Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.

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Maria Laura Custódio Vilalobos
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1 Gênesis Soares Jaboatão, de de 014. Estudante: Circunferência: Circunferência: A circunferência é o conjunto de todos os pontos de plano equidistantes de outro ponto C do mesmo plano chamado centro da circunferência. A distância do ponto C à qualquer ponto da circunferência é denominado raio. Equação reduzida da circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r. Y P y C C x C X r² x² y² r² ( x xc)² ( y yc)² Logo: C: centro da circunferência r: raio da circunferência Círculo é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto fixo (C) é menor ou igual a uma constante positiva r. r² ( x a)² ( y b)² A equação acima destacada é a equação reduzida da circunferência. Observações:

centro C(a ; b) e raio r. Posições relativas: Entre ponto e circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C(a, b) e raio r.

2 Equação normal da circunferência: Seja a circunferência de centro C (a ; b) e raio r, r > 0, e, portanto, de equação reduzida (x a)² + (y b)² = r². Desenvolvendo a equação reduzida obtemos: x² ax + a² + y² by + b² = r², e ordenando, convenientemente, temos: x²+ y² ax by + a² + b² r² = 0 esta equação é dita equação normal da circunferência de centro C(a ; b) e raio r. Posições relativas: Entre ponto e circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C(a, b) e raio r. A equação desta circunferência é: Sendo P(x 0, y 0 ) um ponto do plano cartesiano, a distância de P ao centro C da circunferência é: Consequências: Se uma circunferência é dada pela sua equação normal, pode-se determinar seu centro e raio por comparação. Se uma circunferência é dada por sua equação normal, pode-se obter a equação reduzida completando-se a soma dos quadrados, característica da forma reduzida. Chamamos de potência de P em relação à circunferência o número d² r², que é positivo, negativo ou nulo, conforme P seja externo, interno ou pertencente à circunferência. Observação: Toda circunferência cuja equação é do tipo x + y = r tem centro na origem do sistema de coordenadas. Y r -r O r X x y r -r

3 Assim, concluímos que: Entre reta e circunferência: Consequências: Considerem uma circunferência (λ) de centro C e raio r e uma reta s do plano α.

4 Posições relativas entre duas circunferências: Exercícios: 1.º) Dada a circunferência de equação x² + y² x 4y 3 = 0, determine a posição de cada um dos pontos abaixo em relação a ela: a) A (3, 4) b) B (, 6) c) D (0, 3).º) (Unesp) Seja S = {(x, y) R : x² + y² = 16 e x² + (y 1)² 9} uma região do plano. A área de S é: a) 5 b) 7 c) 5x d) 7x e) 7x²

3.º) (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x + y - 4y = 0 e x + y - 4x - y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas: a) esboce os seus gráficos; b) determine as coordenadas do ponto

5 3.º) (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x + y - 4y = 0 e x + y - 4x - y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas: a) esboce os seus gráficos; b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências. 4.º) (Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1; ). Nessas condições, o raio de C vale: a) 5 b) 5 c) 5 d) 3 5 e) 10 5.º) (Fuvest-SP) A circunferência dada pela equação x² + y² 4x 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. a) b) c) 4 d) 6 e) 8 6.º) (Fuvest-SP) A circunferência x² + y² = 4 é simétrica à circunferência x² + y² 1x 8y + 48 = 0 em relação a uma reta r. Uma equação dessa reta é: a) 3x y = 13 b) 3x y = 5 c) x 3y = 0 d) 3x + y = 13 e) 3x + y = 5 7.º) (UGF-RJ) Qual deve ser o valor de k de modo que o ponto P(1, 0) pertença ao interior da circunferência cuja equação é x² + y² x y k = 0? a) k = - b) k > - 1 c) k < 1 d) k > 3 e) k = 5 8.º) (COVEST) Dada a equação de uma circunferência x² + y² - 4x + 6y - 1 = 0, podemos afirmar que seu raio é igual a: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 É correto afirmar que a área da região hachurada vale: 9.º) (COVEST) Uma circunferência de raio 10 é tangente ao eixo das abscissas e à reta com equação y = x. Se a circunferência tem centro no ponto (a, b), situado no primeiro

6 quadrante, assinale o inteiro mais próximo de a. 10.º) (COVEST) Em um sistema de coordenadas ortogonais xoy, um triângulo tem vértices nos pontos de interseção das retas com equações y = x, y = - x + 1 e y = x/5 (ilustradas a seguir). Se a equação da circunferência circunscrita ao triângulo é x² + y² + ax + by + c = 0, indique o valor de (a - b + c)². a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 9 13.º) (ESPM-SP) Na figura abaixo, tem-se representada, em um sistema de eixo cartesianos, a circunferência λ, de centro C. 11.º) (Fuvest-SP) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circunferência (x 4)² + y² = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x: a) 5 b) 5 c) 5 d) 3 5 e) 10 a equação de λ é: a) x² + y² 4x + y 4 = 0 b) x² + y² + 4x + y 4 = 0 c) x² + y² x + 4y + = 0 d) x² + y² 4x y 4 = 0 e) x² + y² x + 4y + 5 = 0 14.º) (PUC-SP) Seja x² + y² + 4x = 0 a equação da circunferência de centro Q representada no plano cartesiano abaixo. 1.º) (FGV-SP) Dada a equação x² + y² = 14 x + 6 y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então 3p + 4q é igual a:

b) x² + c) x² + d) x² + e) x² + 3 4 y = 3 3 3 4 y 3 = 3 3 3 y 4 = 16 3 1 y 3 = 3 Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N

7 b) x² + c) x² + d) x² + e) x² y = y 3 = y 4 = y 3 = 3 Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é dado por: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; 16.º) (UFPB) Na figura, a circunferência de equação x² + y² 10x 4y + 13 = 0 tem centro no ponto C. Se o ponto A tem as coordenadas (9; 6) e a reta t é tangente à circunferência no ponto T, então a área assinalada é igual a: 15.º) (UFRGS-RS) Considere a circunferência inscrita no triângulo equilátero, conforme mostra a figura a seguir. a) 16 b) 8 c) 8 d) 8 e) 4 A equação da circunferência é: a) x²+(y-1)² =1 17.º) (Ufop-MG) Num sistema cartesiano de coordenadas, a equação x² x + y² + 4y = 4 descreve uma circunferência de centro C e raio r. A equação da reta que passa pelo ponto C e tem coeficiente angular igual a r é:

8 a) y = 3x 5 b) y = x 4 c) y = 3x + 5 d) y = x º) (UFRJ modificado) Os pontos ( 6, ), (3, 1) e ( 5, 5) pertencem a uma circunferência. Obtenha uma equação dessa circunferência. 19.º) (Fuvest-SP) No plano cartesiano 0xy, a reta de equação x + y = é tangente à circunferência C no ponto (0, ). Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 0.º) (Unifei-MG) Os afixos dos números complexos z 1 = 3 4i, z = 3 4i e z 3 = 3 + 4i são pontos pertencentes a uma circunferência. Obter a equação dessa circunferência.

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