Software Graphmática \. (Graphmática não é um programa gratuito, mas seus responsáveis disponibilizam uma versão

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1 1 COORDENAÇÃO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO CPPG PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA Software Graphmática \. (Graphmática não é um programa gratuito, mas seus responsáveis disponibilizam uma versão avaliativa, totalmente funcional. Em é possível obter diversas informações sobre esse software, assim como fazer o download do mesmo.) 1ª Parte Consulta Rápida Esta parte da apostila contém informações, extraídas do ajuda do próprio software (versão 2003 p), sobre operadores, funções, variáveis, constantes e gráficos de famílias de funções. Operadores Operador Significado + adição - subtração * multiplicação / divisão ^ exponenciação ( ) ou [ ] o programa não faz distinção entre colchetes e parênteses. Usa-se um ou outro de forma equivalente. ; (ponto e vírgula) separa as partes independentes de uma equação paramétrica. ' (aspas simples) o que for digitado entre as aspas simples fica como comentário, não fazendo parte da equação. Funções {m, n} especifica o domínio, m é o início do domínio e n é o fim. É possível colocar somente um deles, mas deve-se manter as chaves e a vírgula. Abaixo listamos algumas funções do Graphmática e sua correspondência com as funções matemáticas. A listagem completa das funções pode ser encontrada no ajuda do software. Funções abs valor absoluto sec secante sin seno ln logaritmo de base e cos cosseno log logaritmo de base 10 tan tangente exp ou e^x potência na base e cot cotangente sqrt raiz quadrada csc cossecante int o maior número inteiro

2 2 Variáveis Abaixo apresentamos algumas variáveis e suas respectivas utilizações. A listagem completa de variáveis pode ser encontrada no ajuda do software. Variáveis Utilização x, y coordenadas retangulares r, t r e θ nas coordenadas polares x, y, t x e y como funções de t nas funções paramétricas a, b, c variáveis livres parametrizáveis Constantes Constante Valor ou Propósito e Número de Nepper = pi (ou p) p = Gráficos de Famílias de Funções Podemos especificar para a variável livre parametrizável a uma gama de possíveis valores. Isto permite desenhar o gráfico de famílias de funções. Por exemplo, y = a*cos(x) desenha o gráfico da função cosseno com várias amplitudes; x^2+y^2 = a desenha uma classe de curvas de superfície f(x,y) = x^2+y^2. O Graphmática acrescenta às equações valores para o a. Estes valores pertencem ao intervalo especificado no Painel de Variáveis (menu VER). O primeiro valor no Painel de Variáveis é para o início do intervalo, o segundo, para o fim do intervalo, e o terceiro é o incremento. O programa começa a desenhar os gráficos com o valor do início do intervalo, e depois incrementa o valor e desenha outro gráfico até exceder o fim do seu intervalo. Por exemplo, digitando y = a*cos(x) e apertando enter aparecerá na linha de comando, por exemplo, {a: 1, 3, 1} (1 é o valor inicial intervalo no qual o a irá variar, 3 é o valor final e 1 é o incremento). Na tela aparecerão os gráficos das seguintes funções: y = cosx (a = 1) ; y = 2cosx (a = 1 + 1) e y = 3cosx (a = 2 + 1). Você poderá alterar os valores utilizados para o a no Painel de Variáveis. Trocar os valores no referido painel e clicar em actualizar provoca mudança em todos os gráficos que foram construídos utilizando o a. Se quiser alterar esses valores apenas para um gráfico específico, acrescente {a: iniciar, fim, incremento} após a equação do gráfico, digitada na linha de comandos, substituindo iniciar, fim e incremento por números específicos. O programa não estabelece qualquer limite para o número de curvas da "família", porém, desenhar um número excessivo de funções irá requerer do computador muita memória. De qualquer forma, a tela poderá ficar muito confusa se forem desenhadas

3 3 mais de dez funções. Considere isso ao especificar os limites do intervalo e o incremento. É possível ainda fazer uso das variáveis livres parametrizáveis b e c. Por exemplo, podemos solicitar o gráfico da função y = a*cos(x + b) + c. Se não especificarmos valores para a, b e c, o programa trabalhará com os valores que estão no Painel de Variáveis. Se desejarmos, poderemos especificar, na linha de comandos, os valores para a, b e c, por exemplo: y = a*cos(x + b) + c { a: -1, 2, 1} {b: 2} {c: 1} 2ª Parte Atividades A segunda parte desta apostila contém atividades, elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras formas de aplicação do software Graphmática como recurso didático. FUNÇÃO DO 1º GRAU POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 1. Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das duas funções do 1º grau de cada item (a lei de cada função será determinada por você, de acordo com os critérios apresentados abaixo). Analisando as retas construídas em cada item, determine a posição relativas das mesmas: nos itens a e b as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares distintos. no item c as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e, também, coeficientes lineares iguais. nos itens d e e as funções deverão ter coeficientes angulares diferentes e coeficientes lineares quaisquer (iguais ou diferentes). nos itens f e g o coeficiente angular da primeira função deverá ser qualquer número real diferente de zero e o coeficiente angular da segunda função deverá ser o oposto do inverso do valor escolhido para a primeira. Em ambas as funções o coeficiente linear pode ser qualquer número real. a) f 1 (x) = g 1 (x) = posição relativa das retas: b) f 2 (x) = g 2 (x) = posição relativa das retas: c) f 3 (x) = g 3 (x) = posição relativa das retas: d) f 4 (x) = g 4 (x) = posição relativa das retas: e) f 5 (x) = g 5 (x)= posição relativa das retas: _

4 4 f) f 6 (x) = g 6 (x) = posição relativa das retas: _ g) f 7 (x) = g 7 (x) = posição relativa das retas: _ 2. É possível provar que o que foi observado na questão 1, para alguns exemplos, vale de maneira geral. Assim, gráficos de duas funções do 1º grau serão retas: a. paralelas quando b. coincidentes quando c. concorrentes quando d. concorrentes perpendiculares quando 3. Escreva a equação da reta que é paralela a y = 4x + 3 e passa pelo ponto (1,5) (verifique sua resposta utilizando o software). 4. Escreva a equação da reta que é perpendicular a y = 2x + 1 e passa pelo ponto (2, 4) (verifique sua resposta utilizando o software). FUNÇÃO MODULAR - TRANSFORMAÇÕES GRÁFICAS 1. Comparação da função y = x com as funções da forma y = x + p, sendo p IR * +. a. Atribua três valores distintos a p e, gráfico de cada uma das funções em um mesmo plano cartesiano. 1.1 y = x 1.2 y = 1.3 y = 1.4 y = forma y = x + p (p IR * +) com o transformação a constante p causa 2. Comparação da função y = x com as funções da forma y = x + p, sendo p IR * -. a. Atribua três valores distintos a p e, gráfico de cada uma das funções em um mesmo plano cartesiano. 2.1 y = x 2.2 y = 2.3 y = 2.4 y =

5 forma y = x + p (p IR * -) com o transformação a constante p causa 3. Comparação da função y = x com as funções do tipo y = x + m, sendo m IR * +. a. Atribua três valores distintos a m e, gráfico de cada uma das funções em um mesmo plano cartesiano. 3.1 y = x 3.2 y = 3.3 y = 3.4 y = b. Determine o conjunto imagem de cada forma y = x + m (m IR * +) com o transformação a constante m causa 4. Comparação da função y = x com as funções do tipo y = x + m, sendo m IR * -. a. Atribua três valores distintos a i e, gráfico de cada uma das funções num mesmo plano cartesiano. 4.1 y = x 4.2 y = 4.2 y = 4.4 y = forma y = x + m (m IR * -) com o transformação a constante m causa

6 6 5. Comparação da função y = x com as funções do tipo y = a x, sendo a IR * +. a. Atribua quatro valores distintos a a (dois valores entre 0 e 1 e dois valores maiores do que 1) e, utilizando o Graphmática, esboce o gráfico de cada uma das funções em um mesmo plano cartesiano. 5.1 y = x 5.2 y = 5.3 y = 5.4 y = 5.5 y = forma y = a x (a IR * +) com o gráfico da função y = x. Que transformação o coeficiente a causa sobre o gráfico da função y = x? 6.1 y = x 6.2 y = 6.3 y = 6.4 y = 6.5 y = b. Determine o conjunto imagem de cada forma y = a x (a IR * -) com o gráfico da função y = x. Que transformação o coeficiente a causa sobre o gráfico da função y = x? constante e o incremento 6. Comparação da função y = x com as funções do tipo y = a x, sendo a IR * -. a. Atribua quatro valores distintos a a (dois valores entre -1 e 0 e dois valores menores do que -1) e gráfico de cada uma das funções num mesmo plano cartesiano.