Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

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1 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias de limite Palavras-chaves: Limite, Limites laterais - Propriedades operatórias de limite. Definição de Limite Sejam f uma função e a um número real, de modo que f esteja definida em algum vizinhança (restrita ou não) de a. Dizemos que o limite de f(x) quanto x tende a a é L, expresso em linguagem simbólica por: lim f(x) = L se à medida que x aproxima-se de a, a imagem f(x) aproxima-se do número real L e esta aproximação pode ser feita com o grau de precisão que desejarmos. A notação também pode ser escrita como f(x) L quando x a lida como f(x) tende a L, quando x tende a a. Exercícios 1. (01) Leia a notação e explique o significado: (a) lim x 5 ( 2x ( + ) ) = 3; t (b) lim 2 49 t = 14; t (c) lim h 0 ( f(x+h) f(x) ) = m h T ; (d) lim senθ ) θ 0 θ = 1. (02) Estime um valor para lim f(x), calculando f(x) para valores de x próximos de a, mas não iguais a a, sendo: (a) f(x) = 6x 10 e a = 3; Solução: Vamos calcular f(x) para alguns valores de x próximos de 3, mas não iguais a 3. Para isto

2 2 Cálculo I Prof a. Nazaré Bezerra escolheremos uma vizinhança restrita de 3 com um raio pequeno, podemos considerar este raio igual a 1. Lembrando que: x V 0 1 (3) 0 < x 3 < 1 1 < x 3 < 1 2 < x < 4, x 3 x (2, 3) (3, 4). Escolhendo alguns valores de x neste intervalo e calculando f(x), obtemos a tabela abaixo: x (2, 3) f(x) = 6x 10 2,5 5 2,8 6,8 2,9,4 2,99,94 2,999, x (3, 4) f(x) = 6x 10 3,5 11 3,2 9,2 3,1 8,6 3,01 8,06 3,001 8, Pela tabela concluímos que à medida que x aproxima-se de 3, tanto pela esquerda quando pela direita, f(x) aproxima-se de 8. Portanto, lim x 3 (6x 10) = 8. (b) f(x) = x3 8 x 2 e a = 2. (c) f(x) = senx x, a = 0. (d) f(x) = x x 2, a = 0. Lembrando que escrever: significa dizer que podemos aproximar f(x) do número L, tanto quanto se queira, bastando para isto tomar x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Vejamos como podemos expressar isto em linguagem simbólica e portanto com maior rigor matemático. Como medimos a distância de f(x) a L? - Esta distância é dada pelo valor absoluto f(x) L. E o que significa dizer aproximar f(x) de L tanto quando se queira? - Isto significa que a distância f(x) L pode ser menor que qualquer valor positivo que desejarmos, ou seja, dado qualquer número real positivo ε, é sempre possível encontrar uma vizinha restrita de a, de modo que para todo x nesta vizinhança, tenhamos f(x) L < ε. Traduzimos isto dizendo: qualquer que seja ε > 0 é sempre possível encontrar um raio δ > 0, de modo que: ou, em notação de módulo: se x V δ (a), então f(x) V ε(l) se 0 < x a < δ, então f(x) L < ε. Vamos então reescrever a definição de limite dada no início da seção.

3 UFPA Cálculo I 3 Definição 1. (Limite) Sejam f uma função e a um número real, de modo que f esteja definida em algum vizinhança (restrita ou não) de a. Dizemos que a função f tem o limite L em a e escrevemos lim f(x) = L tal que: se para todo ε > 0 existir um δ > 0, se 0 < x a < δ, então f(x) L < ε. Assim, provar que: consiste em determinar um δ > 0, para ε > 0 arbitrário, de modo que tenhamos a implicação: 0 < x a < δ f(x) L < ε. Exemplos: (01) Mostre que lim x 3 (6x 10) = 8 Solução: Já afirmamos acima que lim x 3 (6x 10) = 8 observando os valores assumidos por f(x) = 6x 10 para valores de x próximos de 3. Provaremos agora que esta afirmação é verdadeira, usando a Definição??. Como dito acima, isto consiste em determinar um valor para δ, de modo que: qualquer que seja ε > 0. se 0 < x 3 < δ, então f(x) 8 < ε, Dado ε > 0, suponhamos 0 < x 3 < δ, para algum δ > 0 que iremos determinar. Temos que: f(x) 8 = 6x 10 8 = 6(x 3) = 6 x 3 < 6δ Como queremos que f(x) 8 < ε, fazendo 6δ = ε δ = ε. Assim, dado ε > 0, tomando 6 δ = ε, segue o que queremos. 6 (02) Mostre que lim x 2 (x 2 + 2x ) = 1. Solução: Seja ε > 0 arbitrário. Inicialmente vamos procurar um valor para δ e uma vez determinado este valor, provar que de fato ele satisfaz a condição dada na Definição??. (i) Procurando um valor para δ: Temos que: f(x) 1 = x 2 + 2x 1 = x + 2x 8 = x 2. x + 4. Então, se x 2 < δ e x + 4 < M, para algum M > 0, segue que: Daí, uma sugestão é fazer δ.m = ε δ = ε M. f(x) 1 = x 2. x + 4 < δ.m

4 4 Cálculo I Prof a. Nazaré Bezerra Resta determinar o valor de M. Como estamos analisando o comportamento da função para valores de x próximos de 2, vamos assumir que δ 1 x 2 < δ 1. Daí, teremos: x 2 < 1 1 < x 2 < 1 5 < x + 4 < x + 4 > 0 x + 4 = x + 4 <. Portanto, podemos tomar M =. Agora, observe que como ε é arbitrário, pode acontecer que δ = ε > 1 e neste caso, não será possível concluir que x + 4 <, uma vez que para esta conclusão assumimos δ 1. Para garantirmos as duas desigualdades tomaremos δ = min{1, ε}. (ii) Mostrar que tomando δ = min{1, ε }, então: 0 < x 2 < δ f(x) 1 < ε. Supondo x 2 < δ, temos: (a) x 2 < δ 1 x + 4 < (conta já feita no item (i)); (b) x 2 < δ ε. Portanto, f(x) 1 = x 2. x + 4 < ε. = ε. ( (03) Mostre que lim 1 ) x 2 x+3 = 1 5 Solução: Dado ε > 0 arbitrário, vamos procurar um valor para δ. Como: f(x) 1 5 = 1 x = (x 2) x 2 5(x + 3) = 5 x + 3. Assim, se x 2 < δ e 1 x+3 < M, para algum M > 0, teremos: f(x) 1 x 2 = 5 5. x + 3 < δ.m 5 Fazendo δ.m = ε, segue δ = 5ε. Resta determinaro valor de M. Assumindo δ 1, etnão 5 M x 2 < δ 1 x 2 < 1 1 < x 2 < 1 4 < x + 3 < 6 4 < x + 3 = x < 1. x+3 4 Assim, M = 1 e portanto δ = 20ε. Porém para garantir que δ 1, tomamos δ = min{1, 20ε}. 4 Por fim, mostraremos que o valor de δ dado acima está de acordo com a definição. Se δ = min{1, 20ε} e x 2 < δ, temos: (a) x 2 < δ 1 1 < 1 (já calculado acima); x+3 4 (b) x 2 < δ 20ε. Portanto, f(x) 1 5 = 1 x ) = (x 5 5(x + 3) = 1 5. x 2. 1 x ε.1 4 = ε. (04) Mostre que lim x 2 x 3 = 8. (05) Mostre que lim x = a, a > 0. (06) Seja f(x) = 10 (função constante). Mostre que lim x 2 f(x) = 10;

5 UFPA Cálculo I 5 Limites Laterais Definição 2. ( Limite à Direita) Seja f uma função definida em todo ponto de um intervalo aberto (a, b). Dizemos que L é o limite à direita de f em a e escrevemos + se para todo ε > 0 existir um δ > 0 de tal modo que se 0 < x a < δ, então f(x) L < ε. Definição 3. ( Limite à Esquerda) Seja f uma função definida em todo ponto de um intervalo aberto (b, a). Dizemos que L é o limite à esquerda de f em a e escrevemos se para todo ε > 0 existir um δ > 0 de tal modo que se δ < x a < 0, então f(x) L < ε. Para a existência de lim f(x) é necessário e suficiente que existam os limites laterais e que estes tenham o mesmo valor. Assim, temos o seguinte teorema: Teorema 1. lim f(x) = L lim + f(x) = lim f(x) = L. Exercícios 2. (01) Leia e explique o significado da notação: (a) lim x 5 + f(x) = ; (b) lim x 1 f(x) = 0. Nas questões (02) e (03) faça um esboço do gráfico de f e estime o valor dos limites, caso existam: { 0 se t < 0 (02) Seja H(t) = 1 se t 0. (a) lim t 0 H(t), lim t 0 + H(t), lim t 0 H(t). x + 1, se x < 1 (03) Seja f(x) = x 2, se 1 x < 1. 2 x, se x 1 (a) lim x 1 f(x), lim x 1 + f(x), lim x 1 f(x); (b) lim x 1 f(x), lim x 1 + f(x), lim x 1 f(x). (04) Seja [[ ]] : R R a função maior inteiro (ou função escada), cuja regra é dada por [[x]] = max{n Z n x}. Calcule: (a) [[2]], [[2, 001]], [[ 2]], [[ 2, 001]]; (b) Faça um esboço do gráfico de f. (c) Calcule, caso existam, lim x 2 +[[x]], lim x 2 [[x]], lim x 2 [[x]];

6 6 Cálculo I Prof a. Nazaré Bezerra Propriedades Operatórias do Limite Vejamos algumas propriedades que nos permitem efetuar diretamente o cálculo de limite sem a necessidade do uso de gráfico ou tabelas. Faremos a demonstração de duas delas. L1. Limite da Função Constante Se f(x) = k é uma função constante, então para qualquer número real a lim f(x) = k. Exercícios 3. Calcule: (01) lim x 5 3; (02) lim z 3 10; (03) lim h 0 x; (04) lim x 2 t 2. L2. Limite da Função Identidade lim x = a. Exercícios 4. Calcule os limites: (01) lim x 5 x; (02) lim z 3 z; (03) lim h 0 h; (04) lim t π t; L3. Limite do Múltiplo Escalar de uma Função Se lim f(x) = L, então para toda constante k, tem-se lim (kf)(x) = k.l Demonstração: Seja ε > 0 arbitrário. Vamos considerar dois casos:

7 UFPA Cálculo I (i) k = 0 Neste caso, (kf)(x) = 0.f(x) = 0, para todo x D f, logo kf é a função nula, portanto uma função constante e pela Propriedade L1, lim kf(x) = 0 = 0.L. Sendo válida, portanto a propriedade. (ii) k 0 Precisamos mostrar que lim (kf)(x) = kl, o que implica em encontrar um δ > 0, de tal forma que: 0 < x a < δ (kf)(x) kl < ε qualquer que seja ε > 0. Dado ε > 0, temos que: (kf)(x) kl < ε k f(x) L < ε f(x) L < ε k. Como lim f(x) = L, pela definição de limite, para ε 1 = ε k existe δ 1 > 0, tal que: Então, tomando δ = δ 1, teremos: 0 < x a < δ 1 f(x) L < ε 1 0 < x a < δ = δ 1 f(x) L < ε 1 = ε k (kf)(x) kl < ε. Exercícios 5. Calcule os limites: (01) lim x 5 (2x); (02) lim z 3 ( z); (03) lim t 0 (2t); (04) lim a 2 2a. L4. Limite da Soma Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então lim [f(x)+g(x)] = L+M Demonstração: Seja ε > 0 arbitrário. Vamos mostrar a existência de δ > 0, de modo que: 0 < x a < δ (f + g)(x) (L + M) < ε Usando a definição de soma de funções e a desigualdade triangular temos que: (f + g)(x) (L + M) = (f(x) L) + (g(x) M) f(x) L + g(x) M.

8 8 Cálculo I Prof a. Nazaré Bezerra Por hipótese temos que lim f(x) = L e lim g(x) = M, segue então para ε 1 = ε 2, existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0, de tal forma que: e Tomando então δ = min{δ 1, δ 2 } teremos: 0 < x a < δ 1 f(x) L < ε 1 0 < x a < δ 2 g(x) M < ε 1 0 < x a < δ (f + g)(x) (L + M) f(x) L + g(x) M < ε 1 + ε 1 = ε. Observações: (i) Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então pelas propriedades L1 e L4, segue que: lim [f(x) g(x)] = lim[f(x) + ( 1)g(x)] = lim f(x) + ( 1) lim g(x) = lim f(x) lim g(x). Assim, a propriedade L4 é também válida para a diferença, ou seja, o limite da diferença é a diferença dos limites. (ii) Esta propriedade é também válida para a soma/diferença de um número finito qualquer de parcelas, isto é, Exercícios 6. lim [f 1(x) ± f 2 (x) ±... ± f n (x)] = lim f 1 (x) ± lim f 2 (x) ±... ± lim f n (x). (01) Calcule os limites indicando as propriedades usadas: (a) lim x 3 (6x 10); (b) lim x 0 (x 1); (c) lim t 10 (2t + 13); (02) Mostre que se lim f(x) = L, então lim [f(x) L] = 0. L5. Limite do Produto Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então lim [f(x).g(x)] = LM. Exercícios. (01) Calcule os limites indicando as propriedades usadas: (a) lim x 2 (3x 4 + 2x 2 x + 1); (b) lim x 1 (3x 4 3x)(x 2 + 5x + 3); (c) lim p(x), onde p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 é um polinômio de grau n.

9 UFPA Cálculo I 9 L6. Limite do Quociente Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, com M 0, então lim f(x) g(x) = L M. L. Limite da Raiz Se lim f(x) = L, então para todo inteiro n 2: lim n f(x) = n L. com L > 0 quando n é par. Todas as propridades operatórias de limite são também válidas para os limites laterias. Exercícios 8. (01) Calcule os limites indicando as propriedades usadas: (a) lim x 0 ( x2 +5x+2); 3x+4 (b) lim u 2 ( u4 + 3u + ) 6; 3 (c) lim x 2 x3 + 2x 2 ; (d) lim x 2 2x x 2. (e) lim x 3 (2x + x 3 ). E após a aula Resumo Reveja atentamente a definição de limite e faça um resumo de suas propriedades operatórias. 2 - Aprofundando o contéudo Leia mais sobre o contéudo desta aula nas seções 2.2, 2.3 e 2.4 livro texto. 3. Sugestões de Exercícios Resolva os exercícios das seções 2.2, 2.3 e 2.4 do livro texto. 4. Desafio Calcule lim x 1 ( 5 x 1 8 x 1 ). Não esqueça de postar a sua lista resolvida até as 23h55min de quinta-feira.