [OM], em que M é o ponto médio do segmento [AF ], é tal que: Em que AM 1 OM AO AM AF e AO 1 AB, logo tem-se que: OM 1 AB 1 AF 1 ( AB AF 1 F B 1 Verificando-se que: OM 1 AF 1 Logo como OM é colinear com AF1, os segmentos [OM] e [AF ] são paralelos. AF 1 SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Matemática A - 10 o Ano 3

4 . Considere-se o prisma [OABC DEF G] representado na figura..1. Tem-se que: E D + DE D + OA D + A O D + A (3, 1, + (0, 6, 3 (3, 7, 1 B A + AB A + GD A + D G (0, 6, 3 + (3, 1, (0, 1, (3, 6, 3.. O plano mediador do segmento [OA] é o espaço geométrico dos pontos do espaço que verificam d(o, P d(a, P Considerando P(x, y, z vem que: d(o, P d(a, P (x 0 + (y 0 + (z 0 (x 0 + (y 6 + (z 3 Elevando ambos os termos ao quadrado e simplificando: d(o, P d(a, P x + y + z x + (y 6 + (z 3 x + y + z x + y 1y z 6z + 9 1y z y + 6z 45 4y + z 15 A equação do plano mediador do segmento [OA] é 4y + z 15, pelo que se o ponto (, 1, k pertence a este deve verificar: k 15 k 15 4 k A superfície esférica que contém todos os vértices do prisma é aquela que tem centro no ponto médio de uma qualquer diagonal espacial do prisma, e o seu raio é metade do comprimento da diagonal espacial. Considere-se a diagonal espacial [DA], tal que o centro, C, é: C ( xa + x D E o raio r, é então tal que:, y A + y D, z A + z D ( 0 + 3, 6 + 1, 3 + ( ( 3, 7, 1 (0 3 + (6 1 r + (3 ( ( 59 Tal que r E então a equação da superfície esférica é: ( x 3 ( + y 7 ( + z SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Matemática A - 10 o Ano 4

5 3. A esfera tem centro em (3, 3, z C, e sendo tangente ao plano xoy, o raio desta será a cota do seu centro, isto é, z C, pelo que uma condição que define a esfera é: (x 3 + (y 3 + (z z C z C Sabe-se que a interseção da esfera com o plano de equação z 3 é um círculo de área 3π, tal que: E tem-se intersetando a esfera com o plano z 3: E tem-se: A círculo πr circ πr circ 3π r circ 3 (x 3 + (y 3 + (3 z C z C (x 3 + (y 3 z C (3 z C }{{} r circ z C (3 z C 3 z C (z C 6z C z C z C + 6z C 9 3 6z C 1 z C Conclui-se então que uma condição que define a esfera é: (x 3 + (y 3 + (z 4 FIM GRUPO II SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Prova Modelo Teste 4 1 Matemática A - 10 o Ano 5