A Derivada e a Inclinação de um Gráfico

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A Derivada e a Inclinação de um Gráfico Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 A Derivada e a Inclinação de um Gráfico 1.Tangente a um gráfico 2.Inclinação de um gráfico 3.Inclinação e o processo de limite 4.A derivada de uma função 5.Diferenciabilidade e continuidade

3 1. Tangente a um gráfico O Cálculo é o ramo da matemática que estuda as taxas de variação de funções. Na função de 1 o grau, sabemos que o coeficiente angular de uma reta indica a taxa à qual a reta sobe ou desce. Para uma reta, esta taxa é a mesma em todos os seus pontos. Para outros gráficos, que não retas, a taxa à qual o gráfico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto. 3

4 1. Tangente a um gráfico Por exemplo, na figura abaixo, a parábola sobe mais rapidamente no ponto (x 1, y 1 ) do que no ponto (x 2, y 2 ). No vértice (x 3, y 3 ), o gráfico deixa de subir ou descer, e no ponto (x 4, y 4 ), o gráfico está descendo. 4

5 1. Tangente a um gráfico Para determinar a taxa à qual um gráfico sobe ou desce em um ponto determinado, podemos achar o coeficiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gráfico de uma função f em um ponto P (x, y) é a reta que melhor aproxima o gráfico naquele ponto, conforme mostra a figura do slide anterior. 5

6 1. Tangente a um gráfico A figura abaixo ilustra outros exemplos de tangentes. 6

7 1. Tangente a um gráfico Quando Isaac Newton ( ) estava trabalhando no problema da tangente, constatou quão difícil era definir com precisão o que significa tangente a uma curva genérica. Pela geometria, sabemos que uma reta é tangente a um círculo se o intercepta em apenas um ponto, conforme a figura abaixo. 7

8 1. Tangente a um gráfico As tangentes a gráficos não-circulares, entretanto, podem interceptar o gráfico em mais de um ponto. Assim é que, no gráfico da figura abaixo, se prolongarmos a tangente ela irá interceptar o gráfico em outro ponto distinto do ponto de tangência. Veremos como a noção de limite pode ser usada para definir uma tangente genérica. 8

9 2. Inclinação de um gráfico Como a tangente é a aproximação linear do gráfico em um ponto, o problema da determinação da inclinação de um gráfico se reduz ao de achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto. 9

10 2. Inclinação de um gráfico Exemplo 1: Utilizando o gráfico abaixo, obtenha uma aproximação da inclinação do gráfico de f(x) = x 2 no ponto (1, 1). 10

11 2. Inclinação de um gráfico Pelo gráfico de f(x) = x 2, vemos que a tangente em (1, 1) sobe aproximadamente duas unidades para cada unidade de variação em x. Assim, o coeficiente angular da tangente em (1, 1) é dado por variação de y 2 = = 2 variação de x 1 11

12 2. Inclinação de um gráfico Como a tangente no ponto (1, 1) tem inclinação 2 aproximadamente, podemos concluir que o gráfico tem essa mesma inclinação em (1, 1) 12

13 2. Inclinação de um gráfico Exemplo 2: A figura abaixo ilustra a temperatura diária (em graus Fahrenheit) em Duluth, Minnesota. Estime a inclinação deste gráfico no ponto indicado e interprete fisicamente o resultado. 13

14 2. Inclinação de um gráfico Pelo gráfico podemos ver que a tangente no ponto dado cai aproximadamente 27 unidades para cada duas unidades de variação de x. Podemos, assim, estimar a inclinação no ponto dado como variação de y 27 = = 13,5 graus/mês. variação de x 2 Isto siginifica que podemos esperar, em novembro, temperaturas diárias médias mais baixas do que as 14 temperaturas correspondentes em outubro.

15 3. Inclinação e o processo de limite Nos exemplos anteriores aproximamos a inclinação de um gráfico em um ponto fazendo um esboço cuidadoso e traçando a olho a tangente no ponto de tangência. Um método mais preciso de obter aproximação de tangentes consiste em fazer uso da reta secante pelo ponto de tangência e por um segundo ponto do gráfico, conforme a figura a seguir. 15

16 3. Inclinação e o processo de limite Se (x, f(x)) é o ponto de tangência e (x +, f(x + )) é um segundo ponto do gráfico de f, então o coeficiente angular da secante pelos dois pontos é m sec f ( x + ) f ( x) y = = Coef. ang. da secante 16

17 3. Inclinação e o processo de limite O membro direito desta equação é chamado quociente de diferenças. O denominador é a variação de x, e o numerador é a variação de y. Obteremos aproximações cada vez melhores do coeficiente angular da tangente, escolhendo o segundo ponto cada vez mais próximo do ponto de tangência. Observe a sequência de imagens a seguir. 17

18 3. Inclinação e o processo de limite Utilizando o processo de limite, podemos achar o coeficiente angular exato da tangente em (x, f(x)). 18

19 3. Inclinação e o processo de limite Nota: é usada como variável para representar a variação em x na definição do coeficiente angular de um gráfico. Podem ser usadas também outras variáveis. Assim é que esta definição se escreve às vezes como: m = lim m = lim sec 0 0 f ( x + ) f ( x) 19

20 3. Inclinação e o processo de limite Definição da inclinação de um gráfico: A inclinação m do gráfico de f no ponto (x, f(x)) é igual ao coeficiente angular da tangente em (x, f(x)) e é dado por m = lim m = lim sec 0 0 f ( x + ) f ( x) desde que o limite exista. 20

21 3. Inclinação e o processo de limite Exemplo 3: Determine a inclinação do gráfico de f(x) = x 2 no ponto (-2, 4). Comecemos achando uma expressão que represente o coeficiente angular de uma secante no ponto (-2, 4). 21

22 3. Inclinação e o processo de limite m sec f ( 2 + ) f ( 2) = Estabelecer o quociente de diferenças 2 2 ( 2 + ) ( 2) 2 = Fazer f ( x) = x = = = x + ( ) 2 4 x ( x) 4 ( 4 + ) Desenvolver Simplificar Fatorar e cancelar = 4 +, 0 Simplificar 22

23 3. Inclinação e o processo de limite Em seguida, tomemos o limite de m sec quando 0. m = lim m = lim ( 4 + x) = 4 sec 0 0 Assim, o gráfico de f tem inclinação -4 no ponto (-2, 4), conforme mostra a figura a seguir. 23

24 3. Inclinação e o processo de limite 24

25 3. Inclinação e o processo de limite Exemplo 4: Ache a inclinação do gráfico de f(x) = -2x + 4. Pelo estudo das funções lineares, sabemos que a reta dada por f(x) = -2x + 4 tem coeficiente angular -2, conforme a figura a seguir. Esta conclusão é consistente com a definição de inclinação como limite. 25

26 3. Inclinação e o processo de limite m = f ( x + ) f ( x) [ 2( x + x) + 4] [ 2x + 4] = lim = lim 0 0 lim 0 2x 2 x x 4 = lim x 0 2 = 2 26

27 3. Inclinação e o processo de limite É importante distinguir entre as maneiras como foram estabelecidos os quocientes de diferenças nos Exemplos 3 e 4. No Exemplo 3, determinamos a inclinação de um gráfico em um ponto específico (c, f(c)). Para achar a inclinação, podemos utilizar a seguinte forma de um quociente de diferenças. m = f ( c + ) f ( c) lim Inclinação em um ponto 0 27

28 3. Inclinação e o processo de limite Já no Exemplo 4, obtivemos uma fórmula para a inclinação em um ponto arbitrário do gráfico. Em tais casos, devemos utilizar x, e não c, no quociente de diferenças. m = f ( x + ) f ( x) lim Fórmula para a inclinação 0 Com exceção das funções lineares, esta forma sempre produz uma função de x, que pode então ser calculada para se determinar a inclinação em qualquer ponto que queiramos. 28

29 3. Inclinação e o processo de limite m sec Exemplo 5: Determine uma fórmula para a inclinação do gráfico de f(x) = x Qual é a inclinação nos pontos (-1, 2) e (2, 5)? f ( x + ) f ( x) = Estabelecer o quociente de diferenças 2 2 [( x + x) + 1] [ x + 1] 2 = Fazer f ( x) = x x = 2 2 x x + ( ) = = 2 2 x x ( x) 1 (2 x + ) 2 x 1 Desenvolver Simplificar Fatorar e cancelar = 2 x +, 0 Simplificar 29

30 3. Inclinação e o processo de limite Em seguida, tomemos o limite de m sec quando 0. m = lim m = lim (2 x + x) = 2x sec 0 0 Aplicando a fórmula m = 2x, podemos achar a inclinação em pontos específicos. Em (-1, 2) é m = 2(-1) = -2, e em (2, 5), é m = 2(2) = 4. A figura a seguir mostra o gráfico de f. 30

31 3. Inclinação e o processo de limite 31

32 4. A derivada de uma função No exemplo 5, partimos da função f(x) = x e utilizamos o processo de limite para deduzir outra função m = 2x, que representa a inclinação do gráfico de f no ponto (x, f(x)). Esta função é chamada a derivada de f em x. Representa-se por f (x) e se lê f linha de x. 32

33 4. A derivada de uma função Definição da derivada: A derivada de f em x é dada por f ' ( x) = lim 0 f ( x + ) f ( x) desde que o limite exista. Uma função é diferenciável em x se sua derivada existe em x. O processo de cálculo de derivadas é chamado diferenciação. 33

34 4. A derivada de uma função Nota: A notação dy/dx se lê derivada de y em relação a x e, utilizando a notação de limite, podemos escrever dy y f ( x + ) f ( x) = = = dx ' lim lim f ( x). 0 0 Além de f (x), podem ser utilizadas outras notações para a derivada de y = f(x). As mais comuns são dy dx d y f x e D y dx [ ] [ ] ',, ( ), x 34

35 4. A derivada de uma função Exemplo 6: Ache a derivada de f(x) = 3x 2 2x. f ' ( x) = lim = = = = 0 lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 0 f ( x + ) f ( x) 2 2 [3( x + ) 2( x + )] [3x 2 x] 2 2 3x + 6x x + 3( ) 2x 2 6x x + 3( ) 2 (6x + 3 2) = lim (6x + 3 2) = 6x 2 2 3x 2 + 2x 35

36 4. A derivada de uma função Assim, a derivada de f(x) = 3x 2 2x é f (x) = 6x 2. Em muitas aplicações, é conveniente utilizarmos outro símbolo que não x como variável independente. O Exemplo 7 mostra uma função em que t é a variável independente. 36

37 4. A derivada de uma função Exemplo 7: Ache a derivada de y em relação a t 2 para a função y =. t 2 2 2t 2( t + t) dy f ( t + t) f ( t) t( t t) lim lim t t t + = = + = lim dt t 0 t t 0 t t 0 t = lim t 0 2t 2t 2 t 2 t t( t + t) t( t + t) = lim t t 0 t 2 2 = = t 2 t t t t lim 0 ( + ) 37

38 4. A derivada de uma função A derivada de uma função dá uma fórmula para achar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto do gráfico da função. Por exemplo, o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto (1, 2) é dado por 2 (1) 2 (1) ' f = = 2 38

39 5. Diferenciabilidade e continuidade Nem toda função é diferenciável. A figura a seguir mostra algumas situações usuais em que uma função não é diferenciável em um ponto tangentes verticais, descontinuidades e reversões bruscas. As funções apresentadas no gráfico são diferenciáveis para todos os valores de x exceto em x = 0. 39

40 5. Diferenciabilidade e continuidade 40

41 5. Diferenciabilidade e continuidade Pela figura anterior, podemos ver que a continuidade não é uma condição suficientemente forte para garantir a diferenciabilidade. Todas as funções exibidas exceto uma são contínuas em (0, 0), mas nenhuma é diferenciável ali. Por outro lado, se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua aí. Este importante resultado está englobado no teorema seguinte. 41

42 5. Diferenciabilidade e continuidade A diferenciabilidade implica continuidade Se uma função é diferenciável em x = c, então ela é contínua em x = c. 42