Dízimas e intervalos encaixados.

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1 Dízimas e intervalos encaixados. Recorde que uma dízima com n casas decimais é um número racional da forma a 0.a a 2...a n = a 0 + a 0 + a a n n 0 n = a j 0 j em que a 0,a,...,a n são inteiros não negativos com a,...,a n 9 (as n casas decimais). Para representar outro tipo de números reais usamos dízimas infinitas tais como e Uma dízima infinita é uma sucessão de números inteiros não negativos a 0,a,a 2,...,a n,... com a i 9 para i 0 (as casas decimais), que representamos como a 0.a a 2 a 3... Exemplo. Pondo a 0 = 0 e a i = 3 para i 0 obtemos a dízima infinita Intuitivamente a 0.a a 2 a 3... vai ser maior que qualquer das dízimas finitas a 0, a 0.a, a 0.a a 2,... a 0.a...a n mas podemos obter aproximações arbitrariamente boas tomando um número suficiente de casas decimais. Assim é natural definir Definição : O valor da dízima infinita a 0.a a 2 a 3... é o supremo do conjunto das dízimas finitas obtidas truncando a dízima infinita: a 0.a a 2 a 3... = sup { a 0, a 0.a, a 0.a a 2, a 0.a a 2 a 3,... } j=0 Exemplo = sup { 0, 0., 0.9, 0.9, 0.99,... } Como representar uma dízima infinita sobre a recta real? Podemos pensar numa dízima infinita como um conjunto de instruções que nos dizem onde se encontra o ponto. Tomemos como exemplo a dízima infinita Então a 0 = 0 diz-nos que o ponto está entre 0 e. A primeira casa decimal a = diz-nos que o ponto está entre 0. e 0.2, a segunda casa decimal a 2 = 9 diz-nos que o ponto está entre 0.9 e 0.20 e assim sucessivamente. Obtemos assim uma sucessão de intervalos I 0 = [0,], I = [0.,0.2], I 2 = [0.9,0.20], I 3 = [0.9,0.92],... tais que I 0 I I 2 I 3. Dizemos que os intervalos estão encaixados. 0. I I = [0., [ 0.0.2], 0.2 ] 0.2 I 2 = [[0.9,, 0.20] ] I 3 = [0.9, 0.92], ]

2 2 Figura. Alguns dos intervalos associados à dízima Generalizando, a qualquer dízima infinita a 0.a a 2 a 3 a 4... está associada uma sucessão de intervalos encaixados I 0 = [a 0, a 0 +], I = [a 0.a, a 0.a +0.], I 2 = [a 0.a a 2, a 0.a a ],... ï..., I n = a 0.a...a n, a 0.a...a n + ò 0 n,... Intuitivamente, os intervalos I n determinam completamente a posição do ponto sobre a recta: existe um único ponto que pertence a todos os intervalos, nomeadamente a dízima infinita a 0.a a 2 a 3...: Teorema 2 (Princípio dos intervalos encaixados): Seja I n = [x n,y n ] uma sucessão de intervalos fechados encaixados. Então existe um x R que pertence a todos os intervalos, nomeadamente x = sup { x 0,x,x 2,x 3,... } Se os intervalos tiverem comprimento y n x n < n, então x é o único ponto que pertence a todos os intervalos. Observação: Os intervalos I n associados a uma dízima infinita têm comprimento logo determinam completamente o valor da dízima infinita. 0 n < n Demonstração. Qualquer dos números y 0,y,y 2,... é um majorante de X = {x 0,x,x 2,...} (ver figura 2) 2 logo existe supremo x = supx. Vamos ver que x n x y n, para qualquer n N. Como x é um majorante de X, x x n. Como cada y n é um majorante de X e x é o menor dos majorantes, x y n. Portanto x I n para qualquer n N. I 4 I 3 I 2 I I 0 x0 x x2 x3 x4 y4 y3 y 2 y y0 Figura 2. Intervalos encaixados. Cada y n é um majorante do conjunto {x 0,x,x 2,x 3,...}. Vamos agora supor que y n x n < n. Assumimos por absurdo que havia dois números reais a,b pertencentes a todos os intervalos I n. Como a,b I n, a distância entre a e b tem que ser menor que o comprimento do intervalo: a b y n x n < n logo > n para qualquer valor de n a b A condição yn x n < n pode ser substituida pela condição mais geral inf{yn xn: n N} = 0. Ver exercícios. 2 Se k n, xk x n y n. Se k n, x k y k y n.

3 Dízimas e intervalos encaixados. 3 Mas então a b é um majorante de N! Como N não tem majorantes chegamos a uma contradição. Concluimos que existe um único ponto em todos os intervalos I n. Exemplo 3. Pensando em como a soma duma progressão geométrica de razão /0 vemos que Por outro lado, }{{} = n n = 3 0 n+ 0 0 = n < }{{} n = }{{} n + 0 n = n + 0 n = n > 3 Assim /3 [0.3 33, [ que são os intervalos associados a Provámos assim o conhecido facto que 3 = sup{ 0, 0.3, 0.33, 0.333,... } = Exemplo 4. Consideremos a dízima infinita Neste caso os intervalos são I 0 = [0,], I = [0.9,], I 2 = [0.99,], I 3 = [0.999,],... I n para qualquer n portanto =. Vamos agora ver que qualquer número real x 0 pode ser representado por uma dízima infinita. Para tal definimos os a n recursivamente da seguinte forma: Começamos por escolher a 0 N 0 de modo que a 0 x < a 0 +. Explicitamente, a 0 = max{k Z : k x}. Dividimos então o intervalo [a 0,a 0 +[ em 0 intervalos iguais [a 0.0, a 0.[, [a 0., a 0.2[, [a 0.2, a 0.3[,..., [a 0.9, a 0 +[. Então x terá que estar num desses intervalos. Escolhemos a de modo que x [ a 0.a, a 0.a +0.[ Uma vez escolhidos a 0,...,a n tais que ï x a 0.a...a n, a 0.a...a n + ï 0 n

4 4 dividimos este intervalo em 0 intervalos iguais e escolhemos a n+ de modo que ï x a 0.a...a n a n+, a 0.a...a n a n+ + ï 0 n+ O processo está ilustrado na figura 3 com x = Figura 3. Escrevendo x = 3 como uma dízima infinita Éentãoclaroquexestáemtodososintervalosassociadosàdízimainfinitaa 0.a a 2 a 3... logo x = a 0.a a 2 a 3... Exemplo 5. Usando ideias semelhantes podemos resolver a equação x 2 = 2 aproximando a solução por dízimas finitas. Seja x n a maior dízima com n casas decimais tal que x 2 n 2 e seja y n = x n + 0 n. Então y 2 n > 2: x n y n x 2 n yn Tabela. Aproximando o valor de x por dízimas finitas Seja x = o único real que está em todos os intervalos [x n,y n ]. Vamos mostrar que x 2 = 2. Como x n x < y n, x 2 n x 2 y 2 n logo x 2,2 [x 2 n,y 2 n] para qualquer valor de n Mas como x n,y n 2, o comprimento de [x 2 n,y 2 n] é menor que n porque y 2 n x 2 n = (y n x n )(y n +x n ) = 0 n(x n +y n ) 4 0 n < n

5 Dízimas e intervalos encaixados. 5 pelo que concluimos pelo princípio dos intervalos encaixados que x 2 = 2.. Números irracionais, densidade e cardinalidade Números racionais p q são sempre representados por dízimas infinitas periódicas. Alguns exemplos: 2 = = = Uma demonstração deste facto encontra-se nos exercícios no final da secção. Em poucas palavras, quando aplicamos o algoritmo da divisão para calcular um quociente p q, em cada passo há apenas q restos possíveis: 0,,2,...,q. Assim, eventualmente os restos vão-se repetir, dando origem a uma sucessão periódica de restos, e portanto, a uma sucessão periódica de quocientes. Exemplo 6. Vamos dividir por 7: Os restos são 3,2,6,4,5,,3,2,6,... e os quocientes são,4,2,8,5,7,,4,2,... Assim, qualquer dízima infinita não periódica representa um número real que não é racional. Por exemplo: x = não é racional. Chamamos a estes números números irracionais. Já vimos outro exemplo dum número irracional: a raiz quadrada de 2. De facto há muitos mais. Teorema 3: A soma dum número racional com um número irracional é irracional. Demonstração. Se x for irracional, x+ p q não pode ser racional. Se fosse, ou seja se x+ p q = r s, então x = r s p q = rq ps sq seria racional. Assim 2+ p q é sempre irracional (p,q inteiros). O produto dum número irracional por um número racional é também sempre irracional(exercício). De facto vamos ver que os racionais e os irracionais estão em toda a parte sobre a recta real. Chamamos a esta propriedade densidade:

6 6 Definição 4: Dizemos que um conjunto A R é denso se qualquer vizinhança V δ (x) de qualquer ponto x R tiver pontos de A. Observação: Isto é equivalente a dizer que qualquer intervalo aberto ]a, b[ contem pontos de A pois qualquer intervalo aberto é uma vizinhança do seu ponto médio: ]a,b[= V δ (x) com x = (a+b)/2 e δ = (b a)/2 Vamos então ver que qualquer vizinhança contem números irracionais e racionais. Teorema 5: Os conjuntos Q e R\Q são densos. Demonstração. Vamos ver primeiro que os racionais são densos. Dada uma vizinhança V δ (x), x pode ser representado por uma dízima infinita x = a 0.a a 2 a 3 = sup{ a 0, a 0.a, a 0.a a 2, a 0.a a 2 a 3,... } Como o supremo é aderente ao conjunto, existem pontos do conjunto em qualquer vizinhança de x. Os pontos do conjunto são as dízimas finitas a 0, a 0.a, a 0.a a 2,... que são números racionais logo existem números racionais em qualquer vizinhança de x. Vamos agora ver que os irracionais são densos. Dada uma vizinhança V δ (x), como os racionais são densos existe um racional p/q V δ (x 2). Então x 2 δ < p/q < x 2+δ logo x δ < p/q + 2 < x+δ Assim, p/q+ 2 V δ (x) o que termina a demonstração pois p/q+ 2 é irracional. Dizemos que um conjunto é infinito se contiver uma sucessão x n de termos distintos (x n x k para n k). Teorema 6: Se A R é um subconjunto denso então qualquer vizinhança V ε (x) de qualquer ponto x R contem um número infinito de elementos de A. Assim, qualquer intervalo aberto contem um número infinito de racionais e de irracionais. Demonstração. Faremosapenasocasox = 0parasimplificaranotação. V ε (0) = ] ε,ε[ contem os intervalos ]ε/2,ε[, ]ε/3,ε/2[, ]ε/4,ε/3[, ]ε/5,ε/4[,... e como A é denso, cada intervalo ]ε/(n + ),ε/n[ contem um elemento x n A. Portanto V ε (0) contem todos os pontos x,x 2,x 3,... de A. A cada racional p/q podemos associar um irracional p/q + 2 logo existem pelo menos tantos números irracionais como racionais. Vamos agora ver que, num certo sentido, existem mais números irracionais que racionais. Definição 7: Um conjunto X diz-se contável se existir uma sucessão (x n ) tal que X = {x,x 2,x 3,...}.

7 Dízimas e intervalos encaixados. 7 Exemplo 7. Z é contável pois Z = {0,,,2, 2,3, 3,...}. Exemplo 8. O conjunto Z 2 R 2 dos pontos (p,q) do plano de coordenadas inteiras também é contável como podemos ver na figura 4: Figura 4. Contando os pontos de Z 2 Explicitamente: Z 2 = {(0,0),(,0),(,),(0,),(,),(,0),(, ),(0, ),(, ),...} Exemplo 9. Q também é contável: por exemplo podemos listar os racionais p q por ordem da soma p + q : Q = {0,,, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2 3, 2 3, 3 2, 3 2, 4, 4,...} No entanto Teorema 8: R não é contável. Demonstração. Vamosmostrarquedadaqualquersucessão(x n ),R {x,x 2,x 3,...}. Para tal definimos recursivamente uma sucessão de intervalos encaixados: EscolhemosumintervalofechadoI = [a,b ]talquex / I. EscolhemosentãoI 2 I tal que x 2 / I 2. Recursivamente, dado I n escolhemos I n+ I n tal que x n+ / I n+. Então não há nenhum ponto da sucessão (x n ) que esteja em todos os intervalos pois x k / I k. Mas existe um real x em todos os intervalos logo R {x,x 2,x 3,...}. Concluimos que Teorema 9: O conjunto dos irracionais não é contável.

8 8 Demonstração. Provamos por redução ao absurdo. Se tivessemos R\Q = {x,x 2,x 3,...} como já vimos que Q é contável, ou seja Q = {y,y 2,y 3,...} então teríamos R = {x,y,x 2,y 2,x 3,y 3,...} o que é impossível pois R não é contável.