Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 2 Professor Marco Costa

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1 1 Projeto Jovem Nota (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm e 600 cm, respectivamente. A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B. a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C. 2. (Ufrrj 2004) Esboce graficamente as retas y = x - 1, y = x - 3, y = - x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada por estas retas.

2 2 Projeto Jovem Nota (Unicamp 2005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, perguntase: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora? 4. (Fuvest 2003) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. 5. (Fuvest 2004) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a 2, determinar a) o valor de r. b) a área da região hachurada.

3 6. (Ufpe 2004) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado 12, os arcos DE, EF, FD estão contidos em circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada? (Dados: use as aproximações 3,14 e Ë3 1,73). 7. (Unesp 2003) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura. Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine: a) a área (em m ) da região isolada, em função do lado menor; b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendo-se que a área da região era de 36 m e a medida do lado menor era um número inteiro.

4 8. (Unesp 2004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é = 30, a medida do ângulo AED é e x = BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando = (Unesp 2004) A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AÔB por š, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de š, com 0 š 2. Se OA= 1 m e AC= 3 m, determine: a) a expressão matemática para a função A(š). b) o valor de š, em graus, se a área irrigada for de 8 m. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação = 3.)

5 10. (Unicamp 2004) Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 24 cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm. a) Calcule a área do triângulo eqüilátero. b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo. 11. (Unicamp 2004) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de cm, pergunta-se: a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 metros de comprimento por 50 metros de largura? b) Se 3/56 da população de uma cidade lota a praça, qual é, então, a população da cidade? 12. (Unifesp 2004) Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y = 2x e x = k, k > 0. Nestas condições, expresse, em função de k: a) a área A(k) da região sombreada. b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada.

6 13. (Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas. Nestas condições, calcule: a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita. b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada. 14. (Ufscar 2003) Para fins beneficentes, foi organizado um desfile de modas num salão em forma de círculo, com 20 metros de raio. A passarela foi montada de acordo com a figura abaixo, sendo que as passarelas CA e CB são lados que corresponderiam a um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência. No espaço sombreado, ocupado pela platéia, foram colocadas cadeiras, sendo uma cadeira por m e um ingresso para cada cadeira. Adotando Ë3 = 1,73 e = 3,14, a) determine quantos metros cada modelo desfilou, seguindo uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB. b) sabendo-se que todas as cadeiras foram ocupadas, calcule quantos ingressos foram vendidos para este evento.

7 15. (Unicamp 2004) Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 16. (Ufpe 2005) A função f(x) com domínio no intervalo [0,3] tem seu gráfico esboçado a seguir. O gráfico é composto do segmento com extremos nos pontos (0,1) e (1,2) e da semicircunferência passando pelos pontos (1,2), (2,1) e (3,2). Considerando esses dados, analise as afirmações abaixo. ( ) A imagem da função f é o intervalo [0,2]. ( ) O valor máximo de f é 3. ( ) O comprimento do gráfico de f é (Ë2) +. ( ) Para x no intervalo [1, 3] temos f(x) = 2 + Ë[1 - (x - 2) ]. ( ) A área da região limitada pelo gráfico de f, os eixos coordenados e a reta x = 3 é (11- )/ (Uem 2004) Considere o paralelogramo MNPQ. Os vértices M e N desse paralelogramo são determinados pelas interseções entre a reta r de equação y = -x -1 e a circunferência C de equação (x - 1) + (y + 1) = 1, sendo que o ponto M está sobre o eixo das ordenadas e o vértice Q tem coordenadas (2,1). Nessas condições, é correto afirmar que 01) o outro vértice do paralelogramo está sobre o eixo OX. 02) o paralelogramo é um retângulo. 04) as diagonais do paralelogramo se interceptam nos seus pontos médios. 08) a área do paralelogramo é maior que a área do círculo de circunferência C dada. 16) a medida da diagonal desse paralelogramo é maior que 3 unidades de comprimento. 32) o centro da circunferência está no exterior do paralelogramo.

8 18. (Ufg 2003) A figura a seguir representa duas cartolinas retangulares, a maior medindo 30 cm por 40 cm e a menor medindo 20 cm por 40 cm. A respeito dessas cartolinas, julgue os itens abaixo: ( ) Uma caixa sem tampa, construída utilizando como fundo a cartolina menor e cuja superfície lateral é obtida cortando-se a outra cartolina, poderá ter 12 cm de altura. ( ) Tomando um ponto P, no lado EF, é possível construir um trapézio ADCQ, com Q no lado BC, com a mesma área do triângulo HEP. ( ) É possível cortar a cartolina maior em dois retângulos, com a área de um deles igual ao dobro da área do outro. ( ) Fazendo um corte reto, que ligue o vértice D ao ponto médio do lado BC, a cartolina maior é dividida em um trapézio e um triângulo, os quais podem ser agrupados de modo a formar um paralelogramo.

9 19. (Ufpr 2004) A figura abaixo representa um esquema de 17 cm por 21 cm, elaborado como modelo para a confecção de uma colcha de retalhos de tecidos. As regiões indicadas na figura por A, B, C e D correspondem às cores dos tecidos a serem utilizados: A-verde; B-azul; C-amarela; D-branca. As demais regiões serão feitas com tecido de cor bege Sobre esse esquema, é correto afirmar: (01) A área que corresponde ao tecido de cor verde é 128 cm. (02) O comprimento de um fio dourado a ser colocado no contorno externo do tecido de cor amarela é menor que 18Ë2cm. (04) A área correspondente ao tecido de cor branca é menor do que 20 cm. (08) Se o tamanho da colcha for de 1,70 m por 2,10 m e ela for confeccionada mediante uma ampliação do esquema, então, nessa ampliação, a área do tecido de cor azul será de 800 cm. (16) Para alterar a distribuição de cores no esquema, existem 16 possibilidades de troca daquelas mesmas 4 cores nas regiões A, B, C e D. Soma ( ) 20. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3 cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45 cm. (02) A única maneira de provar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é SŠ = (n - 2).180 consiste em traçar todas as diagonais desse polígono que tenham origem num vértice fixado, o que dividirá o polígono em n - 2 triângulos. (04) Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40. (08) Se o perímetro do quadrado inscrito numa circunferência é de 8 cm então a área do quadrado circunscrito a essa circunferência é de 8 cm.

10 GABARITO Projeto Jovem Nota a) f(x) = -x + 50x, com 0 < x < 50. b) 625 cm 2. Observe a figura abaixo: A = A + A = 3 u.a. 3. a) Não b) 400 (8 - ) km 4. AB = a) 2(1 + Ë2) unidades de comprimento b) 8[6+ 4(Ë2) (Ë2) ] unidades de área a) S = x(17-2x) com 0 < x < 8,5 b) x = 4m e y = 9m 8. a) 3x/2 cm b) 6[(Ë3) -1] cm 9. a) A(š) = 15š/2 b) š = a) 16Ë3 cm b) 5 cm

11 11. a) pessoas b) pessoas 12. a) A(k) = k b) k(3 + Ë5) u.c. 13. a) 6(Ë3) - 2 unidades de área b) 4 unidades de comprimento 14. a) 109,2 metros b) 910 ingressos 15. a) 3 cm b) 3/2 16. F F V F V 17. itens corretos: 01, 02, 04, 08 e 16 itens incorretos: F F V V = proposições corretas: 01 e 08 proposições incorretas: 02 e 04

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