21 de novembro de Para o nosso propósito, os principais comandos que usaremos são: 1. plot: manda para a tela objetos em duas dimensões;

Transcrição

1 Aplicações do GNUPLOT no Cálculo 21 de novembro de Comandos Básicos do GNUPLOT Para o nosso propósito, os principais comandos que usaremos são: 1. plot: manda para a tela objetos em duas dimensões; 2. splot: manda para a tela objetos em três dimensões. À medida certa, apresentaremos mais comandos do GNUPLOT. 2 Exemplos Iniciais Apenas para aquecimento, vejamos alguns exemplos de gráficos de funções f : A R R e f : Ω R 2 R que são objetos de duas e três dimensões respectivamente. Exemplo 2.1 Para a função f(x) = x 2 + 3x + 1 passemos ao GNUPLOT os seguintes comandos: gnuplot > f(x)=x*x+3*x-1 gnuplot > set xrange[-5:5] gnuplot > set yrange[-5:5] gnuplot > plot f(x) Os comandos set xrange[-5:5] e set yrange[-5:5] ajustam a tela. Tudo aparecerá num quadrado Se a janela que apresenta ao gráfico estiver ativa, clique g e veja o que acontece. Voltando a tela do GNUPLOT, digite gnuplot > plot f(x),0 Observe que além do gráfico, aparece o eixo X. Isso ajuda a estimar as raízes da função (juntamente com a tecla g). Exemplo 2.2 Para a função f(x) = e x, façamos gnuplot > f(x)=exp(x) gnuplot > plot f(x) Vamos comparar as funções f(x) = e x, g(x) = e x+1 e h(x) = e x 1. Passemos ao GNUPLOT: 1

2 gnuplot > g(x)=exp(x+1) gnuplot > h(x)=exp(x-1) gnuplot > plot f(x),g(x),h(x) Exemplo 2.3 Para a função logaritmo natural f(x) = ln x, os comandos são: gnuplot > f(x)=log(x) gnuplot > plot f(x),0 Se quisermos saber o logaritmo numa base qualquer, usamos a seguinte identidade: log x a = ln x ln a Assim, se quisermos o gráfico da função g(x) = log x 5, os comandos são: gnuplot > set xrange[-1:6] gnuplot > g(x)=log(x)/log(5) gnuplot > plot g(x),1 Note que o,1 nos ajuda a ver que g(5) = 1. Exemplo 2.4 (Funções Trigonométricas) As funções seno e cosseno são representadas no GNUPLOT por sin(x) e cos(x) respectivamente. Teste os seguintes comandos: gnuplot > set yrange[-3:3] gnuplot > f(x)=sin(x) gnuplot > plot f(x),-1,0,1 Vemos que a função seno é limitada entre 1 e 1. O comando reset é para desconsiderar alguns comandos anteriores (como o o reajuste de tela). Para as funções g(x) = sen(2x) e h(x) = sen(x/2) os comandos são gnuplot > g(x)=sin(2*x) gnuplot > h(x)=sin((1.0/2)*x) gnuplot > plot g(x), h(x) Repare que escrevemos a fração 1/2 na forma 1.0/2 uma vez que 1/2 para o GNUPLOT é uma divisão inteira, isto é, o resultado é apenas a parte inteira da fração. Colocando o.0, ele passa a entender como uma divisão real 1. Exemplo 2.5 A função f(x) = senx não está definida em x = 0, no entanto, x sabemos que senx lim x 0 x = 1 Passemos para o GNUPLOT os seguintes comandos 1 Nem tanto... Computadores trabalham com racionais, não com reais 2

3 gnuplot > f(x)=sin(x)/x gnuplot > plot f(x) Olhando o gráfico, parece não haver problema com o gráfico... Mas como não??? Esse é um dos pequenos erros do GNUPLOT. Como a função não está definida apenas para esse ponto, mas a descontinuidade é removível, não percebemos a bolinha aberta no ponto (0, 1). 3 Derivadas Dada uma função f derivável no ponto a Dom(f), sabemos que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) tem a seguinte equação y y 0 = m(x a) onde y 0 = f(a) e m = f (a). Assim, podemos escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) da seguinte forma: g(x) = f(a) + f (a).(x a) Vamos usar o GNUPLOT para visualizar o gráfico de uma função e a reta tangente num ponto (a, f(a)) pertencente ao gráfico. Vamos tomar a função f(x) = x 2 + 2x. Então sua derivada é f (x) = 2x + 2. Para visualizar a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)), passemos ao GNUPLOT os seguintes comandos: gnuplot > f(x)=x**2+2*x gnuplot > df(x)=2*x+2 gnuplot > g(x)=f(2)+df(2)*(x-2) gnuplot > plot f(x), g(x) 4 Objetos em 3D Inicialmente, alguns exemplos: Exemplo 4.1 A função f(x, y) = x + y tem como gráfico um plano. Basta considerar f(x, y) = z e temos x + y z = 0 Para constatar com o GNUPLOT, façamos: gnuplot > f(x,y)=x+y 3

4 Exemplo 4.2 (Parabolóide) O gráfico da função f(x, y) = x 2 + y 2 é o que chamamos de parabolóide. Com o GNUPLOT: gnuplot > set isosample 20,20 gnuplot > f(x,y)=x**2+y**2,0 O comando set isosample 20,20 é para melhorar a malha, deixá-la mais fechada. Já o comando set hidden3d é para diferenciar as faces da superfície. Se considerarmos a função f(x, y) = x 2 + (y 5) 2 teremos uma pequena modificação no ponto mais baixo do parabolóide. Antes, o bico do parabolóide era o ponto (0, 0, 0) no plano XY, agora será o ponto (0, 5, 0). Agora, considerando a função f(x, y) = x 2 + y , o bico do parabolóide será o ponto (0, 0, 50). Basta digitar o comando gnuplot > splot f(x,y),50 Exemplo 4.3 (Sela) Considere a função f(x, y) = x 2 y 2 GNUPLOT os seguintes comandos: e passemos ao gnuplot > set isosample 20,20 gnuplot > f(x,y)=x**2-y**2 Observe que cortes paralelos ao plano XZ nos dão parábolas com concavidade para cima, pois isso equivale a y constante em f(x, y), ou seja f(x, y) = f(x, k) = x 2 + k Cortes paralelos ao plano Y Z nos dão parábolas com concavidade para baixo, uma vez q nesse caso, x é constante e temos f(x, y) = f(k, y) = k y 2 Para ver isso, passe ao GNUPLOT os comandos gnuplot > splot f(x,2) gnuplot > splot f(3,y) Exemplo 4.4 (Chapéu de Cowboy) É a aparência do gráfico da função f(x, y) = sen( x 2 + y 2 ) x2 + y 2 Que para o GNUPLOT passaremos: 4

5 gnuplot > set isosample 40,20 gnuplot > set zrange[-0.5:1.5] gnuplot > f(x,y)=(sin(sqrt(x**2+y**2)))/(sqrt(x**2+y**2)) Exemplo 4.5 (Caixa de ovos) O gráfico da função f(x, y) = senx + cos y lembra bastante esse objeto: gnuplot > set isosample 60,20 gnuplot > set zrange[-2:2] gnuplot > f(x,y)=sin(x)+cos(x) 5 Curvas de Nível Para visualizar as curvas de nível de um gráfico em R 3, os comandos necessários para o GNUPLOT são gnuplot > set cntrparam levels incremental a,b,c gnuplot > set contour base Onde os parâmetros a, b, c são respectivamente: o primeiro nível, o espaçamento entre os níveis e o último nível a ser visualizado. Passemos aos exemplos: Exemplo 5.1 Vejamos as curvas de nível da função f(x, y) = x 2 + y 2. Para o GNUPLOT passaremos os seguintes comandos: gnuplot > set isosample 50,20 gnuplot > set cntrparam levels incremental 1,10,50 gnuplot > set contour base gnuplot > f(x,y)=x**2+y**2 Exemplo 5.2 Façamos o mesmo para as funções f(x, y) = x 2 y 2, g(x, y) = sen( x 2 + y 2 ) x2 + y 2 e h(x, y) = x 2 y 3 + 2xy

6 Referências [1] FONTENELE, F. C. F. GNUPLOT: comandos básicos e aplicações em sala de aula. Monografia do Curso de Matemática,