Circunferências. λ : x y 4x 10y λ : x y 4x 5y 12 0

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1 Circunferências 1. (Espcex (Aman) 014) Sejam dados a circunferência λ : x y 4x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. a) λ : x y 4x 10y 16 0 b) c) d) e) λ : x y 4x 10y 1 0 λ : x y 4x 5y 16 0 λ : x y 4x 5y 1 0 λ : x y 4x 10y (Uerj 014) Um disco metálico de centro O e diâmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação de determinada peça, é representado pelo seguinte esquema: PJ cortes retilíneos PK M ponto médio do raio OB N ponto médio do raio AO P ponto médio do raio OC J intersecção da semirreta PM com a circunferência K intersecção da semirreta PN com a circunferência Calcule a distância entre os pontos J e K. Página 1 de 1

2 . (Fuvest 014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y 4 x. x y 4y 0 e a a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x. 4. (Fgv 01) No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação x 4y 60 0 e que tangenciam a circunferência x y 4. Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada a),9 b),8 c),7 d),6 e),5 5. (Fuvest 01) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0 x 1 y 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em 6. (Uerj 01) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x y 5. Observe a figura: Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P(4,). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P. Determine a equação dessa reta. Página de 1

3 7. (Espcex (Aman) 01) Considere a circunferência λ x y 4x 0 e o ponto P1,. Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é a) b) c) d) e) 8. (Uepg 01) Dado o ponto C,, assinale o que for correto. 01) x y 4x 6y 4 0 é a equação da circunferência de centro C e tangente ao eixo das abscissas. 0) x y 4x 6y 9 0 é a equação da circunferência de centro C e tangente ao eixo das ordenadas. 04) x y 4x 6y 1 0 é a equação da circunferência de centro C e passante pelo ponto 08) 16) Q 1,. x y 1 0 é a equação da circunferência de centro na origem e passante em C. x y 4x 6y 0 é a equação da circunferência de centro C e raio igual a 10 u.c. 9. (Ufpr 01) Considerando a circunferência C de equação seguintes afirmativas: 1. O ponto P(4, ) pertence a C.. O raio de C é A reta y x passa pelo centro de C. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa é verdadeira. c) As afirmativas 1, e são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. x y 4 5, avalie as 10. (Unioeste 01) A área da região do plano formada pelos pontos (x, y) tais que x y 4x 0 e x y 0, em unidades de área, é igual a π a). b) π. c) π. d) π. e) 4 π. 11. (Ufsj 01) A reta r : y x e a circunferência λ : x y 5 se interceptam nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB e as coordenadas do seu ponto médio são, respectivamente 0,. a) unidades de comprimento e b) unidades de comprimento e 1, 0. c) 10 unidades de comprimento e,. d) unidades de comprimento e,. Página de 1

4 1. (Cefet MG 01) Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunferência x y 4x 6y 0 no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades de comprimento, é a) 1. b) 4. c) 45. d) 69. e) (Ufrgs 01) Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo. O centro do círculo é o ponto 7, e a reta r é definida pela equação x 4y 1 0. A equação do círculo é x 7 y 5. a) b) x 7 y 5. c) x 7 y 6. d) x 7 y 6. e) x 7 y (Uespi 01) Suponha que x e y são reais e satisfazem x y 6x 6y 10. Qual o valor máximo de x + y? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Página 4 de 1

5 15. (Ufpe 01) Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com equações x 0, y 0 e 4x y 4, conforme a ilustração abaixo. Encontre a equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e de seu raio. 16. (Ufu 01) Inúmeras pinturas e desenhos em tela fazem uso de sobreposição de formas circulares, conforme ilustra a figura abaixo. Para a representação gráfica desses trabalhos artísticos, faz-se necessária a determinação de elementos geométricos associados. Suponha que, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas xoy, duas circunferências, presentes no desenho, sejam dadas pelas equações x y 6y 5 0 e x y 6x y 6. Assim sendo, a reta que passa pelos centros dessas circunferências pode ser representada pela equação a) x y 9. b) x y 9. c) x y 4. d) x y (Fgv 01) No plano cartesiano, a circunferência que passa pelos pontos A(, 0), B(0, ) e pela origem O(0, 0) intercepta a reta y = x em dois pontos. Um deles tem coordenadas cuja soma é: a) 5 b) 4,5 c) 4 d),5 e) Página 5 de 1

6 18. (Fuvest 01) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, ). Nessas condições, o raio de C vale a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) (Uepa 01) Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da professora gera um arco AB. Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora seja um quarto de uma circunferência de equação 100x 100y 400x 600y , o valor aproximado da altura da professora é: a) 0,4π u.c b) 0,5π u.c c) 0,75π u.c d) 0,95π u.c e) 1,4 π u.c 0. (Insper 01) Os pontos A ( 1, ) e B (6, ) pertencem a uma circunferência do plano cartesiano cujo centro é o ponto C. Se a área do triângulo ABC é 5, então a medida do raio dessa circunferência é igual a a) 5 b) 5 c) 5 d) 10 e) (Ufsj 01) No plano cartesiano, a reta de equação y x intercepta o eixo y no ponto C. A equação da circunferência que tem centro em C e raio é a) x y x 0 b) c) d) x y y 0 x y y 0 x y x 0 Página 6 de 1

7 . (Unisc 01) A equação x Ay Bxy x 4y C 0 representa uma circunferência cujo diâmetro mede 10 unidades de distância. Esta afirmação nos permite determinar o valor dos coeficientes reais A, B e C e também garantir que a expressão A B C é igual a a) 0. b) 10. c) 11. d) 1. e) 0.. (Ueg 01) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s. 4. (Espcex (Aman) 01) O ponto da circunferência x y x 6y 1 0 que tem ordenada máxima é 0, 6 a) b) 1, c) 1,0 d), e), 5. (Ufsm 01) O diagrama Taiji, da figura a seguir, representa, na filosofia chinesa, a integração entre Yin e Yang. Essa figura é encontrada em vários períodos da história da arte. Sabendo que as coordenadas do diâmetro AB da circunferência externa ao diagrama Taiji são, respectivamente, A(1, 0) e B(1, 4), assinale verdadeira (V) ou falsa (F) nas afirmativas. ( ) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é x y 11 = 0. ( ) O raio da circunferência é 10. ( ) A equação da circunferência é x 14x + y 14y + 9 = 0. A sequência correta é a) F F F. b) F F V. c) F V F. d) V F V. e) V V V. 6. (Mackenzie 01) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que x y x e x y y. Fazendo π, a área dessa região é a) 1 b) 0,5 c) d) 1,5 e),5 Página 7 de 1

8 7. (Epcar (Afa) 01) No plano cartesiano, a circunferência λ de equação x y 6x 10y k 0, com k, determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento 8. Dessa forma, é correto afirmar que a) λ é tangente ao eixo Ox b) o raio de λ é igual a k P k, 1 λ c) d) λ é secante à reta x k 8. (Ufrgs 01) Observe, abaixo, o círculo representado no sistema de coordenadas cartesianas. Uma das alternativas a seguir apresenta a equação desse círculo. Essa alternativa é a) (x ) + (y ) = 10. b) (x + ) + (y + ) = 1. c) (x ) + (y ) = 1. d) (x ) + y = 10. e) x +(y + ) = (Acafe 01) O comprimento da corda determinada pela reta x y sobre a circunferência cujo centro é (, ) e o raio mede cm é igual a: a) 4 cm b) 5 cm c) 4 cm d) cm 0. (Espm 01) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x ) + (y ) 4 e seja P a região definida por x ou y. A área da região intersecção entre C e P é: a) π b) π c) π d) 4π e) 5π Página 8 de 1

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x + 4x y + 10y + 5 = (x + ) + (y + 5) = 4 Logo, o centro é C(, 5). O ponto P simétrico do ponto ( 1,1) em relação ao eixo x é P ( 1, 1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R = ( 1 ( )) + ( 1 ( 5)) = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + ) + (y + 5) = 17 x + y + 4x + 10y = 0 x + y + 4x + 10y + 1 = 0 Resposta da questão : Equação da reta PJ: y x 1 Determinando a abscissa do ponto J: y x 1 x y x x 1 4 xj. Logo, 1 7 Portanto, KJ 1 7 dm. Resposta da questão : a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y 4y 0 x 4 y y 4 x y 5y 4 0 x 4 y y 5y 4 0 x 4 y y 1 ou y 4 (, 1) ou (0, 4). b) Completando os quadrados, obtemos x y 4y 0 (x 0) (y ) 4. Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. Página 9 de 1

10 Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em (, 1) e (, 1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Resposta da questão 4: [E] Considere a figura. Sejam s e t as retas paralelas à reta x 4y 60 0, e tangentes à circunferência x y 4. Seja r a reta que passa pelos pontos de tangência P e Q. Como r é perpendicular à reta x 4y 60 0, concluímos que seu coeficiente angular é igual a 1 4. Daí, como r passa pela origem, sua equação é 4 4 y x. Página 10 de 1

11 Dado que as alternativas apresentam apenas valores positivos, queremos calcular o coeficiente linear da reta t (ordenada do ponto M). Resolvendo o sistema formado pelas equações da circunferência e da reta r, obtemos 4x 6 x 4 x 5 6 xp 5 e y P. 5 5 Logo, a equação da reta t é y x y x e, portanto, o resultado pedido é,5. Resposta da questão 5: [D] A circunferência C tem centro no ponto A(1, ) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo. Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem PA ( 1) (6 ) 0 e, portanto, PQ PA AQ PQ 0 1 PQ 19 u.c. Página 11 de 1

12 Resposta da questão 6: A equação da reta pedida é dada por xp 4 y y P (x x P) y (x 4) y P 4 5 y x. Resposta da questão 7: [A] Completando os quadrados, obtemos x y 4x 0 (x ) y 4. Assim, o centro da circunferência é o ponto C(, 0). O coeficiente angular da reta t é dado por xc xp yc yp 0 Desse modo, a equação de t é y (x 1) e, portanto, a abscissa do ponto de interseção de t com o eixo x é tal que Resposta da questão 8: = 1. 0 (x 1) x 1 x. como o raio é igual a [01] (Verdadeira). x y 4x 6y 4 0 x x 9, (mesmo valor da ordenada do centro) a circunferência é tangente ao eixo x. como o raio é igual a ( [0] (Verdadeira). x y 4x 6y 9 0 x x 4, mesmo valor da abscissa do centro) a circunferência é tangente ao eixo y. [04] (Verdadeira) [08] (Verdadeira). x y 4x 6y 1 0 x x 6 e x y 1, circunferência de centro 0,0 e [16] (Verdadeira)., e raio r possui centro no ponto x y 4x 6y 0 x x 10, Página 1 de 1

13 Resposta da questão 9: [E] 1. Verdadeira, pois Falsa. O raio é 5.. Verdadeira, pois o centro C(, 4) está na reta, pois 4 4. Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. Resposta da questão 10: [C] A região do plano representada simultaneamente pelas duas inequações está representada na figura a seguir, um semicírculo de raio R =. Logo, sua área será dada por: π A π. Resposta da questão 11: [D] Resolvendo o sistema, encontramos os pontos de intersecção da reta com a circunferência: x (y ) 5 y x Temos as seguintes soluções A(1,0) e B(,). Logo, as coordenadas do ponto Médio M do segmento AB será dada por: 1 0 M,, Página 1 de 1

14 Resposta da questão 1: [D] x y 4x 6y 0 x y 16 Centro C(,) e raio r = 4, então: CA = 4 e PC = (8 ) (10 ) 85 Portanto: PA = 85 4 PA 69 Resposta da questão 1: [A] O raio da circunferência é dado por ( 4) Logo, a equação da circunferência é Resposta da questão 14: [E] Reescrevendo a equação, obtemos (x 7) (y ) 5. x y 6x 6y 10 (x ) (y ) 8, que é a equação de uma circunferência centrada em (, ) e raio. Desse modo, como o centro pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, segue que a soma x y é máxima quando y x. Logo, (x ) 8 x x 5. Portanto, o resultado pedido é x y Página 14 de 1

15 Resposta da questão 15: 1. Reescrevendo a equação da reta 4x y 4, obtemos 4 4x y 4 y x 8. Logo, essa reta intersecta o eixo das ordenadas no ponto A (0, 8) e o eixo das abscissas no ponto B (6, 0). Daí, como AB é diâmetro, temos que o centro da circunferência é o ponto M, médio de AB, ou seja, xa xb ya yb M,, (, 4). O raio r da circunferência é a distância do ponto M ao ponto A, isto é, r ( 0) (4 8) 5. Portanto, a soma pedida é igual a Resposta da questão 16: [A] Sejam x y 6y 5 0 e circunferências λ 1 e λ. Completando os quadrados, obtemos x y 6x y 6, respectivamente, as equações das x y 6y 5 0 x (y ). Logo, C 1 (0, ) é o centro da circunferência λ 1. Analogamente, vem x y 6x y 6 (x ) (y 1), ou seja, C (, 1) é o centro da circunferência λ. Portanto, a equação da reta que passa por C 1 e C é dada por 1 y (x 0) y 9 x 0 x y 9. Página 15 de 1

16 Resposta da questão 17: [A] O segmento de Extremos A e B é o diâmetro, pois o ângulo ˆ AOB é reto. Determinando as coordenadas do centro pelo ponto médio do segmento AB. 0 0 C, C 1,. Cálculo o raio r através da distância entre dois pontos: ( 0) (0 ) 1 r. Logo, a equação da circunferência será: Resolvendo o sistema, temos: 1 (x 1) y. 1 (x 1) y, portanto as soma das coordenadas será 5. y x 5 5 x e y. Resposta da questão 18: [C] Página 16 de 1

17 R = raio e o ponto (5, R) é o centro. Calculando a distância de (5, R) até (1,) temos o raio. (5 1) R R 16 (R ) R Desenvolvendo, temos 4R = 0 R = 5. Resposta da questão 19: [C] 100x 100y 400x 600y ( 100) 4 x y 4x 6y x 4x 4 y 6y (x ) (y ) 4 Logo, o raio será dado por: r = 9 4 Calculando o comprimento do arco (altura h da professora): π h 0,75 π u.c. 4 Resposta da questão 0: [A] AB (6 ( 1)) ( ( )) h 5 5 h 50 Página 17 de 1

18 50 R h 5 50 R R R 5 R 5 Resposta da questão 1: [B] Determinando o ponto C (fazendo x 0) : y 0 y 1, logo C 0,1. Escrevendo a equação da circunferência com centro em C(0,1) e raio, temos: x 0 y 1 x y y 1 4 x y y 0 Resposta da questão : [D] Para que a equação represente uma circunferência, deve-se ter A 1 e B 0. Além disso, sabendo que o raio da circunferência mede 10 5 u.c, vem: x y x 4y C 0 (x 1) (y ) 5 C. Logo, 5 C 5 C 0 e, portanto, A B C 1 0 ( 0) 1. Resposta da questão : 1 Se mr, temos ms Determinando a equação da reta s que passa pelo ponto B(10,0) 1 y 0 x 10 x y 10 Página 18 de 1

19 Determinando o ponto C resolvendo o sistema: x y 10, temos C(,4) y x Sabemos que o triângulo ABC é retângulo. Logo, o centro da circunferência é o ponto M(5,0), ponto médio da hipotenusa, e seu raio é 5. Determinando sua equação temos: x 5 y 0 5 x 5 y 0 5 Resposta da questão 4: [C] Completando os quadrados, obtemos x x y 6y 1 0 (x 1) 1 (y ) (x 1) (y ) 9. Logo, segue que o centro da circunferência é o ponto C( 1, ) e o seu raio é r 9. O ponto de ordenada máxima é o ponto sobre a reta x C 1, cuja ordenada é dada por yc r 0, ou seja, ( 1, 0). Resposta da questão 5: [C] FALSA, pois o ponto B(1, 4) não verifica a equação apresentada: VERDADEIRA, r 10. FALSA, o centro da circunferência é o ponto médio do segmento AB dado por C, C7,1, já a equação apresentada mostra que o centro é o ponto (7, 7). Página 19 de 1

20 Resposta da questão 6: [B] x y x x x 1 y 1 (x 1) y 1 x y y x y y 1 1 x (y 1) 1 Representado as duas regiões no plano cartesiano e destacando a região comum, cuja área é A. Portanto, A = A 1 π A 0, Resposta da questão 7: [A] Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos que: a = 6, então a = b = 10, então b = 5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(, 5). Esboçando a circunferência, temos: Calculando o raio, tem-se: R = + 4 R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x. Página 0 de 1

21 Resposta da questão 8: [C] Como o centro possui coordenadas positivas pode-se admitir centro no ponto (,) e raio R 1. Logo, a equação da circunferência será dada por: (x ) + (y ) = 1. Resposta da questão 9: [D] A equação da circunferência é dada por (x ) (y ) 9. Se a reta y x determina uma corda na circunferência, então as abscissas das extremidades dessa corda são tais que: (x ) (x 5) 9 x 4x 4 x 10x 5 9 x 7x 10 0 x ou x 5. Logo, (, 0) e (5, ) são as extremidades da corda e, portanto, o comprimento da mesma é (5 ) ( 0) 9 9 cm. Resposta da questão 0: [C] Observando as figuras, concluímos que a área pedida é: A =. π. π. 4 Página 1 de 1