Aula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo:

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1 Aula 5 5. Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática, que são as funções trigonométricas e as potências (exponenciais e logaritmos serão estudadas no próximo capítulo). Também começaremos a falar de gráfico de uma função desde a Seção 1.6. A noção de função aparece, na prática, quando uma grandeza depende de uma outra. Por exemplo: Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo: t x(t) O volume e a superfície de uma esfera são duas funções que dependem ambas do raio: r 4 3 [πr3 ] r 4πr 2. Um gás está contido num recipiente hermeticamente fechado, de temperatura fixa mas de volume variável. A pressão no recipiente á função do volume: v p(v). 1

2 5.1. Definição e Exemplos Como visto acima, uma função f (de uma variável real) é um mecanismo que, a um número real x, chamado entrada (ou variável), associa um outro número real construído a partir de x, denotado f(x) e chamado saída (ou imagem). Essa associação costuma ser denotada: x f(x) Neste curso, a entrada e a saída serão ambos números reais. Veremos em breve que cada função precisa ser definida com um domínio. Exemplo A função "multiplicação por dois"x 2x (por exemplo 3 6, ), a função "valor absoluto"x x ( por exemplo 3 9, ), e a função "valor inteiro"x x, onde x é o maior número inteiro menor ou igual a x (por exemplo 3 3, 1.5 1, ), são todas bem definidas para qualquer real x R. Exemplo Para definir a função "inverso", x 1 x, é preciso evitar uma divisão por zero, isto é, somente pegar uma entrada x R. Assim, a função f(x) = 1 x é bem definida uma vez que escrita da seguinte maneira : f : R {0} R x 1 x Do mesmo jeito, para definir f(x) = em que o denominador é zero: x, é preciso excluir os valores x 2 1 f : R { 1, +1} R x x x 2 1 Os dois últimos exemplos mostram que em geral, uma função deve ser definida junto com o seu domínio, que dá os valores de x para os quais f(x) é definida. O domínio será em geral denotado por D : f : D R 2

3 x f(x) O domínio será, em geral, importante para garantir que f (x) seja bem definida. Mas às vezes, poderemos escolher um domínio particular somente por razões específicas, ou pelas exigências de um problema. Exemplo As funções trigonométricas encontradas no Capítulo 4 podem ser consideradas como funções no sentido acima. O seno, por exemplo, associa ao ângulo α de um triângulo retângulo a razão do lado oposto sobre a hipotenusa: α sen α. Aqui vemos que, pela origem geométrica do problema, é necessário especificar os valores possíveis de α : para o triângulo ser bem definido, o ângulo precisa tomar valores entre 0 e π 2 (de fato, é delicado falar de "lado oposto"para um ângulo nulo ou maior que π 2 ). Para indicar que a função assim definida pega a sua entrada no intervalo (0, π 2 ), escreveremos sen : (0, π 2 ) R α sen(α). No entanto vimos que, usando o círculo trigonométrico, o seno de qualquer ângulo (mesmo negativo) pode ser definido, o que permite extender ele à reta real inteira: sen : R R α sen(α) A função cosseno se define de maneira análoga. Mas, com a tangente, uma restrição é necessária. De fato, tanα = senα cosα e, a divisão por zero sendo proibida, a tangente não é definida para ângulos α R tais que cosα = 0. Logo (veja o Exercício ), tan : R { π 2 ± kπ, k Z} R α tanα Exemplo A função raiz. Seja a R, e considere a equação 3

4 Sabemos (ver Seção 1.1.1) que se a < 0, nessa equação não possui soluções, se a = 0 ela possui a única solução z = 0, e se a > 0, ela possui duas soluções: z = a e z = a. Nesses dois últimos casos, quandoα 0, definiremos a função raiz de α como sendo a solução positiva de (1.34), isto é, + a. Quando a < 0, a função raiz de a não é definida. Assim, a função raiz x f(x) = x é bem definida somente quando x 0, o que se escreve da seguinte maneira: (1) f : R+ R x x Por exemplo, para achar o domínio da função 1 x, é necessário que 1 x 0, isto é, que x 1. Logo, f : (, 1] R. x 1 x Exercício Determine os domínios das seguintes funções: 5.2. Limitação Vimos que a função f(x) = 1 x é bem definida quando x 0, mas observemos agora o que acontece com f(x) para os valores de x perto de 0. Por exemplo, para os valores de x positivos x = 0.1, x = 0.01,... (2) 4

5 Assim, vemos que a medida que x > 0 se aproxima de zero, 1 x atinge valores positivos arbitrariamente grandes. O mesmo fenômeno acontece para os valores de x < 0 : 1 x atinge valores negativos arbitrariamente grandes. Diz-se que a função é não- limitada. Uma função f com domínio D é dita limitada se existir um número finito M > 0 tal que: Exemplo A função seno é limitada. De fato, pela definição (olhe para o círculo trigonométrico), 1 senx 1, para todo x. Aqui podemos pegar M = 1. Exemplo Como visto acima, a função f(x) = 1 x é não- limitada no seu lomínio D = R {0}. Do mesmo jeito, a função f(x) = x x 2 1 ( Exemplo 1.8) é não-limitada, pois toma valores arbitrariamente grandes quando x se aproxima de + 1 ou -1. Exemplo Considere f(x) = x2. Observe que f é sempre nãonegativa, e que o numerador é menor do que o denominador para x 2 +1 qualquer x : x 2 x Logo, 0 f(x) = x2 x x2 + 1 x = 1. o que prova que f é limitada (com M = 1). Exercício Determine quais das funções abaixo são limitadas. Quando for o caso, dê um valor para M. 1. x 2 2. tanx 3. 2 x x 5. x 1 x 3 x 2 x 1 6. x + senx 5.3. Gráfico 5

6 Um dos nossos objetivos é de entender, pelo menos de maneira qualitativa, a dependência de uma função f(x) em relação à sua variável x. Uma jeito de proceder é de representar a função no plano cartesiano, via o seu gráfico. O gráfico permite extrair a informação essencial contida na função, de maneira intuitiva, pois geométrica. Seja f uma função com domínio D. Esboçar o gráfico de f consiste em traçar todos os pontos do plano cartesiano da forma (x, f(x)), onde x D. Por exemplo, se f tem um domínimo D = [a, b], Exemplo Retas não-verticais são gráficos de um tipo particular. Por exemplo, se f(x) = /fracx2 + 1 tem domínio D = [0, 2), o seu gráfico é um pedaço da reta de inclinação /frac12 com ordenada na origem igual a 1: Exemplo Façamos o esboço da função f(x) = x, com domínio D = [-1, 2]. Lembre que pela definição de valor absoluto em (1.11), x = x se x= 0, e x = -x sex < 0. Portanto, o gráfico de f é: 1) entre -1 e 0, a reta de inclinação -1 passando pela origem, 2) entre 0 e 2, a reta de inclinação 1 passando pela origem: Os dois gráficos acima eram compostos essencialmente de retas. Vejamos agora um exemplo um pouco diferente. Exemplo Considere f(x) = x 2 com D = [-2, 2]. Como esboçar 6

7 o gráfico? Por exemplo, os pontos (0, f(0)) = (0, 0), (1, f(1)) = (1, 1), e (-/frac12, f(- /frac12)) = (-/frac12, /frac14) pertencem ao gráfico. Traçando o gráfico completo: A curva obtida, chamada parábola, será usada inúmeras vezes nesse curso. Observação O gráfico acima foi feito com um computador. Primeiro, o computador escolhe pontos entre -2 e +2, digamos -2 < x1 < < xn < 2, e calcula as posições (xj, f(xj)). Em seguida, ele traça a linha poligonal formada pelos segmentos ligando (xj, f(xj)) a (xj+1, f(xj+1)). Esse procedimento é chamado interpolação. Por exemplo, escolhendo n = 3, 5 ou 9 pontos no intervalo [-2, 2]: Quando o número de pontos escolhidos é grande e xj+1-xj é pequeno, a linha poligonal dá uma idéia do que deve ser o verdadeiro esboço (o gráfico do Exemplo 1.16 foi feito com n = 50, e já não dá mais para perceber que a curva é na verdade uma linha poligonal). O mesmo método permite usar o computador para esboçar o gráfico de qualquer função f : D R. Todos os gráficos dessa apostila foram feitos com esse método de interpolação. Enfatizemos que as ferramentas matemáticas desenvolvidas mais longe no curso,em particular a noção de derivada, permitirão extrair informa- 7

8 ções a respeito do gráfico de uma função dada, sem usar o computador. Isso será o objetivo do estudo de funções. Lá, o computador será usado somente como meio de verificação. Um problema inverso é de procurar uma função cujo esboço tenha características específicas. Exemplo Procuremos agora a função cujo gráfico é a metade superior do círculo de raio R = 4 centrado na origem: Lembre (Seção 3.2.) que o círculo completo de raio 4 centrado na origem,σ, é formado pelos pontos (x, y) tais que x 2 + y 2 = 16. A função procurada será obtida isolando y nessa última relação. Para y 2 = 16 x 2 ter soluções (aqui, y é a incógnita), é preciso impor que 16 x 2 = 0, o que implica 4 = x = 4. Assim, o domínio da função procurada é D = [-4, 4] (como podia se adivinhar olhando para a figura acima). Assim, quando x D, a equação acima possui duas soluções y = + 16 x 2 e y = 16 x2. Para selecionar o semicírculo superior, escolhamos a solução positiva. Portanto, a função cujo gráfico é dado pelo semi-círculo acima é: f : [ 4, 4] R x 16 x 2. Exemplo Como a função "valor absoluto", funções podem ser definidas por trechos. Por exemplo, com D = [-1, 1), o gráfico da função é formado pela reta de inclinação m = -1 que passa pela origem entre x = -1 e x = 0, e pela parte do semi-círculo de raio 1 centrado na origem entre x = 0 e x = 1: 8

9 Observe que essa função possui uma descontinuidade em x = 0: ao variar x entre pequenos valores x < 0 e pequenos valores x > 0, f(x) pula de valores perto de zero para valores perto de 1. Exercício Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja: 1. a reta horizontal que passa pelo ponto (-21,-1) 2. a parte inferior do círculo de raio 9 centrado em (5,-4) 3. a parte do círculo de raio 5 centrado na origem que fica estritamente acima da reta de equação y = 3 4. a parte do círculo de raio 5 centrado na origem contida no quarto quadrante Exercício Esboce os gráficos das seguintes funções (todas com D = R): Exercício Determine quais curvas abaixo são (ou não são) gráficos de funções. Quando for um gráfico, dê a função associada. 9

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