2º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio 2º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº

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1 º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº (Efomm 016) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências (x ) (y 3) 9 e x y 8x 15 0 a) secantes. b) tangentes internas. c) tangentes externas. d) externas. e) internas.. (Pucsp 016) Na figura tem-se a representação de λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B. Se a equação de λ é x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, é a) 8 ( π ) b) 8 ( π ) c) ( π ) d) ( π ) 3. (Cefet MG 013) Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunferência x y x 6y 3 0 no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades de comprimento, é a) 1. b) 3. c) 5. d) 69. e) 85. Página 1 de 11

2 . (Ufu 01) Inúmeras pinturas e desenhos em tela fazem uso de sobreposição de formas circulares, conforme ilustra a figura abaixo. Para a representação gráfica desses trabalhos artísticos, faz-se necessária a determinação de elementos geométricos associados. Suponha que, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas xoy, duas circunferências, presentes no desenho, sejam dadas pelas equações x y 6y 5 0 e x y 6x y 6. Assim sendo, a reta que passa pelos centros dessas circunferências pode ser representada pela equação a) x 3y 9. b) x 3y 9. c) x y. d) x y. 5. (Espm 01) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x ) + (y ) e seja P a região definida por x ou y. A área da região intersecção entre C e P é: a) π b) π c) 3π d) π e) 5π 6. (Ufsm 01) O diagrama Taiji, da figura a seguir, representa, na filosofia chinesa, a integração entre Yin e Yang. Essa figura é encontrada em vários períodos da história da arte. Sabendo que as coordenadas do diâmetro AB da circunferência externa ao diagrama Taiji são, respectivamente, A(13, 0) e B(1, ), assinale verdadeira (V) ou falsa (F) nas afirmativas. ( ) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é x 3y 11 = 0. Página de 11

3 ( ) O raio da circunferência é 10. ( ) A equação da circunferência é x 1x + y 1y + 93 = 0. A sequência correta é a) F F F. b) F F V. c) F V F. d) V F V. e) V V V. 7. (Fgvrj 01) No plano cartesiano, os pontos A (1,) e B (-,-) são extremidades de um diâmetro de uma circunferência; essa circunferência intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Um deles é: a) (,0) 7 b),0 c) (3,0) 5 d),0 e) (,0) 8. (Mackenzie 011) Os pontos (x,y) do plano tais que uma região de área a) 6π b) 9 π c) 9π d) 6 π e) 18( π ) x y 36, com x y 6 definem 9. (Uft 010) Considere as equações das circunferências C 1 : x x + y y = 0 C : x x + y y = 0 cujos gráficos estão representados abaixo: A área da região hachurada é: a) 3 unidades de área. b) unidades de área. Página 3 de 11

4 c) 5 unidades de área. d) 6 unidades de área. e) unidades de área. 10. (G1 - cftsc 010) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros, e as proposições: I é uma circunferência de diâmetro cm. II é uma circunferência de área cm². III é uma circunferência de equação x² + y² =. Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas a proposição III é verdadeira. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Apenas a proposição II é verdadeira. 11. (Ufrgs 016) A circunferência definida pela equação um quadrado. A medida da diagonal desse quadrado é a). b). c). d) 6. e) (Ufrgs 015) Considere as circunferências definidas por (x 10) (y ) 9, representadas no mesmo plano cartesiano. As coordenadas do ponto de interseção entre as circunferências são a) (7,). b) (,7). c) (10,3). d) (16,9). e) (,3). 13. (Cefet MG 015) Considere as circunferências λ 1 : (x ) (y 1) 5 e λ : (x ) (y 3) 9. x y 6x y 6 está inscrita em (x 3) (y ) 16 e Página de 11

5 A área do triângulo cujos os vértices são os centros dessas circunferências e o ponto em unidades de área, é igual a a) P0,, b) 11. c) 9. d) 7. e) (Ufrgs 01) A área de um quadrado inscrito na circunferência de equação x y y 0 é a) 1. b) 1. c). d). e). 15. (Espm 01) As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x x (y 1) 0 são, respectivamente: a) (, 1) e b) (, 1) e c) (, 1) e d) 1, e e), e Página 5 de 11

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Sejam λ 1 : (x ) (y 3) 9 e λ : x y 8x É imediato que C 1 (, 3) e r1 3. Ademais, completando os quadrados na equação de λ, encontramos λ : (x ) (y 0) 1. Daí, vem C (, 0) e r 1. A distância entre os centros de λ 1 e λ é dada por d(c 1, C ) ( ) (0 3) 13. Logo, como r 1 r e r 1 r, temos r1 r d(c 1, C ) r1 r. Portanto, podemos concluir que λ 1 e λ são secantes. Resposta da questão : [C] Determinando o centro e o raio da circunferência. x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y (x ) (y ) O centro é o ponto (, ) e o raio mede. Calculando a área do setor de π AS π Calculando, agora, a área do triângulo ABC. AΔABC 8 Portanto, a área do segmento circular pedida é: A AS AΔABC A π 8 A π 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: Página 6 de 11

7 Resposta da questão 3: [D] x y x 6y 3 0 x y 3 16 Centro C(,3) e raio r =, então: CA = e PC = (8 ) (10 3) 85 Portanto: PA = 85 PA 69 Resposta da questão : [A] Sejam x y 6y 5 0 e circunferências λ 1 e λ. Completando os quadrados, obtemos x y 6x y 6, respectivamente, as equações das x y 6y 5 0 x (y 3). Logo, C 1 (0, 3) é o centro da circunferência λ 1. Analogamente, vem x y 6x y 6 (x 3) (y 1), ou seja, C (3, 1) é o centro da circunferência λ. Portanto, a equação da reta que passa por C 1 e C é dada por Resposta da questão 5: [C] 1 3 y 3 (x 0) 3y 9 x 3 0 x 3y 9. Página 7 de 11

8 Observando as figuras, concluímos que a área pedida é: A = 3. π. 3 π. Resposta da questão 6: [C] FALSA, pois o ponto B(1, ) não verifica a equação apresentada: VERDADEIRA, r 10. FALSA, o centro da circunferência é o ponto médio do segmento AB dado por C, C7,1, já a equação apresentada mostra que o centro é o ponto (7, 7). Resposta da questão 7: [E] Determinando o centro da circunferência: 1 1 C,,0 Determinando o raio: R = 1 5 Determinando agora a equação da circunferência, temos: 1 5 x y Fazendo y = 0, temos os pontos (,0) e (-3,0). Portanto, a alternativa correta é a [E]. Página 8 de 11

9 Resposta da questão 08: [C] Representando o sistema abaixo: x y 6 x y 36 no plano cartesiano temos região mostrada na figura Basta fazer a área do quarto de círculo menos a área do triângulo retângulo e isósceles: π A A 9. π 18 A 9.( π ) unid Resposta da questão 9: [D] C 1 : x x + y y = 0 centro (1,1) e raio C : x x + y y = 0 centro (,) e raio A = Resposta da questão 10: [D] (Falsa) - o diâmetro é cm (Verdadeira) - A =. = cm (Verdadeira) - (x 0 ) +( y 0) = Resposta da questão 11: [E] x y 6x y 6 x 6x 9 y y (x 3) (y 1) 16 Portanto, o centro da circunferência será o ponto (3, 1) e o raio será. Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio cm. Página 9 de 11

10 Portanto, a 8cm E a diagonal d do quadrado será dada por: d a 8 Resposta da questão 1: [A] Para determinar os pontos de intersecção entre duas circunferências devemos resolver um sistema com as suas equações: (x 3) (y ) 16 x 6x y y 3 (x 10) (y ) 9 x 0x y y 95 Subtraindo a equação da equação 1, temos: 1 x 98 x 7 A única alternativa que tem como abscissa x 7é a [A]. Resposta da questão 13: [A] Sejam A e B, respectivamente, os centros de λ 1 e λ. Logo, como A (, 1) e B (, 3), tem-se que a área do triângulo ABP é dada por Resposta da questão 1: [D] Determinando o centro C e o raio R da circunferência, temos: x y y 0 x y y x y 1 1 Logo, C(0,1) e o raio R = 1. Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d = e sua área será dada por: Página 10 de 11

11 A Resposta da questão 15: [B] Completando o quadrado, vem x x (y 1) 0 (x ) (y 1). Portanto, o centro da circunferência é o ponto (, 1) e seu raio é. Página 11 de 11

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