1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R

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1 . Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R D x f(x). Uma função é uma regra que associa a cada elemento x D um valor f(x) R. O conjunto D R onde a função f está definida é designado por domínio de f. O contradomínio de f é o conjunto dos valores f(x) de f: f(d) = {y R : y = f(x) para algum x D}. Mais geralmente, dado um subconjunto A D, f(a) é o conjunto dos valores f(x) para x A: f(a) = {y R : y = f(x) para algum x A}. Uma função f diz-se majorada (respectivamente minorada) se existir M R (respect., m R) tal que f(x) M (respect., f(x) m) para todo o x D. Uma função que é simultaneamente majorada e minorada diz-se itada. O gráfico de uma função f é o subconjunto do plano R 2 definido por gráfico de f = { (x, y) R 2 : x D e y = f(x) }. Como veremos abaixo, é muitas vezes útil esboçar este conjunto. No entanto, isto nem sempre é fácil ou mesmo possível. Exemplos. Recordemos alguns exemplos de funções elementares já vossas conhecidas. Exemplo.. Funções polinomiais são funções com expressão analítica dada por um polinómio, i.e., funções da forma n f(x) = c 0 + c x + c 2 x c n x n = c k x k, com c 0,..., c n R. O domínio de qualquer uma destas funções é D = R. Nos exercícios a 5 do grupo IV da Ficha k= Figura. Gráfico da parábola f(x) = x 2. 2 apresentam-se algumas propriedades importantes das funções polinomiais. A figura mostra o gráfico de f(x) = x 2. O contradomínio é [0, + [ e f([0, 2]) = f([ 2, 2]) = [0, 4]. Exemplo.2. Funções racionais são funções com expressão analítica dada pelo quociente de dois polinómios, i.e., funções da forma f(x) = p(x) q(x) com p e q polinómios.

2 2 Estas funções não estão definidas nos pontos em que o denominador se anula, pelo que o seu domínio é dado por D = {x R : q(x) 0}. Um exemplo simples é a função definida por f(x) = /x, cujo gráfico está representado na Figura Figura 2. Gráfico da função racional f : R \ {0} R definida por f(x) = /x. Exemplo.3. As funções trigonométricas seno e coseno são funções cujo o domínio é todo o R. Os seus gráficos estão representados na Figura Figura 3. Gráfico das funções trigonométricas seno e coseno. Qualquer uma destas funções tem por contradomínio o intervalo [, ], sendo portanto funções itadas. As funções seno e coseno são periódicas de período 2π, i.e. sen(x + 2π) = sen(x) e cos(x + 2π) = cos(x), x R. As funções seno e coseno satisfazem a seguinte relação fundamental: () sen 2 (x) + cos 2 (x) =, x R. Os exercícios 6 e 7 do grupo IV da Ficha 2 apresentam outras propriedades importantes das funções seno e coseno. Exemplo.4. As funções trigonométricas tangente e cotangente são definidas a partir das funções seno e coseno: (2) tan(x) = sen(x) cos(x) e cot(x) = tan(x) = cos(x) tan(x). O domínio da função tangente é o subconjunto de R definido por D tan = {x R : cos(x) 0} = {x R : x kπ + π 2 com k Z}. O domínio da função cotangente é o subconjunto de R definido por D cot = {x R : sen(x) 0} = {x R : x kπ com k Z}. Uma função não é necessariamente definida por uma expressão algébrica, como mostra o próximo exemplo:

3 3 Exemplo.5. Consideremos a chamada função de Heaviside H : R R, definida por { 0, se x < 0; H(x) =, se x 0. O seu gráfico está representado na Figura 4. Note que {0, } se 0 ]a, b[ f(]a, b[) = {0} se b < 0 {} se a > Figura 4. Gráfico da função de Heaviside. Função composta. Uma forma de produzir novas funções a partir de funções conhecidas é compondo funções. Definição.6. Sejam f : D f R R e g : D g R R duas funções reais de variável real. A função composta (f g) é definida por (f g) : D f g R onde D f g = {x R : x D g e g(x) D f }. x (f g)(x) def = f(g(x)), Exemplo.7. Consideremos as funções g : R \ {0} R e f : R R definidas por g(x) = x e f(y) = sen(y). Temos então que (f g) : D f g = R \ {0} R é dada por (f g)(x) = f(g(x)) = f(/x) = sen(/x) e (g f) : D g f = R \ {x R : sen(x) 0} R é dada por (g f)(x) = g(f(x)) = g(sen(x)) = sen(x). 2. Limite de uma função num ponto A ideia de ite de uma função num ponto é a mesma que a de ite duma sucessão: Uma função f tem ite b quando x tende para a, se pudermos fazer f(x) tão próximo de b quanto quisermos, escolhendo qualquer x suficientemente próximo de a. Com esta definição informal é possível tratar exemplos simples de funções e calcular ites elementares. No entanto, ela pode dar lugar a alguma confusão quando prentendemos tratar exemplos mais complicados como, por exemplo, o ite de f(x) = sen(/x) quando x tende para 0. Dizer que f(x) está próximo de b (respectivamente, x está próximo de a) significa que f(x) b (resp. x a ) é pequeno. Assim, podemos refinar a nossa definição para: Uma função f tem ite b quando x tende para a, se pudermos fazer f(x) b tão pequeno quanto quisermos, tomando qualquer x com x a suficientemente pequeno.

4 4 Mas agora vemos que temos um problema: o que é que queremos dizer com os termos tão pequeno quanto quisermos e suficientemente pequeno? Vamos ver um exemplo: Exemplo 2.. Seja f(x) = x. Então intuitivamente o ite de f quando x tende para 2 é igual a 2. Para entender melhor o que está envolvido na noção de ite vamos colocar a seguinte questão: A que distância deve estar x de 2 para garantir que f(x) 2 < 0.? Ou seja, queremos encontrar uma distância ε > 0 tal que Se x 2 < ε então x 2 < 0.. Vamos desenvolver o lado direito. Como só estamos interessados em valores de x próximos de 2 podemos assumir que x > 0. Então x 2 < < x < < x <.9 Ou seja, queremos encontrar um ε > 0 tal que, Se x 2 < ε então < x < Basta tomar, por exemplo, ε = Chamamos ao valor 0. a nossa margem de erro. Para que o valor de f esteja dentro da margem de erro 0. basta que x 2 < Podemos também resolver o mesmo problema com outras margens de erro. Se quiséssemos um erro inferior a 0.0 por exemplo, obteríamos as desigualdades < x < pelo que bastaria tomar x 2 < Dizemos que o ite de f quando x tende para 2 é igual a 2 se este problema puder ser resolvido para qualquer margem de erro arbitrariamente pequena. Chegamos assim à definição precisa de ite, que é a seguinte: Definição 2.2. Dizemos que uma função f : D R tem ite b quando x tende para a se para todo o δ > 0 existir ε > 0 tal que, para todo o x D, se x a < δ então f(x) b < ε. Em notação de quantificadores, podemos escrever esta condição na forma: (3) δ>0 ε>0 Se x a < ε então f(x) b < δ. Notem que tudo o que fizermos daqui em diante dependerá desta definição! Por isso, saibam-na como se fosse a tabuada. É uma boa ideia começarem por resolver os seguintes exercícios: Exercício 2.3. Usando a definição precisa de ite, mostre que: (i) se f : R R é uma função constante, i.e., para a qual existe c R com f(x) = c, x R, então f(x) = c = c, a R. (ii) se f : R R é a função identidade, i.e., f(x) = x, x R, então f(x) = x = a, a R. Nota 2.4. Para definir o ite f(x) não é necessário que a pertença ao domínio D de f. No entanto, deve ser claro que a definição assume que para todo o ε > 0 existem sempre pontos x D tais que x a < ε, ou seja, há pontos do domínio arbitrariamente próximos de a. a chama-se então um ponto aderente a D. Assumiremos sempre que esta condição se verifica. Em termos de vizinhanças, a definição de ite fica δ>0 ε>0 se x ]a ε, a + ε[ então f(x) ]b δ, b + δ[. Ou seja, dada qualquer vizinhança V = ]b δ, b + δ[ de b existe uma vizinhança U = ]a ε, a + ε[ de a cujos pontos são levados por f para dentro de V : f(u) V.

5 5 f a ε a + ε b δ b + δ Podemos também ver o significado da noção de ite através do gráfico de f. Para todo o δ > 0 existe uma vizinhança ]a ε, a + ε[ tal que o gráfico de f nessa vizinhança fica entre as duas linhas horizontais y = b δ e y = b + δ. b + δ b δ a ε a + ε A figura acima torna claro que Teorema 2.5. Seja f : D R uma função tal que f(x) = b. Então Existe uma vizinhança ]a ε, a + ε[ na qual f é itada Se b > 0 então existe uma vizinhança ]a ε, a + ε[ na qual f(x) > 0 Se b < 0 então existe uma vizinhança ]a ε, a + ε[ na qual f(x) < 0 A demonstração fica como exercício. Exemplos. Apresentamos de seguida alguns exemplos de cálculo de ites a partir da definição. Veremos em breve alguns resultados que permitem simplificar imenso o cálculo de ites e evitar recorrer a esta definição. No entanto, é muito importante prestar atenção a estes primeiros exemplos e procurar interiorizar o seu verdadeiro significado. Exemplo 2.6. Vejamos que (4x 5) = 7 x 3 Dado um δ > 0 queremos encontrar um ε > 0 tal que, para todo o x R, Desenvolvendo o lado direito vemos que Assim, queremos encontrar um ε > 0 tal que Basta portanto tomar ε = δ 4. se x 3 < ε então (4x 5) 7 < δ (4x 5) 7 = 4x 2 = 4(x 3) = 4 x 3 se x 3 < ε então 4 x 3 < δ Exemplo 2.7. Consideremos a função de Heaviside H : R R. Vamos ver que: 0, se a < 0; H(x) =, se a > 0; não existe, se a = 0. Suponhamos primeiro que a > 0. É claro que se tomarmos x a < a então x > 0, logo: x a < a H(x) = = 0. Portanto, dado δ > 0 podemos tomar ε = a que se verifica: x a < ε H(x) < δ, ou seja, H(x) =. De forma análoga, mostra-se que se a < 0 então H(x) = 0.

6 6 Vejamos agora que o x 0 H(x) não existe, ou seja, que nenhum número real b é ite de H quando x tende para 0. Começamos por ver o que significa afirmar que uma função f não tem ite b quando x tende para a. Para isso, basta negarmos a condição na definição de ite: existe algum δ > 0 tal que para todo o ε > 0 existe um x D que satisfaz x a < ε e f(x) b δ. Se preferirmos, em notação de quantificadores: δ>0 ε>0 x D x a < ε e f(x) b δ. Vejamos então que para qualquer número real b a função H não tem ite b quando x tende para 0. Ou seja, x < ε e H(x) b δ. δ>0 ε>0 x D Temos que exibir um δ > 0, e tomamos δ = 2. Então, dado um ε > 0 qualquer temos que escolher um x D. Temos dois casos: Se b 2 escolhemos um x tal que ε < x < 0. Então H(x) = 0 logo x < ε e H(x) b = b 2 = δ Se b < 2 escolhemos um x tal que 0 < x < ε. Então H(x) = logo x < ε e H(x) b = b > 2 = δ Mostrámos que o ite não é b. Como b era um número real qualquer, concluímos que o ite H(x) não existe. x 0 Exemplo 2.8. Consideremos a função f : D = R \ {0} R definida por ( ) f(x) = sen, x O ponto 0 não pertence ao domínio da função, mas é um ponto aderente (cf. Nota 2.4). Vamos mostrar que f não tem ite quando x tende para zero por redução ao absurdo. Vamos portanto supor que o ite existia e que era igual a b. Começamos por observar que sen( π 2 + 2kπ) = e que sen( π 2 + 2kπ) =, para qualquer inteiro k Z. Seja então x + k = π 2 +2kπ e x k = π 2 +2kπ. Seja δ = 2. Então existe um ε > 0 tal que se x ] ε, ε[ então f(x) ]b /2, b + /2[ Podemos sempre escolher um inteiro k suficientemente grande de forma que x + k, x k ] ε, ε[. Mas então f(x ± k ) = ± ]b δ, b + δ[ o que implica que o intervalo ]b /2, b + /2[ tenha comprimento pelo menos 2. Chegámos a uma contradição que mostra que o ite não existe. Exemplo 2.9. Consideremos a função f : D = R \ {0} R definida por ( ) f(x) = x sen. x O seu gráfico está representado na Figura 5. Vamos ver que f(x) = 0, ou seja, que x 0 ( ) Se x 0 < ε então δ>0 ε>0 x sen 0 x < δ Tendo em conta que sen(y), y R,, temos para todo o x R \ {0} que ( ( 0 x) x sen = x x) sen x. Segue-se que para todo o δ > 0 podemos tomar ε = δ pois se x < ε então f(x) x < δ. Ou seja, concluímos que: ( ) (4) x sen = 0. x 0 x

7 Figura 5. Gráfico da função f : R \ {0} R definida por f(x) = x sen(/x). Propriedades do Limite de Funções num Ponto. Vamos agora estudar algumas propriedades elementares do ite de funções que nos ajudarão no seu cálculo, sem termos de recorrer à definição. Começamos por observar que, tal como para sucessões, o ite duma função é único. A demonstração é quase idêntica à que fizemos para sucessões e fica como exercício. Se f e g são funções então podemos formar as seguintes novas funções: A função f + g, dita a soma de f e g: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). A função f g, dita o produto de f e g: (f g)(x) = f(x)g(x). A função f g, dita o quociente de f por g: f f(x) (x) = g g(x). O domínio das funções soma e produto é a intersecção D f D g dos domínios das funções parcelas. O domínio da função quociente f g é: D f g = {x D f D g : g(x) 0}. Teorema 2.0. (Limite e Operações Algébricas) Sejam f e g funções tais que f(x) = b e g(x) = c. Então: (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = b + c. (ii) (f g)(x) = f(x) g(x) = b c. (iii) se c 0, f f(x) g (x) = g(x) = b c. Dem. Vamos começar por demonstrar a propriedade (ii). Queremos mostrar que δ>0 ε>0 se x a < ε então f(x) g(x) b c < δ Vamos portanto desenvolver o lado direito. O truque consiste em somar e subtrair b g(x) e usar a desigualdade triangular: f(x) g(x) b c = f(x) g(x) b g(x) + b g(x) b c f(x) g(x) b g(x) + b g(x) b c = f(x) b g(x) + b g(x) c

8 8 Como podemos tornar f(x) b e g(x) c arbitrariamente pequenos tomando x suficientemente próximo de a estamos no bom caminho. O próximo passo é notar que, como g tem ite em a, g é itado numa vizinhança V =]a ε, a + ε [ de a, ou seja, existe uma constante M tal que g(x) M nessa vizinhança. Assim, para x V, f(x) g(x) b c f(x) b g(x) + b g(x) c f(x) b M + b g(x) c Como f converge para b e g converge para c, por definição de ite sabemos que existem vizinhanças V 2 =]a ε 2, a + ε 2 [ e V 3 =]a ε 3, a + ε 3 [ tais que se x V 2 então f(x) b < δ 2M se x V 3 então g(x) c < δ 2 b Tomando x na menor das 3 vizinhanças V, V 2, V 3 obtemos f(x) g(x) b c f(x) b M + b g(x) c < δ 2M M + b δ 2 b = δ o que completa a demonstração da propriedade (ii). Vamos agora demonstrar um caso particular da propriedade (iii), nomeadamente o caso em que f =. Ou seja, vamos mostrar que /g(x) = /c. Começamos por notar que g(x) c Agora, como c 0, existe uma vizinhança V g(x) 2 c pelo que g(x) c = g(x) c c g(x) =]a ε, a + ε [ na qual g(x) c 2. Então 2 g(x) c c 2 Basta agora arranjar uma vizinhança V 2 de a na qual g(x) c < δ c 2 2. Para provar o caso geral da propriedade (iii) basta agora notar que f(x) g(x) = f(x) g(x) = b c = b c onde usámos a propriedade (ii) que já tínhamos demonstrado. A demonstração da propriedade (i) fica como exercício. Recorrendo a este resultado é muito fácil calcular certos ites sem ter de passar pelo processo doloroso de encontrar os ε δ correctos. Exemplo 2.. Vamos mostrar por indução que xk = a k Para k = 0 é o ite duma constante. Assumimos pois que o resultado é válido para k = n, ou seja, assumimos que Hipótese: x n = a n e queremos mostrar o resultado para k = n +, ou seja Mas pela propriedade (ii) o que termina a demonstração. Tese: x n+ = a n+ xn+ = x x n = a a n = a n+

9 9 Exemplo 2.2. Queremos calcular Pela propriedade (ii) x 4 3x + 2 x 2 + ( 3x) = ( ( 3)) ( x) = 3a Usando a propriedade (i) e o exemplo anterior concluimos que Pela propriedade (iii) (x4 3x + 2) = x 4 3x + 2 = a 4 3a + 2 (x2 + ) = x 2 + = a 2 + x 4 3x + 2 (x4 3x + 2) x 2 = = a4 3a (x2 + ) a 2 + Exercício 2.3. Mostre por indução que, dadas n funções f,..., f n tais que f i (x) = b i então i= n f i (x) = Exercício 2.4. Mostre que se f é um polinómio então f(x) = f(a) Princípio do Encaixe ou da Função Enquadrada. Teorema 2.5. Sejam f, g e h funções tais que n i= b i f(x) g(x) h(x), para qualquer x D f D g D h. Temos então que, se então o ite g(x) existe e é igual a b. f(x) = b = h(x) Dem. Seja δ > 0. Pela definição de ite podemos escrever: Como Como f(x) = b, h(x) = b, ε >0 ε 2>0 se x a < ε então b δ < f(x) < b + δ, se x a < ε 2 então b δ < h(x) < b + δ. Seja ε = min{ε, ε 2 }. Então, se x a < ε, usando o facto de que g está encaixada entre f e h obtemos: Portanto, δ>0 ε>0 Concluimos que g(x) = b. b δ < f(x) g(x) h(x) < b + δ Se x a < ε então g(x) b < δ Exemplo 2.6. Uma análise simples do círculo trigonométrico permite mostrar que, para 0 < x < π/2 é válida a relação: 0 < cos θ < sen θ <. θ De facto consideremos a figura

10 0 D C θ A B E em que o raio AD do circulo exterior é igual a um. Então o raio do circulo interior é cos θ. Assim, a área do sector circular ABC é 2 θ cos2 θ que é claramente menor que a área do triângulo ABD que é 2 cos θ sen θ. Daqui concluimos que cos θ < sen θ θ O comprimento do segmento BD é sen θ que é claramente menor que o comprimento do segmento DE que por sua vez é menor que o comprimento do arco de circunferência DE. Este arco tem comprimento θ pelo que concluimos que sen θ < θ, ou seja, sen θ < θ Podemos agora aplicar o princípio do encaixe. Como: concluímos que: Limite de Funções Compostas. cos θ = =, θ 0 θ 0 sen θ =. θ 0 θ Teorema 2.7. Sejam f : D f R R e g : D g R R duas funções reais de variável real, e (f g) : D f g R R a sua função composta. Se então g(x) = b R e f(y) = c R, y b (f g)(x) = f(g(x)) = c. Dem. Em termos de vizinhanças, queremos mostrar que, para toda a vizinhança V de c, existe uma vizinhança U de a tal que se x U então (f g)(x) = f(g(x)) V Seja portanto V uma vizinhança de c. Como y b f(y) = c, existe uma vizinhança W de b tal que f(w ) V. Como g(x) = b, existe uma vizinhança U de a tal que g(u) W. g f U W a b c V Portanto, o que termina a demonstração. se x U então g(x) W logo f( g(x) ) V

11 sen( cos x) Exemplo 2.8. Suponhamos que pretendemos calcular x 0 cos x. Observamos que: sen( cos x) = f(g(x)), cos x onde g(x) = cos x e f(y) = sen y y o Teorema 2.7 mostra que:. Tomando a = b = 0 vemos que ( cos x) = b = 0 e y b sen( cos x) =. x 0 cos x sen y y = c =,