Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Geo. Analítica

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1 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y. Para cada número real t tal que 0 t, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Unicamp 015) No plano cartesiano, a equação x y x y representa a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes. 3. (Espcex (Aman) 015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação x 3y 0 é o ponto a) 3, 1. b) 1,. c),. d) 3,8. e) 3,.. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, ). Os valores de m e n são, respectivamente, a) e 3 Página 1 de 19

2 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica b) e 5 c) e d) e e) e 3 5. (Ita 015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x y 0 e s : 3x y A área do círculo determinado por C é igual a a) 5 π. 7 b) π. 5 c) 3 π. d) 8 π. 3 e) 9 π. 6. (Ita 015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a a) (, ) e. b), 1 e 1. c) (, 1) e 1. d) (, ) e. e) (, ) e. 7. (Ita 015) Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência. 3 II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que 6x x y xy x xy 0 é um conjunto finito no plano cartesiano. III. Os pontos (,3), (, 1) e (3,1) pertencem a uma circunferência. Destas, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) I e II. e) I e III. 8. (Espcex (Aman) 015) Uma reta t passa pelo ponto A( 3,0) e é tangente à parábola de equação x 3y no ponto P. Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações. a) t : x 10y 3 0 e P(7,3) b) t : x 15y 6 0 e P(1,) c) t : x 15y 6 0 e P(1, ) d) t : y 0 e P(0,0) Página de 19

3 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica e) t : x 6y 3 0 e P(3, 1) 9. (Unifesp 015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto. No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6. a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P. b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura. 10. (Enem 01) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a) b) c) d) e) f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x Página 3 de 19

4 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 11. (Unesp 01) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90 no sentido anti-horário, a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M girando o segmento PA em um ângulo de 90 no sentido horário, a partir de P; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P e o ponto do local do tesouro. 1. (Fuvest 01) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (3, ) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a), 5 17 b),3 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, (Ita 01) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, ), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento, a) Página de 19

5 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica b) c) d) e) (Unicamp 01) No plano cartesiano, a reta de equação x 3y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas a),. 3 b) (3, ) c),. 3 d) (3, ). 15. (Unicamp 01) Considere no plano cartesiano os pontos A ( 1, 1) e B (, ). a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a (Espcex (Aman) 01) Sejam dados a circunferência λ : x y x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. a) λ : x y x 10y 16 0 b) c) d) e) λ : x y x 10y 1 0 λ : x y x 5y 16 0 λ : x y x 5y 1 0 λ : x y x 10y (Ita 01) a) Determine o valor máximo de z i, sabendo que z 1, z. b) Se zo satisfaz (a), determine z o. 18. (Fuvest 01) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y x. a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. x y y 0 e a b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y y 0 e y x. Página 5 de 19

6 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 19. (Ita 01) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a π (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : x y 5 0 e s : x y 0 é 3 10 a) x y. 3 3 b) x y c) x y d) x y e) x y. 0. (Espcex (Aman) 01) Sobre a curva 9x + 5y 36x + 50y 16 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é. e) Sua excentricidade é 0,8. 1. (Unesp 01) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. Página 6 de 19

7 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. Página 7 de 19

8 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t ). O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e. Além disso, o vértice tem coordenadas (, 1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k sendo g(x), x x k x x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( ) 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : [D] Supondo que x, y, temos x y x y x y x y ou x y x y x e y 0 ou, x 0 e y ou seja, a equação representa os eixos cartesianos, cuja interseção é a origem. Resposta da questão 3: [A] Considerando, (r ) x 3y 0 e P(1, 5) Determinando a equação da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5) Página 8 de 19

9 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica ( s) 3 x y k k 0 k 7 Logo, a equação da reta ( s) será dada por 3x y 7 0. Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s. x 3y 0 3x y 7 0 Resolvendo o sistema, temos M( 1, ). Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de PA. 1 xa 1 xa 3 5 xa xa 1 Logo, A( 3, 1). Resposta da questão : [A] Completando os quadrados, vem m m x x y my n (x 1) y n 1. Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, ), obtemos n x x y my ( 3) ( 3) ( ) 3. Resposta da questão 5: [E] Página 9 de 19

10 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Determinando um ponto P da reta r de abscissa x 0, temos: P (0,1) mr ms 3 r // s. Considerando a medida R do raio da circunferência, temos: dr,s dp,s R R R 3 R 3 Portanto a área do círculo será dada por: 3 A π 9 π Resposta da questão 6: [A] Considerando r o raio da circunferência, temos o centro no ponto C(, r). A distância do ponto C à reta de equação x y 0, tangente á circunferência, é dada por r (medida do raio). k r r r r r ou r r r ou r (não convém) Portanto, o raio da circunferência é: C(, ). r ( 1) 1 e o centro é o ponto Resposta da questão 7: [A] Página 10 de 19

11 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica [I] Verdadeira. Vamos admitir os pontos médios da forma M(x,y) e O a origem. Como os pontos A e B estão sobre os eixos, concluímos que o triângulo AOB é retângulo de hipotenusa I, portanto, I OM. Daí, temos: OM x y I x y I Portanto, uma circunferência de raio I/. [II] Falsa. 3 6x x y xy x xy 0 x (6x xy y x y) 0 x (x y x xy x y) 0 x ((x y) (x y) x (x y) (x y)) 0 x (x y) (x y x ) 0 x (x y) (3x y ) 0 Temos então três equações de reta: x 0 x y 0 3x y 0 Portanto, temos infinitos pontos. [III] Falsa. Os pontos estão alinhados, pois: Resposta da questão 8: [E] Seja ( t ) a reta tangente à parábola de equação x 3y. ( t ) y mx n, como o ponto A( -3,0) pertence a ( t ) concluímos que n 3m e a equação da reta t passa a ser escrita por y mx 3m. Substituindo y mx 3m na equação da parábola, temos: x 3 (mx 3m) x 3 (m x 6m x 9m ) x 3m x 18m x 7m 3m x (18m 1)x 7m 0 Para que a reta seja tangente à parábola o discriminante deverá ser igual à zero. Página 11 de 19

12 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Δ 0 (18m 1) 3m 0 36m 1 0 m 1 6 ou m 1 6 Se m 1 6, temos x 6y 3 0. Se m 1 6, temos x 6y 3 0. Fazendo m 1 6, temos: x 6x 9 0 x 3 ou y 1. Resposta da questão 9: Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. π a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento rad. 3 modo, tem-se que Desse π π P 6 cos, 6sen (3, 3 3). 3 3 b) Sendo BOP 60, temos POA e, portanto, OAP 75. Daí, segue que OP OA 6 e, assim, A (0, 6). Portanto, a equação reduzida da reta AP é y 6 (x 0) y ( 3 )x Resposta da questão 10: [D] A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência sabendo que y 0, temos Resposta da questão 11: f(x) x, com x. x y. Logo, Página 1 de 19

13 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica ΔP BM ΔACP (LAA ) P B AC a e P C b o 1 1 ΔACP ΔM DP (LAA ) DP a e M D 10 b o Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b). 1 Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M 1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M 1 e M é M(5,5). Resposta da questão 1: [D] Considere a figura. Página 13 de 19

14 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica A equação da reta AB é dada por yb y x y x. x 3 B Logo, tem-se 3y Q,y e 3y M,0, com 0 y. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) x x 3 8 B C 3 y x. 5 5 Daí, 3 5y P, y e 3 5y N, 0, com 0 y. A área do retângulo MNPQ é dada por (MNPQ) MN PN 3 5y 3y (y 0) y 8y [(y ) )] 8 (y ). Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 13: [D] 11 P,. Página 1 de 19

15 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica O ponto D pertence à mediatriz do segmento BC, logo D é (K,3). Considerando que D é equidistante dos pontos A e B, temos: AD BD K 1 3 K K K 11 K 10K 5 8K 7 7 K 8 7 Portanto, D,3. 8 Logo, a medida do raio r será dada por: R AD 1 (3 ) Resposta da questão 1: [D] A equação segmentária da reta AB é x y x 3y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, ), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( ), (3, ). Resposta da questão 15: a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto 1 3 médio de AB é, e o coeficiente angular da reta AB é 1, segue-se que a equação 3 da mediatriz de AB é dada por Página 15 de 19

16 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 3 1 y 3x 3x y 3 0. b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C (0, α), com α 0. Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos α α 1 α 1 3α 16 0 α ou α. 3 Porém, sendo α 0, só pode ser α. Resposta da questão 16: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x + x + + y + 10y + 5 = (x + ) + (y + 5) = Logo, o centro é C(, 5). O ponto P simétrico do ponto ( 1,1) em relação ao eixo x é P ( 1, 1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R = ( 1 ( )) + ( 1 ( 5)) = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + ) + (y + 5) = 17 x + y + x + 10y = 0 x + y + x + 10y + 1 = 0 Resposta da questão 17: a) Desde que z 1, com z x yi e x, y, vem z 1 x yi 1 (x ) y 1 (x ) y 1, ou seja, os números complexos z que satisfazem z 1, pertencem à circunferência de centro em (, 0) e raio 1. Lembrando que z i denota a distância do complexo z x yi ao complexo w i, considere a figura. Página 16 de 19

17 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Queremos calcular a medida do segmento AB. Como AB AC CB e CB 1, falta calcular AC. Daí, AC ( 0) (0 ( 1)) 5 e, portanto, AB 5 1. b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. Logo, CD CB CD OC AC 5 e BD CB 1 BD. OA AC 5 Portanto, z0 i i Resposta da questão 18: a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y y 0 x y y x y 5y 0 x y y 5y 0 x y y 1 ou y ( 3, 1) ou (0, ). b) Completando os quadrados, obtemos Página 17 de 19

18 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica x y y 0 (x 0) (y ). Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0). Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, ). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e ( 3,1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y y 0 e y x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Resposta da questão 19: [D] As retas são perpendiculares, pois mr ms Considerando o ponto C centro da circunferência de raio, pois sua área é π. A reta PC é paralela ao eixo x, logo: yp y c e xc x P k Para determinar as coordenadas do ponto P basta resolver o sistema abaixo: Página 18 de 19

19 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica x y 5 0 x y Portanto, P, Determinando o valor de k no triângulo assinalado, temos: sen 5 k k 3 13 Portanto, xc e y c. Logo, a equação da circunferência será dada por: 3 13 x y. Resposta da questão 0: [E] 9x + 5y 36x + 50y 16 = 0 9(x x + ) + 5(y + y + 1) = (x ) + 5(y + 1) = 5 (x ) (y 1) Equação de uma elipse com centro no ponto (, 1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = /5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 1: Centro da elipse: C(,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por: y 3 y 3 (x ) (x ) Página 19 de 19