Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção

2 Função Exponencial

3 Dúvida: Como são denominadas as funções a seguir? E, qual a diferença entre elas? G(x) = x 2 Função potência F(x) = 2 x Função exponencial

4 Função exponencial Em geral, uma função exponencial é uma função da forma: F(x) = a x Sendo que: a > 0 e a 1 D = { x E R }

5 Função exponencial Se x = n, um inteiro positivo, então: a n = a. a. a. a. a. a. a. a. a. a. a a. a n fatores F(x) = 2 x para x = 3, temos: F(3) = 2 3 = = 8

6 Função exponencial Para: a > 1 A curva exponencial é crescente. Pontos nos quadrantes I e II. Corta o eixo y em (0,1) sempre. Não intercepta o eixo X.

7 Exemplos H(x)= - 2ˣ H(2) = -2² = 4 Não é uma função exponencial I Quadrante H(3) = -2³ = -8 IV Quadrante Isso porque a < 0

8 Função exponencial Se x = -n, um inteiro negativo, então: a n = 1 a n Assim a será um nº positivo (a > 0), do tipo racional. F(x) = 2 x para x = 3, temos: F(3) = 2 3 = = 1 8

9 Função exponencial Para: 0 < a < 1 A curva exponencial é decrescente. Pontos nos quadrantes I e II. Corta o eixo y em (0,1) sempre. Não intercepta o eixo X

10 Função exponencial Se x = 0, então: a 0 = 1 F(x) = ( 3) x para x = 0, temos: F(0) = ( 3) 0 = 1

11 Exemplos Condição para F. exponencial é a > 0 e a 1 Supomos que a = 1 em D x = 1 x Assim... D 1 = 1 1 = 1 D 2 = 1 2 = 1 D 3 = 1 3 = = 1

12 D x = 1 x Para a = 1 D x será um função do tipo constante. Logo, para uma função exponencial a 1.

13 Função exponencial Se x = p/q, um numero racional, e q 0, então: p a q = q (a) p F(x) = (25) x para x = 1 2, temos: F( 1 2 ) = (25)1 2 = = 5

14 Gráficos de Função exponencial Os gráficos dos membros da família de funções y = a x ( 1 2 )x ( 1 3 )x ( 1 10 )x 10 x 3 x 2 x

15 Função exponencial Algumas propriedades dos expoentes: Se a e b forem números positivos e x e y, números reais quaisquer, então: a x. a y = a x+y (a x ) y = a xy a x = ax y ay a x. b x = (ab) x

16 EXEMPLO 01 Esboce o gráfico da função y = 3 2 x e determine seu domínio e imagem. Domínio: Todos os números reais Imagem: (-, 3 )

17 EXEMPLO 02 Dadas as funções f(x) = 2 x² 4 e g(x) = 4 x² 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então quanto vale 2 x? f(x) = g(x) 2 x² 4 = 4 x² 2x 2 x² 4 = (2 2 ) x² 2x 2 x² 4 = 22(x² 2x) 2 x² 4 = 22x² 4x x² 4 = 2x² 4x x² 4x + 4 = 0

18 EXEMPLO 02 = b² 4.a.c = ( 4)² = = 0 x = b ± 2.a x = ( 4) ± x = 4 ± 0 2 x = 2 2 x = 2 2 = 4

19 Funções exponenciais: aplicações A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos da natureza e da sociedade. Crescimento populacional; Reprodução bacteriana; Decaimento radioativo;

20 Exemplo 03: Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2 t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero?

21 Exemplo 03: 6 dias = 6 * 24 = 144 horas B(t) = 2 t / 1 2 B ( ) = / 1 2 B ( ) = B ( ) = bactérias A cultura terá 4096 bactérias.

22 O número e Essa notação foi escolhida pelo matemático Suíço Leonhard Euller em e = 2, Podemos aplicá-lo de forma correta, utilizando apenas 5 casas decimais e = 2,71828

23 Exemplo 04 Esboce o gráfico da função y = 2(1 e x ).

24 Funções Inversas

25 Função Injetora Definição 1; Uma função f é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é; f(x 1 ) f(x 2 ) sempre que x 1 x 2

26 Teste da Reta Horizontal

27 Função Injetora Definição 2; Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B. Então sua função inversa f 1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por f 1 y = x f x = y

28 Equações de Cancelamento: f 1 (f(x)) = x para todo x em A f(f 1 (x)) = x para todo x em B

29 Como Achar a Inversa de Uma Função Injetora Passo 1: Escreva y = f(x) Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Para expressar f 1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f 1 (x)

30 Exemplo 01 Encontre a função inversa de f(x) = x 3 + 2

31 Gráfico da Inversa: g(x) = x 3 h(x) = x 1/3 y = x

32 Exemplo 02 Esboce os gráficos de f(x) = 1 x e de sua função inversa, usando o mesmo sistema de coordenadas.

33 Funções Logarítmicas

34 Funções Logarítmicas Se a > 0 e a 1, para função exponencial f(x) = a x existe uma função inversa f 1, chamada função logarítmica com base a denotada por log a. Logo; log a x = y ou f ( x ) = log a x sendo a y = x Assim, Logarítmico é um expoente e equivale à um valor.

35 Funções Logarítmicas Condições para log a x = y 1. x > 0 2. a > 0 e a 1

36 Propriedade dos Logaritmos log a 1 = 0, pois a 0 = 1; log a a = 1, pois a 1 = a; log a x = log a y x = y.

37 Propriedade dos Logaritmos Se x e y forem números positivos, então: log a (xy) = log a x + log a y log a (x/y) = log a x - log a y log a (x r ) = r log a x

38 Exemplo 03 Use as propriedades dos logaritmos para calcular log log 2 5. R = 4.

39 Equações de Cancelamento log a (a x ) = x a log a x = x

40 Funções Logarítmicas A função logarítmica é inversa da função exponencial e portanto o seu gráfico é simétrico do gráfico da função exponencial em relação à reta y = x.

41 Funções Logarítmicas...E por ser inversa da Função Exponencial, temos: Intercepta o eixo X no ponto (1 ; 0) Não intercepta o eixo y Quando a > 1 a função é crescente Quando 0 < a < 1 a função é decrescente Im = R

42 Exemplo 04 Calcule: 2 (log 5 10).(log 2 5) = Como temos um produto de expoentes podemos escrever a expressão como uma potência de potência. Aplicamos a propriedade 4 duas vezes e respondemos a questão (2 log 2 5 ) log 5 10 = 5 log 5 10 = 10

43 Exemplo 05 Calcule: 2 log = 2 log = log 2 3 = (2 log 2 3 ) 1 3= = 3 3

44 Logaritmos Naturais O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural. log e x = ln x Equações do cancelamento: ln(e x ) = x e ln x = x

45 Exemplo 06 Encontre x se ln x = 5

46 Exemplo 07 Resolva a equação e 5 3x = 10

47 Fórmula de Mudança de Base Para todo número a positivo e diferente de 1, temos. log a x = ln x ln a

48 Exemplo 08 Calcule log 8 5, até a sexta casa decimal.

49 Funções Trigonométricas Inversas

50 Funções Trigonométricas Inversas Função Seno

51 Seno com Domínio Restringido

52 Logo; sen y = x sen 1 x = y Com; - π 2 y π 2

53 Exemplo 01 (a) Calcule sen 1 ( 1 2 ) (b) Calcule tg (arcsen 3 2 )

54 Cosseno com Domínio Restringido

55 Logo; cos y = x cos 1 x = y Com; 0 y π

56 Exemplo 02 Encontre o valor exato da expressão cos 1 (-1).

57 Tangente com Domínio Restringido

58 Obrigado pela atenção!

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