Prof: Danilo Dacar

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1 Parte A: 1. (Uece 014) Sejam f : R R a função definida por f(x) x x 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ ao eixo das abscissas é Observação: A escala usada nos eixos coordenados adota o metro como unidade de comprimento. a) 5,5 m. b) 5,05 m. c) 4,95 m. d) 4,75 m.. (Unicamp 014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) x a x b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 3. (Espcex (Aman) 014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) 3x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. 4. (G1 - ifce 014) Seja f : 1, uma função dada por função composta gx f f x 1 1 a) g(x). b) x 1 é x f(x). A expressão da x 1 x x1 g(x). c) g(x) x 1. d) g(x) x 1. e) g(x). x 1 x 1 5. (Unicamp 014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a a) 0. b) 1. c). d) 1. Página 1 de 17

2 Parte B: 1. (Ufes 01) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a figura plana esboçada a seguir. a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo é de 4 m e que a altura máxima da trajetória do alvo é de 16 m, determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo. b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo α 30º com a horizontal, determine as coordenadas cartesianas do ponto P.. (Ueg 01) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo. Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a),0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d),5 m e 7,0 m. 3. (Uff 01) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo,0,,0 e 0,3, e R o retângulo de vértices cujos vértices são os pontos x,0, x,0,0 x, e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T. Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta. 4. (Ufpr 01) Considere as funções f(x) x 1 e a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x). g(x) (x 1)(x ). 3 b) Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de interseção dos gráficos de f(x) e g(x). Página de 17

3 5. (Mackenzie 011) Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x + mx + (8 m). O valor de k + p é a) b) c) 1 d) 1 e) 3 6. (Ufpb 011) Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou 1,0 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura abaixo. Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de: a) 1,8 m b) 1 m c) 11, m d) 10,4 m e) 9,6 m 7. (Ufsm 011) Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função do tempo t. Admitindo que a concentração y seja dada por uma função quadrática y=at +bt+c, é correto afirmar que a) a > 0 e b - 4ac > 0. Página 3 de 17

4 b) a > 0 e b - 4ac < 0. c) a < 0 e b - 4ac > 0. d) a < 0 e b - 4ac < 0. e) a 0 e b - 4ac = (Upe 011) Se o valor mínimo de afirmar que necessariamente a) m>4 b) m>5 c) m<4 d) m<5 e) 4<m<5 5x 6x m é estritamente maior que 3, então é correto 9. (G1 - ccampos 011) Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são tangentes. Sabendo que f x x k e g x x k, calcule f g (Fuvest 011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = - 4x + 8x + 1 e a reta r de equação y = 3x +6. Determine: a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P. b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. 11. (Ufpel 011) Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é a) b) - c) 1 d) (Fuvest 010) A função f: R R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) f(x) = 6x -, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a a) 11 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 5 e) 6 Página 4 de 17

5 13. (Fgv 010) A função quadrática f (x) = 16x x definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a: a) 64 b) 63,5 c) 63 d) 6,5 e) (Unifesp 008) Dado x > 0, considere o retângulo de base 4 cm e altura x cm. Seja y, em centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a área de um quadrado de lado x/ cm. a) Obtenha os valores de x para os quais y > 0. b) Obtenha o valor de x para o qual y assume o maior valor possível, e dê o valor máximo de y. 15. (Ufscar 005) A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x e g(x) = x. Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 10, o número real k é a) 0,5. b) 1. c). d) 1,5. e). 16. (Fuvest 005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola. Suponha também que (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a ; (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d 4 de uma das colunas seja igual a h. Se h = 3 d 8, então d vale Página 5 de 17

6 a) 14 b) 16 c) 18 d) 0 e) 17. (Fuvest 005) Seja f(x) = ax + (1 - a) x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x)=0 são reais e o número x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. 18. (Unifesp 003) A figura representa, na escala 1:50, os trechos de dois rios: um descrito pela parábola y=x e o outro pela reta y=x-5. De todos os possíveis canais retilíneos ligando os dois rios e construídos paralelamente ao eixo Oy, o de menor comprimento real, considerando a escala da figura, mede a) 00 m. b) 50 m. c) 300 m. d) 350 m. e) 400 m. 19. (Pucsp 001) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 0 km/h e 10 km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte. Página 6 de 17

7 Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 10 km/h? a) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k. x. (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato. 0. (Enem 000) Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) b).000. c) d) e) (Unesp 1999) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t, onde h é a altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?. (Unesp 1999) Considere um retângulo cujo perímetro é 10 cm e onde x é a medida de um dos lados. Determine: a) a área do retângulo em função de x; b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima. 3. (Puccamp 1998) Seja R um retângulo que tem 4cm de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de R obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima? a) 3 cm Página 7 de 17

8 c) 6 cm e) 9 cm 4. (Mackenzie 1997) Em y - (x - x ) = 0, seja t o valor real de x que torna y máximo. Então 4 t vale: a) 0,5 b) 0,50 c) 1,00 d),00 e) 4,00 5. (Fgv 1997) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal vendida. a) Qual o lucro mensal máximo possível? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? Página 8 de 17

9 Gabarito: Parte A: Resposta da questão 1: [D] Calculando o x do vértice, temos: b 1 1 xv a 1 Pela simetria, temos: 1 3 xp A distância da reta PQ ao eixo x será dada por 3 f f 1 4,75. 4 Resposta da questão : a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0,1), então b 1. Além disso, como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem Δ 0 a a. Portanto, a e b 1. b) Se a b 1b 1 a, então tomando a 0 e a 1, obtemos f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade, 1 f (x) x 1 e f (x) x x, respectivamente. Ora, como os gráficos de f 1 e de f possuem um ponto em comum, tem-se x 1 x x x 1. Em consequência, o resultado pedido é (1, ). Resposta da questão 3: [D] Página 9 de 17

10 Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) C(x) = x + 8x + 40 O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: b 8 xv 7 a ( ) Resposta da questão 4: [C] Desde que x 1 x 1 f(x 1) f(x 1), x 11 x temos g(x) f(f(x 1)) x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1x x x 1. Resposta da questão 5: [D] Do gráfico, sabemos que g(1) 0 e f(1) 1. Logo, como f(0) 1 e g( 1) 0, obtemos f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1) Parte B: Resposta da questão 1: a) Página 10 de 17

11 y = a.( x 0 ).( x 4) 16 = a.1.(1-4) 1 x 4 x 8x a = -1/9 y x.(x 4) y y b) A reta será dada pela equação y = tg30º.x, ou seja y = x 8x y 9 3 Resolvendo o sistema, temos : 3 y x 3 P(0,0) ou P(4 3 3,8 3 3) 3 x 3 Resposta: P(4-3 3,8 3 3). Resposta da questão : [A] Utilizando semelhança de triângulos temos: Calculando a função da área, temos: A x x y 9x 36 A x x. 4 A x 9x 36x 4 4 x y 9x 36 y Determinando o x do vértice, temos: Página 11 de 17

12 36 x 4 v 9. 4 Portanto, x = e y 4,5 4 Logo, as dimensões do jardim são m e 4,5m. Resposta da questão 3: Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que: x 3 h 3.x h Considere A, a área do retângulo R. 3.x A x. 3 A 3x 6x b 6 xv 1.a.( 3) Portanto, x = 1. Resposta da questão 4: a) A função f é uma função do afim; logo, seu gráfico é uma reta. Para construir o gráfico de f, basta obter as coordenadas de pontos. Para x 0 y 1 Portanto Para x 1 y 0 A função g é uma função quadrática; logo, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima (a > 0). Para construir o gráfico de 4 g(x) (x 1)(x ) g(x) x x, temos: Intercepta y (0,c) 0, 3 Intercepta x (x 1,0) e (x,0) (1,0) e (,0), onde x1 e x são as raízes de g(x) Página 1 de 17

13 Coordenadas do vértice: b ( x 6) 3 v xv a () 4 ( ) 4 Δ yv yv 4a Portanto, localizando os pontos no Plano Cartesiano, obtemos a representação abaixo: 3 b) f(x) g(x) x 1 x 1 x x 9x 7 0 Logo, os pontos de interseção entre f(x) e g(x) são: 7 5 1,0 e, Resposta da questão 5: [B] Como a função apresenta raiz dupla, temos: Δ 0 m 4.1(8 m) 0 m 4m 3 0 m 4 ou m = -8 x 1 y x y Logo y = x + 4m + 4 (raiz m = -) ou y = x 8m + 16 (raiz m = 4) (não convém, segundo o gráfico a raiz é negativa) m = - e p = 4, portanto m + p = Resposta da questão 6: [A] Página 13 de 17

14 Considerando o sistema cartesiano na figura acima, temos a função do segundo grau fatorada: h(x) = a(x 3).(x + 3) e o ponto ( -8,) 1 3 = a.(-8 3).(-8 + 3) a 80 1 Portanto h(x) =.(x - 3).(x + 3) 80 A altura máxima será quando x for zero. 1 Portanto h(0) =.(0-3).(0 + 3) = 1,8m 80 Resposta da questão 7: [C] Concavidade para baixo: a < 0 Intercepta o eixo horizontal em dois pontos distintos. Resposta da questão 8: [A] b 4ac 0 4. a 3 (( 6) 4.5. m) m m 96 m 4,8 0 Portanto, a resposta A é a mais adequada. Resposta da questão 9: f(x) = g(x) x k x k x x k 0 O valor do delta será zero, pois os gráficos das funções são tangentes. 4 4k = 0 k = 1 Logo, Portanto, f(x) x e g(x) x + 1 f() g(3) Página 14 de 17

15 Resposta da questão 10: a) Fazendo a = 0, temos: 0 = -4x + 8x + 1 Resolvendo a equação, temos: x = -1 ou x = 3. Logo, A(-1,0) e B(3,0) 8 xv Vértice da parábola.( 4) 1 yv Logo, V = (1,16) b) Resolvendo o sistema y 3x 6 y 4x 8x 1-4x + 8x + 1 = -3x + 6-4x + 5x + 6 = 0 resolvendo a equação temos Considerando x =, temos y = 1. Logo, C(,1) 3 c e x = 4 A = A 1 + A + A A = A = 36 Resposta da questão 11: [D] Seja f: a função quadrática definida por Temos que f(0) 5 c 5. Além disso, f() 3 4a b 5 3 b a 4. f(x) ax bx c. Daí, f(3) 4 9a 3b 5 4 3a b 3 3a a 4 3 a 1 e, desse modo, b a Portanto, e a lei de f é f(x) x 6x 5. As coordenadas do vértice do gráfico de f são dadas por 6 V, (3, 4). 1 Página 15 de 17

16 Por conseguinte, a soma pedida é x y 3 ( 4) 1. Resposta da questão 1: [C] f(x) = ax + bx + c f(x+1) - f(x) = 6x v v a(x+1) + b(x+1) + c ax bx c = 6x ax + ax + a + bx + b + c ax bx c = 6x ax + a + b = 6x (para todo x, conceito de identidade), logo: a = 6 a = 3 a + b = b = - b = -5 Então f(x) = 3x - 5x + c x v = b ( 5) 5 ( x do vértice) a.3 6 Resposta da questão 13: [C] Esboçando o gráfico notamos que f(x) é máximo, no intervalo considerado, para x = 7. f(7) = =63 Resposta da questão 14: a) 0 < x < 16 b) x = 8; y = 16 Resposta da questão 15: [E] Resposta da questão 16: [B] Resposta da questão 17: - /3 a < 0 Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [D] Página 16 de 17

17 Resposta da questão 0: [B] Determinando o x do vértice temos: b 44000k xv 000 a.( k) Resposta da questão 1: a) 1 segundo b) 0,75 metro Resposta da questão : a) - x + 5x (0< x < 5) b),5 cm Resposta da questão 3: [B] Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 5: a) 0 b) 10 x 0. Página 17 de 17

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