Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Geo. Analítica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Geo. Analítica"

Transcrição

1 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y. Para cada número real t tal que 0 t, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Unicamp 015) No plano cartesiano, a equação x y x y representa a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes. 3. (Espcex (Aman) 015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação x 3y 0 é o ponto a) 3, 1. b) 1,. c),. d) 3,8. e) 3,.. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, ). Os valores de m e n são, respectivamente, a) e 3 Página 1 de 19

2 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica b) e 5 c) e d) e e) e 3 5. (Ita 015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x y 0 e s : 3x y A área do círculo determinado por C é igual a a) 5 π. 7 b) π. 5 c) 3 π. d) 8 π. 3 e) 9 π. 6. (Ita 015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a a) (, ) e. b), 1 e 1. c) (, 1) e 1. d) (, ) e. e) (, ) e. 7. (Ita 015) Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência. 3 II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que 6x x y xy x xy 0 é um conjunto finito no plano cartesiano. III. Os pontos (,3), (, 1) e (3,1) pertencem a uma circunferência. Destas, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) I e II. e) I e III. 8. (Espcex (Aman) 015) Uma reta t passa pelo ponto A( 3,0) e é tangente à parábola de equação x 3y no ponto P. Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações. a) t : x 10y 3 0 e P(7,3) b) t : x 15y 6 0 e P(1,) c) t : x 15y 6 0 e P(1, ) d) t : y 0 e P(0,0) Página de 19

3 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica e) t : x 6y 3 0 e P(3, 1) 9. (Unifesp 015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto. No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6. a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P. b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura. 10. (Enem 01) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a) b) c) d) e) f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x Página 3 de 19

4 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 11. (Unesp 01) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90 no sentido anti-horário, a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M girando o segmento PA em um ângulo de 90 no sentido horário, a partir de P; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P e o ponto do local do tesouro. 1. (Fuvest 01) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (3, ) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a), 5 17 b),3 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, (Ita 01) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, ), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento, a) Página de 19

5 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica b) c) d) e) (Unicamp 01) No plano cartesiano, a reta de equação x 3y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas a),. 3 b) (3, ) c),. 3 d) (3, ). 15. (Unicamp 01) Considere no plano cartesiano os pontos A ( 1, 1) e B (, ). a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a (Espcex (Aman) 01) Sejam dados a circunferência λ : x y x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. a) λ : x y x 10y 16 0 b) c) d) e) λ : x y x 10y 1 0 λ : x y x 5y 16 0 λ : x y x 5y 1 0 λ : x y x 10y (Ita 01) a) Determine o valor máximo de z i, sabendo que z 1, z. b) Se zo satisfaz (a), determine z o. 18. (Fuvest 01) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y x. a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. x y y 0 e a b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y y 0 e y x. Página 5 de 19

6 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 19. (Ita 01) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a π (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : x y 5 0 e s : x y 0 é 3 10 a) x y. 3 3 b) x y c) x y d) x y e) x y. 0. (Espcex (Aman) 01) Sobre a curva 9x + 5y 36x + 50y 16 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é. e) Sua excentricidade é 0,8. 1. (Unesp 01) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. Página 6 de 19

7 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. Página 7 de 19

8 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t ). O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e. Além disso, o vértice tem coordenadas (, 1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k sendo g(x), x x k x x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( ) 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : [D] Supondo que x, y, temos x y x y x y x y ou x y x y x e y 0 ou, x 0 e y ou seja, a equação representa os eixos cartesianos, cuja interseção é a origem. Resposta da questão 3: [A] Considerando, (r ) x 3y 0 e P(1, 5) Determinando a equação da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5) Página 8 de 19

9 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica ( s) 3 x y k k 0 k 7 Logo, a equação da reta ( s) será dada por 3x y 7 0. Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s. x 3y 0 3x y 7 0 Resolvendo o sistema, temos M( 1, ). Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de PA. 1 xa 1 xa 3 5 xa xa 1 Logo, A( 3, 1). Resposta da questão : [A] Completando os quadrados, vem m m x x y my n (x 1) y n 1. Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, ), obtemos n x x y my ( 3) ( 3) ( ) 3. Resposta da questão 5: [E] Página 9 de 19

10 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Determinando um ponto P da reta r de abscissa x 0, temos: P (0,1) mr ms 3 r // s. Considerando a medida R do raio da circunferência, temos: dr,s dp,s R R R 3 R 3 Portanto a área do círculo será dada por: 3 A π 9 π Resposta da questão 6: [A] Considerando r o raio da circunferência, temos o centro no ponto C(, r). A distância do ponto C à reta de equação x y 0, tangente á circunferência, é dada por r (medida do raio). k r r r r r ou r r r ou r (não convém) Portanto, o raio da circunferência é: C(, ). r ( 1) 1 e o centro é o ponto Resposta da questão 7: [A] Página 10 de 19

11 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica [I] Verdadeira. Vamos admitir os pontos médios da forma M(x,y) e O a origem. Como os pontos A e B estão sobre os eixos, concluímos que o triângulo AOB é retângulo de hipotenusa I, portanto, I OM. Daí, temos: OM x y I x y I Portanto, uma circunferência de raio I/. [II] Falsa. 3 6x x y xy x xy 0 x (6x xy y x y) 0 x (x y x xy x y) 0 x ((x y) (x y) x (x y) (x y)) 0 x (x y) (x y x ) 0 x (x y) (3x y ) 0 Temos então três equações de reta: x 0 x y 0 3x y 0 Portanto, temos infinitos pontos. [III] Falsa. Os pontos estão alinhados, pois: Resposta da questão 8: [E] Seja ( t ) a reta tangente à parábola de equação x 3y. ( t ) y mx n, como o ponto A( -3,0) pertence a ( t ) concluímos que n 3m e a equação da reta t passa a ser escrita por y mx 3m. Substituindo y mx 3m na equação da parábola, temos: x 3 (mx 3m) x 3 (m x 6m x 9m ) x 3m x 18m x 7m 3m x (18m 1)x 7m 0 Para que a reta seja tangente à parábola o discriminante deverá ser igual à zero. Página 11 de 19

12 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Δ 0 (18m 1) 3m 0 36m 1 0 m 1 6 ou m 1 6 Se m 1 6, temos x 6y 3 0. Se m 1 6, temos x 6y 3 0. Fazendo m 1 6, temos: x 6x 9 0 x 3 ou y 1. Resposta da questão 9: Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. π a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento rad. 3 modo, tem-se que Desse π π P 6 cos, 6sen (3, 3 3). 3 3 b) Sendo BOP 60, temos POA e, portanto, OAP 75. Daí, segue que OP OA 6 e, assim, A (0, 6). Portanto, a equação reduzida da reta AP é y 6 (x 0) y ( 3 )x Resposta da questão 10: [D] A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência sabendo que y 0, temos Resposta da questão 11: f(x) x, com x. x y. Logo, Página 1 de 19

13 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica ΔP BM ΔACP (LAA ) P B AC a e P C b o 1 1 ΔACP ΔM DP (LAA ) DP a e M D 10 b o Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b). 1 Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M 1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M 1 e M é M(5,5). Resposta da questão 1: [D] Considere a figura. Página 13 de 19

14 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica A equação da reta AB é dada por yb y x y x. x 3 B Logo, tem-se 3y Q,y e 3y M,0, com 0 y. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) x x 3 8 B C 3 y x. 5 5 Daí, 3 5y P, y e 3 5y N, 0, com 0 y. A área do retângulo MNPQ é dada por (MNPQ) MN PN 3 5y 3y (y 0) y 8y [(y ) )] 8 (y ). Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 13: [D] 11 P,. Página 1 de 19

15 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica O ponto D pertence à mediatriz do segmento BC, logo D é (K,3). Considerando que D é equidistante dos pontos A e B, temos: AD BD K 1 3 K K K 11 K 10K 5 8K 7 7 K 8 7 Portanto, D,3. 8 Logo, a medida do raio r será dada por: R AD 1 (3 ) Resposta da questão 1: [D] A equação segmentária da reta AB é x y x 3y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, ), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( ), (3, ). Resposta da questão 15: a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto 1 3 médio de AB é, e o coeficiente angular da reta AB é 1, segue-se que a equação 3 da mediatriz de AB é dada por Página 15 de 19

16 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 3 1 y 3x 3x y 3 0. b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C (0, α), com α 0. Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos α α 1 α 1 3α 16 0 α ou α. 3 Porém, sendo α 0, só pode ser α. Resposta da questão 16: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x + x + + y + 10y + 5 = (x + ) + (y + 5) = Logo, o centro é C(, 5). O ponto P simétrico do ponto ( 1,1) em relação ao eixo x é P ( 1, 1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R = ( 1 ( )) + ( 1 ( 5)) = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + ) + (y + 5) = 17 x + y + x + 10y = 0 x + y + x + 10y + 1 = 0 Resposta da questão 17: a) Desde que z 1, com z x yi e x, y, vem z 1 x yi 1 (x ) y 1 (x ) y 1, ou seja, os números complexos z que satisfazem z 1, pertencem à circunferência de centro em (, 0) e raio 1. Lembrando que z i denota a distância do complexo z x yi ao complexo w i, considere a figura. Página 16 de 19

17 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica Queremos calcular a medida do segmento AB. Como AB AC CB e CB 1, falta calcular AC. Daí, AC ( 0) (0 ( 1)) 5 e, portanto, AB 5 1. b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. Logo, CD CB CD OC AC 5 e BD CB 1 BD. OA AC 5 Portanto, z0 i i Resposta da questão 18: a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y y 0 x y y x y 5y 0 x y y 5y 0 x y y 1 ou y ( 3, 1) ou (0, ). b) Completando os quadrados, obtemos Página 17 de 19

18 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica x y y 0 (x 0) (y ). Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0). Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, ). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e ( 3,1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y y 0 e y x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Resposta da questão 19: [D] As retas são perpendiculares, pois mr ms Considerando o ponto C centro da circunferência de raio, pois sua área é π. A reta PC é paralela ao eixo x, logo: yp y c e xc x P k Para determinar as coordenadas do ponto P basta resolver o sistema abaixo: Página 18 de 19

19 Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica x y 5 0 x y Portanto, P, Determinando o valor de k no triângulo assinalado, temos: sen 5 k k 3 13 Portanto, xc e y c. Logo, a equação da circunferência será dada por: 3 13 x y. Resposta da questão 0: [E] 9x + 5y 36x + 50y 16 = 0 9(x x + ) + 5(y + y + 1) = (x ) + 5(y + 1) = 5 (x ) (y 1) Equação de uma elipse com centro no ponto (, 1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = /5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 1: Centro da elipse: C(,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por: y 3 y 3 (x ) (x ) Página 19 de 19

Exercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

Distância entre dois pontos, média e mediana

Distância entre dois pontos, média e mediana Distância entre dois pontos, média e mediana 1. (Pucrj 014) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (5,1) e B (13,6). a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD. b) (modificado) Determine

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMATICA FUNÇÕES NUMEROS COMPLEXOS

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMATICA FUNÇÕES NUMEROS COMPLEXOS 1. (Unicamp 01) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r,

Leia mais

Matemática - UNESP fase

Matemática - UNESP fase Matemática - UNESP -015-014- fase 1. (Unesp 015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada

Leia mais

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos.

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos. Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de pontos. 1. (Ufpr 014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = 0 no plano

Leia mais

RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1. (Unifesp 016) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. a) Determine

Leia mais

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência PROFESSOR FLABER ª SÉRIE Circunferência 01. (Fuvest SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x + y - x - 4y = 0. Então a equação de

Leia mais

Retas Tangentes à Circunferência

Retas Tangentes à Circunferência Retas Tangentes à Circunferência 1. (Fuvest 01) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

Professor Mascena Cordeiro

Professor Mascena Cordeiro www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)

Leia mais

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação: 1. (Ufc) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo. 2. (Unesp) A reta r é perpendicular

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Nome: DATA: 09/11/016 Alexandre Uma elipse tem centro na origem e o eixo maior coincide com o eixo Y. Um dos focos é 1 F1 0, 3 e a

Leia mais

Resoluções de Exercícios

Resoluções de Exercícios Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA IV Co Capítulo 04 Ângulos entre Retas; Inequações no Plano; Circunferência 0 D Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: 01 A) 03 C Assim,

Leia mais

Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre

Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre Pergunta 1 de 10 - Assunto: Álgebra [011 - ENEM] Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,delimitando

Leia mais

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2),

Leia mais

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a.

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a. APOSTILAS (ENEM) VOLUME COMPLETO Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM) 4 VOLUMES APOSTILAS IMPRESSAS E DIGITAIS Questão 1 (UFPE) Determine o ponto médio dos segmentos seguintes, que têm medidas inteiras:

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

2º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio 2º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº

2º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio 2º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA. λ x y 4x 0 e o ponto P 1, 3. Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de

GEOMETRIA ANALÍTICA. λ x y 4x 0 e o ponto P 1, 3. Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de ENSINO MÉDIO - 2012 LISTA DE EXERCÍCIOS 3ª SÉRIE - 3º TRIM PROF. MARCELO DISCIPLINA : GEOMETRIA GEOMETRIA ANALÍTICA 1) Espcex (Aman) 2013) Considere a circunferência 2 2 λ x y 4x 0 e o ponto P 1, 3. Se

Leia mais

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica? X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial

Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial 1. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento

Leia mais

Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000?

Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000? PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - AGOSTO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Quantos

Leia mais

FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU 1. (Uece 015) Se a função real de variável real, definida por f(1) =, f() = 5 e f(3) =, então o valor de f() é a). b) 1. c) 1. d). f(x) = ax + bx + c, é tal que.

Leia mais

Matemática: Geometria Plana Vestibulares UNICAMP

Matemática: Geometria Plana Vestibulares UNICAMP Matemática: Geometria Plana Vestibulares 015-011 - UNICAMP 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y. Para cada número real t tal que 0 t, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário.

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo

Leia mais

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,

Leia mais

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos Exercícios de distância entre dois pontos 1. (FUVEST 1ª fase) Sejam A = (1, ) e B = (3, ) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60º, no

Leia mais

- GEOMETRIA ANALÍTICA -

- GEOMETRIA ANALÍTICA - Vestibulando Web Page 1. (Puc-rio 2004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: a) (3, 4) b) (4, 6) c) (-4, -6) d) (1, 7) e) (2, 3) 2. (Ufg 2004) Para medir a área

Leia mais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI -UNITAU MATEMÁTICA-PROF. CARLINHOS/KOBA-3º ENSINO MÉDIO

ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI -UNITAU MATEMÁTICA-PROF. CARLINHOS/KOBA-3º ENSINO MÉDIO ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI -UNITAU MATEMÁTICA-PROF. CARLINHOS/KOBA-3º ENSINO MÉDIO EXERCÍCIOS PARA ESTUDO DE RECUPERAÇÃO DO 1º SEMESTRE MATEMÁTICA I 1) Um ponto P pertence ao eixo das ordenadas

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Equações da reta no plano

Equações da reta no plano 3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........

Leia mais

3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta

3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta 1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada

Leia mais

Distâncias e Conceitos Básicos

Distâncias e Conceitos Básicos GEOMETRIA ANAL TICA - N VEL B SICO Distância e Conceitos Básicos...Pag.01 Retas...Pag.05 Distância de Ponto à Reta e reas.pag.11 Circunferências....Pag.14 Posições Relativas entre Retas e Circunferências...Pag.19

Leia mais

Geometria Analítica. x + y 4x 6y+ m= 0 e a circunferência C 2 tem. C 2 são tangentes exteriormente, assinale o que for

Geometria Analítica. x + y 4x 6y+ m= 0 e a circunferência C 2 tem. C 2 são tangentes exteriormente, assinale o que for Geometria Analítica 1. (Uerj 15) As baterias B 1 e B de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 1% e 9% da carga total. Considere as seguintes informações: - as baterias

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse:  02/05/2012 1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para

Leia mais

a) b) 5 3 sen 60 o = x. 2 2 = 5. 3 x = x = No triângulo da figura abaixo, o valor do x é igual a: a) 7 c) 2 31 e) 7 3 b) 31 d) 31 3

a) b) 5 3 sen 60 o = x. 2 2 = 5. 3 x = x = No triângulo da figura abaixo, o valor do x é igual a: a) 7 c) 2 31 e) 7 3 b) 31 d) 31 3 Matemática a. série do Ensino Médio Frentes e Eercícios propostos AULA FRENTE Num triângulo ABC em que AB = 5, B^ = º e C^ = 5º, a medida do lado AC é: a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 Sabendo-se que um dos lados

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

Prof: Danilo Dacar

Prof: Danilo Dacar Parte A: 1. (Uece 014) Sejam f : R R a função definida por f(x) x x 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento

Leia mais

C(h) = 3h + 84h 132 O maior número de clientes presentes no supermercado será dado pela ordenada máxima da função:

C(h) = 3h + 84h 132 O maior número de clientes presentes no supermercado será dado pela ordenada máxima da função: Resposta da questão : [D] Reescrevendo a lei de f sob a forma canônica, vem f(x) = (x x) + 0 = (x ) +. Portanto, segue que a temperatura máxima é atingida após horas, correspondendo a C. Resposta da questão

Leia mais

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além

Leia mais

Revisão de Função. Inversa e Composta. Professor Gaspar. f : 1,,3, f(x) x 2x 2 e. g(x) x 2x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? g(x) 2x.

Revisão de Função. Inversa e Composta. Professor Gaspar. f : 1,,3, f(x) x 2x 2 e. g(x) x 2x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? g(x) 2x. Revisão de Função. (Espcex (Aman) 05) Considere a função bijetora f :,,, definida por f(x) x x e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a b é a). b) 4. c)

Leia mais

3º ANO DO ENSINO MÉDIO. 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? 60º 105º. 0 x x. a) Escreva uma equação geral da reta r.

3º ANO DO ENSINO MÉDIO. 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? 60º 105º. 0 x x. a) Escreva uma equação geral da reta r. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 3º BIMESTRE GEOMETRIA ANALÍTICA 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1.- Quais são os coeficientes angulares das retas r e s? s 60º 105º r 2.- Considere a figura a seguir: 0 x r 2 A C -2 0 2 5

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Exercícios de exames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com

Leia mais

Distância entre duas retas. Regiões no plano

Distância entre duas retas. Regiões no plano Capítulo 4 Distância entre duas retas. Regiões no plano Nesta aula, veremos primeiro como podemos determinar a distância entre duas retas paralelas no plano. Para isso, lembramos que, na aula anterior,

Leia mais

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P. Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano

Leia mais

Simulado. enem. Matemática. e suas. Tecnologias VOLUME 1 DISTRIBUIÇÃO GRATUITA

Simulado. enem. Matemática. e suas. Tecnologias VOLUME 1 DISTRIBUIÇÃO GRATUITA Simulado enem 013 3a. série Matemática e suas ISTRIUIÇÃO GRTUIT Tecnologias VOLUM 1 Simulado NM 013 Questão 1 lternativa: omo a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180º, tem-se que α + β = 90º.

Leia mais

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini Aluno :... Questão 1 - (FUVEST SP/014) GEOMETRIA PLANA Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos

Leia mais

MAT 105- Lista de Exercícios

MAT 105- Lista de Exercícios 1 MAT 105- Lista de Exercícios 1. Determine as áreas dos seguintes polígonos: a) triângulo de vértices (2,3), (5,7), (-3,4). Resp. 11,5 b) triângulo de vértices (0,4), (-8,0), (-1,-4). Resp. 30 c) quadrilátero

Leia mais

Matemática. Ficha Extra - Temas do 2º Bim. 3 os anos Walter/Blaidi Nome: Nº: Turma:

Matemática. Ficha Extra - Temas do 2º Bim. 3 os anos Walter/Blaidi Nome: Nº: Turma: Matemática Ficha Extra - Temas do º Bim. 3 os anos Walter/Blaidi 01 Nome: Nº: Turma: 1. (PUCRS) A região plana limitada por uma semicircunferência e seu diâmetro faz uma rotação completa em torno desse

Leia mais

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO MATEMÁTICA II 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO GEOMETRIA ANALÍTICA

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO MATEMÁTICA II 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO GEOMETRIA ANALÍTICA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO MATEMÁTICA II a SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO GEOMETRIA ANALÍTICA ******************************************************************************** 1) (U.F.PA) Se a distância do ponto

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO... EQUAÇÃO REDUZIDA... EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA... 3 RECONHECIMENTO... 3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA... 1 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA... 17 PROBLEMAS

Leia mais

3ª Série do Ensino Médio

3ª Série do Ensino Médio 3ª Série do Ensino Médio 01. Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final

Leia mais

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 19 246 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 20 Vamos analisar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 nos casos em que exatamente um dos coeficientes A ou C é nulo. 1. Parábola

Leia mais

MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander

MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander I) O BÁSICO 0. Considere os pontos A(,8) e B(8,0). A distância entre eles é: 3 3 0 0. O triângulo ABC formado pelos pontos A (7, 3), B ( 4, 3)

Leia mais

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0 QUESTÃO ÚNICA 0,000 pontos distribuídos em 50 itens Marque no cartão de respostas a única alternativa que responde de maneira correta ao pedido de cada item.. O valor da área, em unidades de área, limitada

Leia mais

Lista de Função Quadrática e Módulo (Prof. Pinda)

Lista de Função Quadrática e Módulo (Prof. Pinda) Lista de Função Quadrática e Módulo (Prof. Pinda) 1. (Pucrj 015) Sejam as funções f(x) x 6x e g(x) x 1. O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) g(x) é: a) 8 b) 1 c) 60 d)

Leia mais

TESTE DE DIAGNÓSTICO

TESTE DE DIAGNÓSTICO TESTE DE DIAGNÓSTICO 9.º 10.º ANO NOME: N.º: TURMA: ANO LETIVO: / DURAÇÃO DO TESTE: 90 MINUTOS DATA: / / O teste é constituído por dois grupos. No Grupo I, são indicadas quatro opções de resposta para

Leia mais

Média, Mediana e Distância entre dois pontos

Média, Mediana e Distância entre dois pontos Média, Mediana e Distância entre dois pontos 1. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (, ) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e). (Ufrgs

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 4 82

Geometria Analítica II - Aula 4 82 Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio

Leia mais

Hipérbole. Sumário. 6.1 Introdução Hipérbole Forma canônica da hipérbole... 6

Hipérbole. Sumário. 6.1 Introdução Hipérbole Forma canônica da hipérbole... 6 6 Hipérbole Sumário 6.1 Introdução....................... 2 6.2 Hipérbole........................ 2 6.3 Forma canônica da hipérbole............. 6 6.3.1 Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente

Leia mais

Assunto: Estudo do ponto

Assunto: Estudo do ponto Assunto: Estudo do ponto 1) Sabendo que P(m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de m. resp: -4/3

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

O problema proposto possui alguma solução? Se sim, quantas e quais são elas?

O problema proposto possui alguma solução? Se sim, quantas e quais são elas? PROVA PARA OS ALUNOS DE 3º ANO DO ENSINO MÉDIO 1) Considere o seguinte problema: Vitor ganhou R$ 3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de 50 moedas, quantas

Leia mais

a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G

a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G MATEMÁTICA O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados

Leia mais

5. (UFJF-MG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são

5. (UFJF-MG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br ( ) 4t 1. Para que valores 5 + 1, 2t 4 pertence ao eixo das ordenadas? A linguagem das funções Sistema de coordenadas Conceito de função

Leia mais

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0 MATEMÁTICA FUVEST Na figura abaixo, a reta r tem equação y = x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B, B 3 estão na reta r, sendo B 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A 3 estão no eixo

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 5. Questão 3. alternativa D. alternativa D. alternativa D. alternativa B.

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 5. Questão 3. alternativa D. alternativa D. alternativa D. alternativa B. Questão TIPO DE PROVA: A Um mapa está numa escala :0 000 000, o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 0 000 000 de unidades. Se no mapa a distância

Leia mais

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano. SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa D. alternativa B. alternativa E

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa D. alternativa B. alternativa E Questão TIPO DE PROVA: A Os números compreendidos entre 400 e 500, divisíveis ao mesmo tempo por 8 e 75, têm soma: a) 600 d) 700 b) 50 e) 800 c) 50 Questão Na figura, temos os esboços dos gráficos de f

Leia mais

MAT Poli Cônicas - Parte I

MAT Poli Cônicas - Parte I MAT2454 - Poli - 2011 Cônicas - Parte I Uma equação quadrática em duas variáveis, x e y, é uma equação da forma ax 2 +by 2 +cxy +dx+ey +f = 0, em que pelo menos um doscoeficientes a, b oucénão nulo 1.

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c

Leia mais

Matemática I Cálculo I Unidade B - Cônicas. Profª Msc. Débora Bastos. IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

Matemática I Cálculo I Unidade B - Cônicas. Profª Msc. Débora Bastos. IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE Unidade B - Cônicas Profª Msc. Débora Bastos IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 22 12. Cônicas São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um plano.

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 SUMÁRIO Apresentação ---------------------------------------------- 3 Capítulo 5 ---------------------------------------------------4

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais mata Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo. Os vértices deste quadrado

Leia mais

Cônicas. 2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação. x y 4y 0 e a. y 4 x.

Cônicas. 2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação. x y 4y 0 e a. y 4 x. Cônicas 1. (Uepg 014) Uma reta e uma parábola se interceptam nos pontos (4, 5) e (1, ). Se a abscissa do vértice da parábola vale, assinale o que for correto. 01) A reta intercepta o eixo x no ponto (

Leia mais

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg Geometria Analítica Cônicas Prof. Vilma Karsburg Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Considere e fixa e g girar 360 em torno de e, mantendo constante o ângulo entre

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto

Leia mais

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS Bacharelado em Ciência e Tecnologia ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica 008. ) São dados os pontos

Leia mais

Tecnologia em Construções de Edifícios

Tecnologia em Construções de Edifícios 1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até

Leia mais

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C

Leia mais

Matemática 41 c Resolução 42 b Resolução 43 e OBJETIVO 2001

Matemática 41 c Resolução 42 b Resolução 43 e OBJETIVO 2001 Matemática c Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 5%, 0%, 5% e

Leia mais

01- Assunto: Função Polinomial do 1º grau. Determine o domínio da função f(x) =

01- Assunto: Função Polinomial do 1º grau. Determine o domínio da função f(x) = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - ª ETAPA ============================================================================================== 0- Assunto: Função Polinomial do

Leia mais

F I C H A D E D I A G N O S E. Curso CCS e CCT Componente de Formação Geral Data / / Nome Nº GRUPO I

F I C H A D E D I A G N O S E. Curso CCS e CCT Componente de Formação Geral Data / / Nome Nº GRUPO I COLÉGIO INTERNACIONAL DE VILAMOURA INTERNATIONAL SCHOOL Disciplina Matemática A T E S T E D E A V A L I A Ç Ã O F I C H A D E D I A G N O S E Ensino Secundário Ano 11º - A e B Duração 90 min Curso CCS

Leia mais

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10).

7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, 6), Q(3, 0) e R(4, 10). Lista 3: Cônicas Professora Elisandra Bär de Figueiredo 1. Determine a equação do conjunto de pontos P (x, y) que são equidistantes da reta x = e do ponto (0, ). A seguir construa este conjunto de pontos

Leia mais

Coordenadas e distância na reta e no plano

Coordenadas e distância na reta e no plano Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais