Distância entre dois pontos, média e mediana

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Tomás Vítor Laranjeira Ramires
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1 Distância entre dois pontos, média e mediana 1. (Pucrj 014) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (5,1) e B (13,6). a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD. b) (modificado) Determine as coordenadas do centro e o raio do círculo inscrito no quadrado ABCD.. (Ufg 014) Um caçador de tesouros encontrou um mapa que indicava a localização exata de um tesouro com as seguintes instruções: Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção leste e 65 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado. Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano cartesiano, representado pela figura a seguir. Neste plano a escala utilizada foi de 1:100, as medidas são dadas em centímetros e o ponto A representa a pedra grande indicada nas instruções. Considerando que um passo mede 80 cm, encontre as coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo. Página 1 de 7

2 3. (Ufsc modificada) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Para a transmissão da copa do mundo de 014 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se desloque por um plano paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo representa o campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no tamanho real. Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) Os pontos (7, 4), (4, ) e (10, 6) não são colineares. b) No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 100 π m. 4. (Uea 014) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, B (1, ) e C (, 3) pertencem a uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da ordenada de A é a) 0. b) 3. c) 1. d). e) 1. Página de 7

3 5. (Unesp 014) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que: (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90 no sentido anti-horário, a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M girando o segmento PA em um ângulo de 90 no sentido horário, a partir de P; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P e o ponto do local do tesouro. 6. (G1 - ifsp 014) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3;5), B(; 6) e C( 4;1) no Plano Cartesiano. O triângulo A B C é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A B C é a) ( 3 ; 5 ). b) ( ; 6 ). c) ( ; 1 ). d) ( 4 ; 5 ). e) ( 4 ; 1 ). 7. (Uem 014) Uma chapa plana, com densidade homogênea, tem a forma de um quadrilátero cujos vértices são os pontos A = (0,0), B = (1,1), C = (,1) e D = (3,0). Suponha que essa placa foi obtida pela união de duas placas triangulares ABC e ACD. Considerando essas placas e os conhecimentos relativos à determinação do centro de massa de figuras planas, assinale o que for correto. 01) Os centros de massa das placas triangulares ABC e ACD são formados pelos seus baricentros, que são, respectivamente, os pontos 1, 3 e 5 1,. 0) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da massa da chapa triangular ABC. 3 04) O centro de massa da chapa ABCD deve estar sobre a reta vertical x, pois essa reta é um eixo de simetria da chapa. 08) Em qualquer quadrilátero, o centro de massa é dado pelo ponto de interseção de suas diagonais. 16) O centro de massa de uma chapa plana formada pela união de duas outras chapas planas é sempre o ponto médio do segmento de reta que une seus respectivos centros de massa. Página 3 de 7

4 Gabarito: Resposta da questão 1: a) A medida do lado do quadrado é igual a d(a, B) (13 5) (6 1) u.c. b) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, seu raio mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5. Resposta da questão : 750 0,8 600m, 500 0,8 400m e 65 0,8 500m , (1, 13), e k 500 cos Distância percorrida: m. Coordenada do ponto T. x T y T Resposta da questão 3: a) Incorreto. Os pontos (7, 4), (4, ) e (10, 6) são colineares, pois (16 0 4) b) Correto. A área do círculo central é igual a π10 100πm. Página 4 de 7

5 Resposta da questão 4: [E] O ponto A é da forma (0, k), como os pontos A, B e C estão alinhados, temos: 0 k k 3 4 k 0 k Resposta da questão 5: ΔP BM ΔACP (LAA ) P B AC a e P C b o 1 1 ΔACP ΔM DP (LAA ) DP a e M D 10 b o Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b). 1 Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M 1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M 1 e M é M(5,5). Página 5 de 7

6 Resposta da questão 6: [E] Considerando que o simétrico de um ponto P( x,y) em relação ao eixo y é P ( x,y), temos: A(3,5), então A =( 3,5) B(, 6), então B (, 6) C( 4,1), então C (4,1) Logo, a alternativa [E] é a correta. Resposta da questão 7: = 07. [01] Verdadeira. Baricentro da placa ABC: Baricentro da placa ACD: , 1, ,,. [0] Verdadeira, pois a razão entre as áreas é SΔ(ACD) 3 SΔ(ABC) 11 [04] Verdadeira, pois x = 3/3 é a mediatriz do segmento BC. [08] Falsa. O centro de gravidade do quadrilátero abaixo não é a intersecção de suas diagonais. Página 6 de 7

7 [16] Falsa. Observe a figura abaixo. Baricentro do triângulo AOB: (-,1) Baricentro do triângulo: AOC: ( 1,1) Ponto médio de G 1 G : ( -1/,1) Baricentro do triângulo ABC: (-3/,1) Página 7 de 7

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