Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS

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1 Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS (Fgv 017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas x y 4 e x y 0 tem área igual a: a) π b),5π c) 3π d) 3,5π e) 4π. (Mackenzie 017) Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações (x 3) (y 1) 10 e (x 3) y 13, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 3. (Unicamp 017) Considere a circunferência de equação cartesiana x y x y. Qual das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x y 1. b) x y 1. c) x y 1. d) x y (Fgv 017) Na representação gráfica do sistema de equações x y 4 4x y no plano cartesiano, uma das soluções é (0, ). A distância entre os pontos que representam as duas outras soluções desse sistema é igual a a) 14. b) 7. c) 15. d) e) (Fgv 016) No plano cartesiano, a reta de equação 3x 4y 17 tangencia uma circunferência de centro no ponto (1,1). A equação dessa circunferência é: a) x y x y 4 0 b) c) x y x y 0 x y x y 5 0

2 d) e) x y x y 3 0 x y x y (Fuvest 016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y do ponto P é igual a a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 x e x 0. Se P pertence à parábola de equação 7. (Mackenzie 016) A equação da circunferência concêntrica à circunferência (x ) (y1) 1 e tangente à reta 4x 3y 0 0 é a) b) c) d) e) (x ) (y1) 36 (x ) (y1) 5 (x ) (y1) 0 (x ) (y1) 16 (x ) (y1) 9 y x e a 0, a ordenada b 8. (Unesp 016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 5 km do dep sito. Para a distância que ultrapassar 5 km, medida em linha reta desde o dep sito, a empresa cobra R$ 0,00 por quilômetro que ultrapasse os 5 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de fraç es de quilômetros. Um consumidor do produto reside 0 km a leste do dep sito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situaçمo descrita e determine o valor mلximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em reais), em funçمo de x, para o caso em que C(x) (Unicamp 016) Considere o círculo de equação cartesiana x y ax by, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a a) 1. b). c) 3. d) (Pucsp 016) Na figura tem-se a representação de, λ circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B.

3 Se a equação de λ é x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, é a) 8 ( π ) b) 8 ( π 4) c) 4 ( π ) d) 4 ( π 4) 11. (Mackenzie 016) Com relação às equações das elipses 5x 16y 150x 56y e 16x 5y 96x 00y 144 0, podemos afirmar que a) as elipses têm centros coincidentes. b) as elipses têm a mesma distância focal. c) as elipses têm a mesma excentricidade. d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas. e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra. 1. (Espcex (Aman) 016) Considere as afirmações: I. Uma elipse tem como focos os pontos F 1( 3, 0), F (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é x y II. Os focos de uma hipérbole são F 1( 10, 0), F (10, 0) e sua excentricidade é 5. 3 Sua equação é III. A parábola 16x 9y x y 6y 9 tem como vértice o ponto V(3, 0). Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e III são falsas. c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 13. (Enem PPL 015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

4 Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x y x 4y A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 14. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e d) e 4 e) e (Ita 015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a a) (, ) e. b), 1 e 1. c) (, 1) e 1. d) (, ) e. e) (, 4 4) e 4 4.

5 16. (Mackenzie 015) Há duas circunferências secantes λ 1 e λ, de equações (x 1) y 5 e (x 3) (y ) 1, respectivamente. A equação da reta que passa pelos pontos de interseção de λ 1 e λ é a) x y 4 0 b) x y 4 0 c) x y 6 0 d) x y 8 0 e) x y (Epcar (Afa) 015) Considerando a circunferência de equação é correto afirmar que a) λ é concêntrica com α : (x 1) (y ) 1 b) o ponto O(0,0) é exterior a λ c) a reta r : x y 3 0 é tangente a λ d) λ é simétrica da circunferência λ : x y x 4y 4 0, β : (x1) (y ) 9, em relação ao ponto O(0,0). 18. (Epcar (Afa) 014) A circunferência λ é tangente à reta eixo das abscissas no ponto de abscissa 6. 3 r : y x também é tangente ao 4 Dentre as equações abaixo, a que representa uma parábola que contém a origem do plano cartesiano e o centro de λ é a) 1(y x) x 0 b) c) d) 3y 1y x 0 y 3x 0 1y x (Espcex (Aman) 014) Sejam dados a circunferência λ : x y 4x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. a) λ : x y 4x 10y 16 0 b) c) d) e) λ : x y 4x 10y 1 0 λ : x y 4x 5y 16 0 λ : x y 4x 5y 1 0 λ : x y 4x 10y (Mackenzie 014) Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior. Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à equação x y x y 1 0, apreciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é descrita pela equação x y x 3y 1 0. A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água é a) 1 b)

6 c) d) e) 5 1. (Fuvest 014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y 4 x. a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. x y 4y 0 e a b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x.. (Unesp 014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados.

7 Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. 3. (Mackenzie 014) Dadas as cônicas de equações ( II ) 4x y 8x 8y 16 0, assinale a alternativa INCORRETA. ( I ) x y x 8y 8 0 e a) Os gráficos de ( I ) e ( II ) são, respectivamente, uma circunferência e uma elipse. b) As duas cônicas têm centro no mesmo ponto. c) As duas cônicas se interceptam em dois pontos distintos. d) O gráfico da equação ( I ) é uma circunferência de raio 3. e) O gráfico da equação ( II ) é uma elipse com centro C (1, 4). 4. (Espcex (Aman) 014) Sobre a curva 9x + 5y 36x + 50y 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8. 5. (Espcex (Aman) 013) Considere a circunferência λ x y 4x 0 e o ponto P1, 3. Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é a) b) 3 c) 3 d) 3 3 e) (Fuvest 013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0 7. (Unifesp 013) Considere o sistema de inequações x 1 y 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em

8 x y x x 1 y 4 a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos ortogonais, a solução desse sistema de inequações. b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações. 8. (Fgv 013) Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A 0,0, B 1,7 e C 8,6, sendo que as unidades estão em quilômetros. a) Em que ponto Px,y deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às três livrarias sejam iguais? b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C? 9. (Fgv 013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) (Epcar (Afa) 013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x y (Insper 01) Os pontos A ( 1, 3) e B (6, ) pertencem a uma circunferência do plano cartesiano cujo centro é o ponto C. Se a área do triângulo ABC é 5, então a medida do raio dessa circunferência é igual a a) 5 b) 5 c) 5 3 d) 10 e) (Mackenzie 01) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que x y x e x y y. Fazendo π 3, a área dessa região é a) 1 b) 0,5 c) d) 1,5 e),5

9 33. (Fuvest 01) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, ). Nessas condições, o raio de C vale a) 5 b) 5 c) 5 d) 3 5 e) (Espm 01) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x ) + (y ) 4 e seja P a região definida por x ou y. A área da região intersecção entre C e P é: a) π b) π c) 3π d) 4π e) 5π 35. (Fgv 011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x + y = 8, no ponto P de coordenadas (, ), intercepta a reta de equação y = x no ponto: 7 14 a), b), c), d), e),3 36. (Unicamp 011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 4 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir. a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.

10 b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada. 37. (Espm 011) A circunferência de equação (x 1) (y 1) 1 tangencia os eixos coordenados nos pontos A e B. A circunferência λ, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das abscissas no ponto D. Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a: a) b) 1 c) 1 d) 1 e) 38. (Fgv 011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: x y 10 x 10 y 10 0 a) b) c) x y 8 x 8 y 8 0 x y 10 x 10 y 10 0

11 d) e) x y 8 x 8 y 8 0 x y 4x 4y (Mackenzie 011) Os pontos (x,y) do plano tais que uma região de área 6 π a) b) 9 π 9 π c) d) 6 π e) 18( π ) x y 36, com x y 6 definem TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores. 40. (Unicamp 011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por a) (x ) + (y 6) 1. b) (x 1) + (y 5). c) x ]1, 3[, y ]4, 6[. d) x =, y [5, 7]. 41. (Fgv 010) Dada a circunferência de equação x + y 6x 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 4. (Fgv 010) A representação gráfica da equação (x + y) = x + y no sistema cartesiano ortogonal é

12 a) o conjunto vazio. b) um par de retas perpendiculares. c) um ponto. d) um par de pontos. e) um círculo. 43. (Unesp 010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,943 0,889 e 0,111 0,333 a) 35. b) 30. c) 5. d) 0. e) 15.

13 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Sobre as inequações apresentadas: x y 4 Circunferência de raio e centro na origem. x y 0 Reta que passa pelo segundo e quarto quadrantes cortando-os diagonalmente, passando também pela origem. Assim, existirá um segmento de reta pertencente à mesma que é diâmetro da circunferência anterior. Assim, a região delimitada será um semicírculo de raio, ou seja: π S S π Resposta da questão : [D] Os pontos de intersecção entre as duas circunferências são solução do sistema abaixo: x 3 y 1 10 i x 3 y 13 ii Subtraindo membro a membro as equações (ii) e (i), temos: x 3 y x 3 y y y y 1 3 y 4 y Substituindo y na equação i, x x 3 9 x 3 3 x 0 ou x 3 3 x 6 Assim, os pontos de intersecção entre as duas circunferências são A0, e Logo, da,b 6 0 da,b 36 0 da,b 6 Resposta da questão 3: [C] Calculando: x y x y x 1 y C ; e R B 6,.

14 A reta que divide a circunferência em duas partes iguais passa pelo centro C e pode ter equação igual a x y 1. Resposta da questão 4: [C] Tem-se que x y 4 4(y 4) y 0 y y x x 4 4 (y )(4y 7) 0 y x 4 7 y ou y 4 y x 4 x 0 e y ou 15 7 x e y. 4 4 ou 15 7 x e y 4 4 Portanto, a resposta é Resposta da questão 5: [B] Do enunciado, temos:

15 r r r 5 r 3 4 Assim, a equação da circunferência acima é: x 1 y 1 x x 1 y y 1 4 x y x y 0 Resposta da questão 6: [B] Considere a figura, em que PQ a e OQ b a. Sabendo que y POQ x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos 30'. Além disso, do triângulo OPQ, vem PQ tgpoq a cotg 30'. OQ Logo, sendo 1 cos 45 cotg30' 1, 1 cos 45 concluímos que a 1 e, portanto, Resposta da questão 7: [B] b a 3. O centro da circunferência dada é dado por (, 1), logo a circunferência pedida terá equação da forma 4x 3y 0 0. (x ) (y 1) R. Sendo R a distância do ponto (, 1) à reta de equação

16 R R Portanto, a equação pedida será dada por: (x ) (y1) 5 Resposta da questão 8: Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste. A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio 5km centrado na origem (depósito), isto é, X Y 5 X Y 65. Em consequência, para X 0km, tem-se que 0 Y 65 Y 15km. Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência é igual a 15km. Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (0, x), e que a distância desse ponto ao depósito é dada por C(x) 0 ( 400 x 5), com x 15km. Resposta da questão 9: [C] É fácil ver que a circunferência 400 x, segue que a resposta é x y ax by, intersecta a origem dos eixos cartesianos. Ademais, tomando x 0, obtemos y 0 ou y b. Por outro lado, fazendo y 0, encontramos x 0 ou x a. Em consequência, podemos afirmar que a resposta é 3. Resposta da questão 10: [C] Determinando o centro e o raio da circunferência. x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y (x 4) (y 4) 4 O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.

17 Calculando a área do setor de π 4 AS 4π 4 Calculando, agora, a área do triângulo ABC. 4 4 AΔABC 8 Portanto, a área do segmento circular pedida é: A AS AΔABC A 4π 8 A 4π Resposta da questão 11: [C] Completando os quadrados, vem 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: 5x 16y 150x 56y (x 3) 16(y 8) e (x 3) (y 8) x 5y 96x 00y (x 3) 5(y 4) 400 (x 3) (y 4) [A] Falsa. Os centros das elipses são os pontos ( 3, 8) e ( 3, 4). (x 3) (y 8) 1, temos a relação fundamental, segue que c 6 e, portanto, c 1. (x 3) (y 4) Por outro lado, na elipse 1, temos a portanto, c e e [B] Falsa. Com relação à elipse [C] Verdadeira. Com efeito, pois e b 8. Logo, pela e b 4. Assim, vem c 3 e, (x 3) (y 8) [D] Falsa. Basta observar que o eixo maior da elipse 1 é paralelo ao eixo das ordenadas. (x 3) (y 8) [E] Falsa. O eixo maior da elipse 1 mede a 0, enquanto que o eixo menor da elipse Resposta da questão 1: [C] [I] Verdadeira. x a y b 1 (x 3) (y 4) 1 mede b

18 Admitindo os focos (c, 0) e ( c, 0), temos: a 4 e c 3 b 3 4 b 7 Portanto, a equação da elipse será: x y [II] Verdadeira. c a 6 3 a 10 6 b b 8 Portanto, a equação da hipérbole será dada por: x y 1 16x 9y [III] Falsa. 8x y 6y 9 (y 3) x 8 Portanto, o vértice é o ponto (0, 3). Resposta da questão 13: [D] Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: A(5,4) B( 3,1) C(4,) D( 4, 3) Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação: x y x 4y 31 0 A OK! B ( 3) 1 ( 3) OK! C OK! D ( 4) ( 3) ( 4) 4 ( 3) FALSO! Resposta da questão 14: [A] Completando os quadrados, vem

19 m m x x y my n (x 1) y n 1. 4 Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m 4. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, 4), obtemos n x x y my ( 3) ( 3) 4 ( 4) 4 3. Resposta da questão 15: [A] Considerando r o raio da circunferência, temos o centro no ponto C(, r). A distância do ponto C à reta de equação x y 0, tangente á circunferência, é dada por r (medida do raio). k r r r r r ou r r r ou r (não convém) Portanto, o raio da circunferência é: C(, ). r ( 1) 1 e o centro é o ponto Resposta da questão 16: [A] A reta pedida é dada por (x 1) y [(x 3) (y ) ] 5 1 x 1 6x 9 4y 4 4 x y 4 0. Resposta da questão 17: [D] Completando os quadrados, segue que

20 x y x 4y 4 0 (x 1) 1 (y ) (x 1) (y ) 9. Logo, o centro de é o ponto ( 1, ), distinto de (1, ), que é o centro de Seja f a função dada por interior a. f(x, y) (x 1) (y ) 9. Como f(0, 0) 4 0, tem-se que O é Tomando a equação explícita da reta r e a equação reduzida da circunferência, temos (x 1) (x 3 ) 9 (x 1) 9. Donde podemos concluir que a reta r é secante à circunferência. O centro da circunferência é o ponto (1, ), e seu raio é 3. Logo, como as circunferências e têm o mesmo raio e seus centros distam de em relação ao ponto O. 5 do ponto O, segue-se que é simétrica Resposta da questão 18: [B] Com as informações do enunciado, pode-se desenhar: Percebe-se que: PC CT b Raio de λ (R) PO (x 0) (y 0) PO x y Por semelhança de triângulos, sabe-se que: ΔOPC ΔOCT PO OT 6 Portanto, PO x y x y 36 3 Mas P pertence à reta r, logo y x, ou seja: x y 36 x x 36 x x 36 x y x y y

21 4 18 Portanto, as coordenadas do ponto P são,. 5 5 A distância entre o ponto P e o centro C é igual ao raio R da circunferência. Assim, pode-se escrever: 4 18 R 6 b mas b R R R R 6 R R R R 360 R 10 5R 50 R b Portanto, as coordenadas do centro C são 6,. Assim, o que se pretende descobrir é uma parábola que contenha os pontos C6, e a origem O0, 0. Pelas alternativas percebe-se que a única parábola descrita que passa por ambos os pontos C e O é a Ponto O y 1y x 0, pois: Ponto C Resposta da questão 19: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x + 4x y + 10y + 5 = (x + ) + (y + 5) = 4 Logo, o centro é C(, 5). O ponto P simétrico do ponto ( 1,1) em relação ao eixo x é P ( 1, 1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R = ( 1 ( )) + ( 1 ( 5)) = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + ) + (y + 5) = 17 x + y + 4x + 10y = 0 x + y + 4x + 10y + 1 = 0 Resposta da questão 0: [A] Completando os quadrados, vem 1 1 x y x y 1 0 (x 1) y e 3 3 x y x 3y 1 0 (x 1) y. 1 Logo, C1 1,, 1 r 1, 3 C 1, e 3 r.

22 O resultado pedido corresponde à distância entre os centros das circunferências subtraída da soma dos raios, ou seja, (1 ( 1)) ( 1). Resposta da questão 1: a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y 4y 0 x 4 y y 4 x y 5y 4 0 x 4 y y 5y 4 0 x 4 y y 1 ou y 4 ( 3, 1) ou (0, 4). b) Completando os quadrados, obtemos x y 4y 0 (x 0) (y ) 4. Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e ( 3,1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Resposta da questão : Centro da elipse: C(,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por:

23 y 3 y 3 (x ) (x ) Resposta da questão 3: [C] ( I ) x y x 8y 8 0 x x 1 y 8y (x 1) (y 4) 9 O gráfico desta equação é uma circunferência de centro (1, 4) e raio 3. ( II ) 4x y 8x 8y (x x 1) y 8y 16 4 (x 1) (y 4) 4 (x 1) (y 4) O gráfico desta equação representa um elipse com centro (1, 4) como semieixo maior medindo e semieixo menor medindo 1. Observamos que a circunferência e a elipse possuem mesmo centro e os semieixos da elipse são menores que o raio da circunferência. Portanto, elas não se intersectam. Logo, a única afirmação incorreta é a da opção [C]. Resposta da questão 4: [E] 9x + 5y 36x + 50y 164 = 0 9(x 4x + 4) + 5(y + y + 1) = (x ) + 5(y + 1) = 5 (x ) (y 1) Equação de uma elipse com centro no ponto (, 1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 5: [A] Completando os quadrados, obtemos x y 4x 0 (x ) y 4. Assim, o centro da circunferência é o ponto C(, 0). O coeficiente angular da reta t é dado por xc xp y y C P

24 3 Desse modo, a equação de t é y 3 (x 1) e, portanto, a abscissa do ponto de 3 interseção de t com o eixo x é tal que Resposta da questão 6: [D] (x 1) 3 x 1 x. 3 A circunferência C tem centro no ponto A(1, ) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo. Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem PA (3 1) (6 ) 0 e, portanto, PQ PA AQ PQ 0 1 PQ 19 u.c. Resposta da questão 7: a) Reescrevendo o sistema, obtemos x y x 0 (x 1) (y 0) 1 (x 1) y (x 1) y , ou seja, a solução do sistema é a região do plano limitada pelas circunferências de centros 3 em (1, 0) e 1,, com raios respectivamente iguais a 1 e 1.

25 b) Considere a figura. A área pedida corresponde à área do semicírculo de centro O e raio igual a 1, área do segmento circular OBDC, ou seja, subtraída da π 1 1 π π π π 3 sen π u.a. 4 Resposta da questão 8: a) O ponto P é o circuncentro do triângulo ABC. Temos AB (1 0) (7 0) 50, AC (8 0) (6 0) 100 e BC (8 1) (6 7) 50. Como AC. AC AB BC, segue que o triângulo ABC é retângulo e sua hipotenusa é o lado

26 Portanto, P é o ponto médio do lado AC, ou seja, P, (4, 3). b) A área do quadrado é igual a AC km. Resposta da questão 9: [C] Reescrevendo a equação (x ) 4(y 5) 36, obtemos (x ) (y 5) 1, 6 3 que é a equação de uma elipse centrada em (, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 6 8 e n 5 3. Portanto, m n 8 ( ) 6. Resposta da questão 30: [B] x 9y 8x 54y 88 0 x 8x (y 6y + 9) = (x 4) + 9 (y 3) = 9 (x 4) (y 3) Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. Resposta da questão 31: [A]

27 AB (6 ( 1)) ( ( 3)) h 5 5 h 50 R R R 50 h R 5 R 5 Resposta da questão 3: [B] x y x x x 1 y 1 (x 1) y 1 x y y x y y 1 1 x (y 1) 1 Representado as duas regiões no plano cartesiano e destacando a região comum, cuja área é A. Portanto, A = A1

28 π A 0, Resposta da questão 33: [C] R = raio e o ponto (5, R) é o centro. Calculando a distância de (5, R) até (1,) temos o raio. (5 1) R R 16 (R ) R Desenvolvendo, temos 4R = 0 R = 5. Resposta da questão 34: [C] Observando as figuras, concluímos que a área pedida é: A = 3. π. 3 π. 4

29 Resposta da questão 35: [D] Seja t a reta tangente à circunferência A equação de t é dada por: x0 y y 0 (x x 0). y 0 x y 8 no ponto P(x 0, y 0). Para P (, ), temos: (t) : y (x ) (t) : y x 4. Seja Q o ponto de interseção das retas t e (r) : y x. O ponto Q é a solução do sistema formado pelas equações de t e de r: 4 x y x x x 4 Q,. y x y 3 Portanto, o ponto pedido é 4 8,. 3 3 Resposta da questão 36: a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto (, 4) sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem. Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto (, 0) : Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada por (x 3) (y 4) 4.

30 Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que esse ponto é (3,0) e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por x y 3. A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima. b) Seja M o ponto médio do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal. Logo, M, (16,1). O ponto em que a nova antena deverá ser instalada é a interseção da mediatriz do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal com o eixo das abscissas. O coeficiente angular da reta suporte desse segmento é dado por: Logo, a equação da mediatriz é:

31 y 1 (x 16) y x Desse modo, a antena deverá ser instalada no ponto de abscissa: x 0 x 5km. 3 3 Resposta da questão 37: [B] A circunferência (x 1) (y 1) 1 tem centro em ( 1,1) e raio igual a 1. Logo, B (0,1), A ( 1, 0) e DAC ˆ 45. Seja CD R o raio de. Do triângulo ACD, obtemos ˆ CD R sendac AC R R R R( ) R. Portanto, sendo x C a abscissa do ponto C, vem que C x AD AO 1 1. Resposta da questão 38: [B] Seja C( r, r), com r 0 o centro da circunferência. Como a diagonal do quadrado de lado r vale r, segue que: 4 r r.

32 Assim: (x r) (y r) r (x ) (y ) () x y 4 x 4 y 8 0. Mas: 4 8 Portanto, a equação pedida é: x y 8x 8y 8 0. Resposta da questão 39: [C] Representando o sistema abaixo: x y 6 x y 36 no plano cartesiano temos região mostrada na figura Basta fazer a área do quarto de círculo menos a área do triângulo retângulo e isósceles: π A 4 A 9. π 18 A 9.( π ) unid Resposta da questão 40: [B]

33 Sejam A(1,1), B(5, 3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de vereadores e da prefeitura. O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a mediatriz do segmento de reta BC. 31 O coeficiente angular da reta suporte do segmento BC é m 1. BC 5 3 Seja M o ponto médio do segmento BC. Então, M, (4, ). Se m s é o coeficiente angular da mediatriz do segmento BC, então m m 1 m 1. s BC s Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek é: s : y ( 1) (x 4) s : y x 6. Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que: x y 6 4 P (, 4). Portanto, como ( 1) (4 5) 1 1, segue que o ponto P pertence à região Resposta da questão 41: [A] x 6x y 10y + 5 = (x 3) + (x 5) = 4 (x 1) (y 5). Centro C(3,5) e raio R = Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + ) = P(3, 7) Somando as coordenadas temos: = 10. Resposta da questão 4: [B] Desenvolvendo a expressão, temos: x + xy + y = x + y xy = 0 x = 0 ou y = 0 (eixos perpendiculares)

34 Resposta da questão 43: [B] c 0,943 c 0,943a a a 5 c a 5 (0,943a) a 5 0,889a 0,111a a a 15. 0,111 0, A distância é a m.